Elementy analizy wektorowej - Katedra Matematyki, Politechnika

Transkrypt

Elementy analizy wektorowej
Całki krzywoliniowe
wykład z MATEMATYKI
Automatyka i Robotyka
studia stacjonarne
sem. II, rok ak. 2009/2010
Katedra Matematyki
Wydział Informatyki
Politechnika Białostocka
1
Łuki na płaszczyźnie i w przestrzeni
Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie ~r : I → R2 lub ~r : I → R3 , gdzie
I oznacza przedział na prostej (tzn. I ⊂ R).
Funkcje wektorowe będziemy zapisywali w postaci
~r(t) = [x(t), y(t)] lub ~r(t) = [x(t), y(t), z(t)] , gdzie t ∈ I.
y
z
R2
y(t)
~r
b
~r
~r(t)
R
t
R3
t
~r(t)
R
y
x
x(t)
t
t
x
Mówimy, że funkcja wektorowa ~r jest różnowartościowa na przedziale I, gdy
t1 6= t2 ⇒ ~r(t1 ) 6= ~r(t2 ),
dla każdego t1 , t2 ∈ I.
Funkcja wektorowa jest lokalnie różnowartościowa na przedziale I, jeżeli każdy punkt tego przedziału
ma otoczenie, na którym ta funkcja jest różnowartościowa.
Jeżeli funkcje x, y lub x, y, z są ciągłe na I, to mówimy, że funkcja wektorowa ~r jest ciągła na I.
Jeżeli funkcje x, y lub x, y, z mają pochodne na przedziale I, to mówimy, że funkcja wektorowa ~r
jest różniczkowalna na I. Pochodną funkcji wektorowej ~r określamy wzorem:
~r ′ (t) = x′ (t), y ′ (t)
lub ~r ′ (t) = x′ (t), y ′ (t), z ′ (t) .
~r′ (t) - wektor styczny
~r(t)
O - początek układu współrzędnych
1
sem II, 2009/2010
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Jeżeli funkcje x, y lub x, y, z mają ciągłe pochodne na przedziale I, to mówimy, że funkcja wektorowa ~r jest
różniczkowalna w sposób ciągły na I.
Jeżeli funkcje x, y lub x, y, z są całkowalne na przedziale hα, βi, to mówimy, że funkcja wektorowa ~r
jest całkowalna na hα, βi. Całkę po przedziale hα, βi z funkcji wektorowej ~r określamy wzorem:
ˆβ
α

ˆβ

~r(t)dt = 
α
x(t)dt,
ˆβ
α


y(t)dt lub
ˆβ
α


~r(t)dt = 
ˆβ
x(t)dt,
α
ˆβ
α
y(t)dt,
ˆβ
α
Twierdzenie 1.1.
Jeżeli funkcje wektorowe ~u, ~v są różniczkowalne na przedziale I, to


z(t)dt .
(~u(t) + ~v (t))′ = ~u ′ (t) + ~v ′ (t) oraz (c~u(t))′ = c~u ′ (t), gdzie t ∈ I.
Twierdzenie 1.2.
Jeżeli funkcja wektorowa ~u jest różniczkowalna na przedziale I oraz funkcja f : J → I ma pochodną na
przedziale J, to
[~u(f (s))]′ = f ′ (s) · ~u ′ (f (s)) , gdzie s ∈ J.
Twierdzenie 1.3.
Niech funkcje wektorowe ~u, ~v , w
~ o wartościach w R3 będą różniczkowalne na przedziale I. Wtedy zachodzą
wzory:
1. (~u(t) ◦ ~v (t))′ = ~u ′ (t) ◦ ~v (t) + ~u(t) ◦ ~v ′ (t),
2. (~u(t) × ~v (t))′ = ~u ′ (t) × ~v (t) + ~u(t) × ~v ′ (t),
′
3. [(~u(t) × ~v (t)) ◦ w(t)]
~
= (~u ′ (t) × ~v (t)) ◦ w(t)
~ + (~u(t) × ~v ′ (t)) ◦ w(t)
~ + (~u(t) × ~v (t)) ◦ w
~ ′ (t),
t ∈ I.
gdzie
Niech funkcja wektorowa ~r : hα, βi → R2 (~r : hα, βi → R3 ) będzie ciągła i różnowartościowa na przedziale
hα, βi. Łukiem zwykłym na płaszczyźnie (w przestrzeni) nazywamy zbiór
L = {~r(t) : t ∈ hα, βi}.
Niech funkcja wektorowa ~r : I → R2 (~r : I → R3 ), gdzie I oznacza dowolny odcinek, półprostą lub prostą
(z końcem lub bez), będzie ciągła i lokalnie różnowartościowa na I.
Łukiem na płaszczyźnie (w przestrzeni) nazywamy zbiór
L = {~r(t) : t ∈ I}.
Jeżeli funkcja ~r : hα, βi → R2 (~r : hα, βi → R3 ) parametryzująca łuk L spełnia równość ~r(α) = ~r(β), to
mówimy, że łuk L jest zamknięty.
Jeżeli funkcja ~r : hα, βi → R2 (~r : hα, βi → R3 ) jest różniczkowalna w sposób ciągły na hα, βi oraz dla
każdego t ∈ hα, βi spełniony jest warunek ~r ′ (t) 6= ~0, to mówimy, że łuk L jest gładki.
Mówimy, że łuk L jest kawałkami gładki , jeżeli można go podzielić na skończoną liczbę łuków gładkich.
L
L
Łuk zwykły
L
Łuk zamknięty
2
Łuk niezamknięty
L
Łuk kawałkami gładki
sem II, 2009/2010
Katedra Matematyki
Twierdzenie 1.4 (o przedstawianiu łuków na płaszczyźnie i w przestrzeni).
I. Łukami na płaszczyźnie są wykresy funkcji ciągłych postaci:

x = t
1. L : y = f (x), gdzie a ¬ x ¬ b ⇐⇒ L :
y = f (t)

x = h(t)
2. L : x = h(y), gdzie c ¬ y ¬ d ⇐⇒ L :
y = t
, t ∈ ha, bi;
, t ∈ hc, di.
II. Łukami w przestrzeni są części wspólne ciagłych powierzchni walcowych postaci:

y = f (x)
1
4. L :
z = f (x)
, gdzie x ∈ ha, bi ⇐⇒ L :
2

x = h (y)
1
5. L :
z = h (y)
, gdzie y ∈ hc, di ⇐⇒ L :
2

x = k (z)
1
6. L :
y = k (z)
, gdzie y ∈ hp, qi ⇐⇒ L :
2



x=t


y = f (t)
, t ∈ ha, bi;
y=t
, t ∈ hc, di;
y = k (t)
, t ∈ hp, qi.
1



z = f (t)
2



x = h1 (t)




z = h (t)
2



x = k1 (t)


2



z = t
Jeżeli funkcje f, h, f1 , f2 , h1 , h2 , k1 , k2 mają ciągłe pierwsze pochodne, to łuki L są gładkie.
3
sem II, 2009/2010
Katedra Matematyki
Twierdzenie 1.5 (równania parametryczne ważniejszych łuków).
1. Odcinek o końcach A(xA , yA ), B(xB , yB ) ma przedstawienie parametryczne

x = x + (x − x ) · t
A
B
A
L = AB :
y = y + (y − y ) · t
A
B
, gdzie t ∈ h0, 1i.
A
2. Okrąg o środku S(x0 , y0 ) i promieniu R ma przedstawienie parametryczne

x = x + R · cos t
0
L:
y = y + R · sin t
, gdzie t ∈ h0, 2πi.
0
3. Elipsa o środku S(x0 , y0 ) i półosiach a, b ma przedstawienie parametryczne

x = x + a · cos t
0
L:
y = y + b · sin t
, gdzie t ∈ h0, 2πi.
0
4. Odcinek o końcach A(xA , yA , zA ), B(xB , yB , zB ) ma przedstawienie parametryczne
L = AB :



x = xA + (xB − xA ) · t


, gdzie t ∈ h0, 1i.
y = y + (y − y ) · t
A
B
A



z = z + (z − z ) · t
A
B
A
5. Linia śrubowa o skoku h nawinięta na walec (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2 ma przedstawienie parametryczne



x = x0 + R · cos t


L:
y = y0 + R · sin t



z =
, gdzie t ∈ R.
h
2π t
Jeden zwój linii śrubowej otrzymamy, gdy t ∈ h0, 2πi.

x = a cos t
a cos t
. Wtedy
y = b sin t
b sin t
!
Przykład 1.6. Niech f : h0, 2π) → R2 i f (t) =
y
, t ∈ h0, 2π).
R2
R
t
x





x = 1 + t

1+t


Przykład 1.7. Niech f : R → R3 i f (t) = 2 + 2t . Wtedy y = 2 + 2t



−t
z = −t
z
R3
b
R
b
t
x
4
b
y
, t ∈ R.
sem II, 2009/2010


a cos t
Przykład 1.8. Niech f : R →
Katedra Matematyki


i f (t) =  a sin t  . Wtedy
R3
bt
R



x = a cos t


y = a sin t
, t ∈ R.
z
R3



z = bt
t
b
b
b
y
x
Długością łuku L = {~r(t) : t ∈ hα, βi} nazywamy kres górny długości łamanych wpisanych w ten łuk:
def
|L| =
sup
n∈N
{P0 , P1 , . . . , Pn }
b
b
P0
P1
P2
|Pi Pi+1 |,
i=0
Pn−1
Pn
b
b
b
n−1
X
b
P3
b
b
gdzie α = t0 < t1 < . . . < tn−1 < tn = β oraz Pi = ~r(ti ), i = 0, . . . , n.
Twierdzenie 1.9 (wzór na długość łuku).
Niech L = {[x(t), y(t)] : α ¬ t ¬ β} będzie łukiem gładkim na płaszczyźnie. Wtedy długość łuku L wyraża
się wzorem
ˆβ q
|L| =
[x′ (t)]2 + [y ′ (t)]2 dt.
α
Niech L = {[x(t), y(t), z(t)] : α ¬ t ¬ β} będzie łukiem gładkim w przestrzeni. Wtedy długość łuku L
wyraża się wzorem
ˆβ q
|L| =
[x′ (t)]2 + [y ′ (t)]2 + [z ′ (t)]2 dt.
α
UWAGA: W zapisie wektorowym powyższe wzory mają postać:
|L| =
ˆβ
|~r ′ (t)| dt.
α
5
sem II, 2009/2010
2
Katedra Matematyki
Całki krzywoliniowe nieskierowane
Rozważmy łuk gładki L = {~r(t) : t ∈ hα, βi}.
b
b
t∗
1
t∗
2
t∗
k
t∗
3
A∗2
A0
b
A∗k
t∗
n
b
α = t0
A∗1
t1 t2 t3 . . . tk−1 tk . . .tn−1tn = β
b
∆t1 ∆t2 ∆t3
∆tk
∆tn
An
~r
Oznaczenia w definicji całki nieskierowanej:
• P = {t0 , t1 , t2 , . . . , tn }, gdzie α = t0 < t1 < . . . < tn−1 < tn = β – podział odcinka hα, βi na n ∈ N
odcinków;
def
• ∆tk = tk − tk−1 – długość k-tego odcinka podziału P, gdzie 1 ¬ k ¬ n;
• δ(P) = max ∆tk - średnica podziału P;
1¬k¬n
• T = {t∗1 , t∗2 , . . . , t∗n }, gdzie t∗k ∈ htk−1 , tk i dla 1 ¬ k ¬ n – zbiór punktów pośrednich podziału P
• Ak (x(tk ), y(tk )) (lub Ak (x(tk ), y(tk ), z(tk ))) – punkty podziału łuku L indukowane przez podział
P, gdzie 0 ¬ k ¬ n;
• A∗k = (x∗k , yk∗ ) = (x∗ (tk ), y ∗ (tk )) (lub A∗k = (x∗k , yk∗ , zk∗ ) = (x∗ (tk ), y ∗ (tk ), z ∗ (tk ))) – punkty pośrednie
łuku A^
k−1 Ak indukowane przez wybór punktów pośrednich podziału P, gdzie 1 ¬ k ¬ n;
• ∆lk =
´tk
|~r ′ (t)| dt – długość łuku A^
k−1 Ak , gdzie 1 ¬ k ¬ n.
tk−1
Definicja 2.1 (całka krzywoliniowa nieskierowana).
Niech funkcja f będzie ograniczona na łuku gładkim L.
Całkę krzywoliniową nieskierowaną z funkcji f po łuku L definiujemy wzorem
ˆ
L
def
f (x, y) dl =
lim
δ(P)→0
n
X
f (x∗k , yk∗ ) ·
∆lk , lub
k=1
ˆ
def
f (x, y, z) dl =
L
lim
δ(P)→0
n
X
f (x∗k , yk∗ , zk∗ ) · ∆lk ,
k=1
o ile granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa i nie zależy od sposobu podziału P odcinka
hα, βi ani od sposobu wyboru punktów pośrednich T .
Z
6
z = f (x, y)
-
Y
L
X
6
sem II, 2009/2010
Katedra Matematyki
Uwaga 1. Całkę krzywoliniową nieskierowaną z funkcji f po łuku L oznaczamy też symbolem:
´
f dl.
L
Definicja 2.2 (całka krzywoliniowa nieskierowana po łuku kawałkami gładkim).
Niech L będzie łukiem złożonym z łuków gładkich L1 , L2 , . . . , Lm oraz niech f będzie funkcją ograniczoną
na łuku L. Całkę krzywoliniową nieskierowaną z funkcji f po łuku L definiujemy wzorem:
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
def
f dl =
f dl + f dl + . . . +
f dl,
L
L1
L2
Lm
o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją.
Twierdzenie 2.3 (liniowość całki krzywoliniowej nieskierowanej).
Jeżeli istnieją całki krzywoliniowe nieskierowane z funkcji f i g po kawałkami gładkim łuku L, to
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
(f + g) dl = f dl + g dl i
(c · f ) dl = c · f dl, gdzie c ∈ R.
L
L
L
L
L
Zamiana całki krzywoliniowej nieskierowanej na całkę oznaczoną
Twierdzenie 2.4 (o zamianie całki krzywoliniowej nieskierowanej na całkę pojedyńczą).
Jeżeli funkcja f jest ciągła na łuku gładkim L, to
ˆ
f (x, y) dl =
ˆβ
f (x(t), y(t)) ·
α
L
q
[x′ (t)]2 + [y ′ (t)]2 dt,
gdy L = {[x(t), y(t)] : α ¬ t ¬ β} oraz
ˆ
L
f (x, y, z) dl =
ˆβ
f (x(t), y(t), z(t)) ·
α
q
[x′ (t)]2 + [y ′ (t)]2 + [z(t)]2 dt,
gdy L = {[x(t), y(t), z(t)] : α ¬ t ¬ β}.
ˆ
L
f (~r) dl =
ˆβ
f (~r(t)) · |~r ′ (t)| dt.
α
7
sem II, 2009/2010
Katedra Matematyki
Zastosowania całek krzywoliniowych nieskierowanych
Długość łuku
Długość łuku L na płaszczyźnie lub w przestrzeni wyraża się wzorem:
|L| =
´
dl .
L
Pole „pewnego" płata
Niech Σ oznacza powierzchnię boczną walca o tworzących przechodzących przez łuk L ⊂ R2 . Ponadto
niech tworzące walca będą równoległe do osi OZ i w punkcie (x, y) ∈ L mają długość f (x, y) 0. Wtedy
pole płata Σ wyraża się wzorem:
ˆ
|Σ| =
f (x, y) dl
L
Masa łuku
Masa łuku materialnego L na płaszczyźnie (lub w przestrzeni) o gęstości liniowej masy ̺ wyraża się
wzorem:


ˆ
ˆ


M = ̺(x, y)dl  lub M = ̺(x, y, z)dl
L
L
Momenty statyczne
Momenty statyczne względem osi układu łuku materialnego L ⊂ R2 o gęstości liniowej masy ̺ wyrażają
się wzorami:
ˆ
ˆ
M Sx = y · ̺(x, y) dl, M Sy = x · ̺(x, y) dl,
L
L
Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych łuku materialnego L ⊂ R3 o gęstości
liniowej masy ̺ wyrażają się wzorami:
ˆ
ˆ
ˆ
M Sxy = z · ̺(x, y, z) dl, M Sxz = y · ̺(x, y, z) dl, M Syz = x · ̺(x, y, z) dl.
L
L
L
Współrzędne środka masy
Współrzędne środka masy łuku materialnego L ⊂ R2 o gęstości liniowej masy ̺ wyrażają się wzorami:
M Sy
M Sx
xC =
,
yC =
.
M
M
Współrzędne środka masy łuku materialnego L ⊂ R3 o gęstości liniowej masy ̺ wyrażają się wzorami:
M Syz
M Sxz
M Sxy
xC =
,
yC =
,
zC =
.
M
M
M
Momenty bezwładności
Momenty bezwładności względem osi OX, OY , OZ łuku materialnego L ⊂ R3 o gęstości liniowej masy
̺ wyrażają się wzorami:
ˆ
ˆ
ˆ
2
2
2
2
Ix = (y + z ) · ̺(x, y, z) dl, Iy = (x + z ) · ̺(x, y, z) dl, Iz = (x2 + y 2 ) · ̺(x, y, z) dl.
L
L
L
Moment bezwładności względem punktu O(0, 0, 0)łuku materialnego L ⊂ R3 o gęstości liniowej masy ̺
´
wyraża się wzorem: IO = (x2 + y 2 + z 2 ) · ̺(x, y, z) dl .
L
8
sem II, 2009/2010
3
Katedra Matematyki
Całki krzywoliniowe skierowane
~ : D → R2 określoną wzoPolem wektorowym na obszarze D ⊂ R2 nazywamy funkcję wektorową F
rem:
~ (x, y) = [P (x, y), Q(x, y)] , gdzie (x, y) ∈ D.
F
~ : V → R3 określoną wzoPolem wektorowym na obszarze V ⊂ R3 nazywamy funkcję wektorową F
rem:
~ (x, y, z) = [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] , gdzie (x, y, z) ∈ V .
F
Yy
9 6
~
= I F (x, y)
}
= k
66 ?
6X
?? O
w -
7
^R
s
-
Z
6
~
-F (x, y)
Y
-O /
-
-
X
Jeżeli funkcje P, Q lub P, Q, R są ciągłe na obszarach D lub V , to mówimy, że
pole wektorowe F~ jest ciągłe na D lub V .
Jeżeli funkcje P, Q lub P, Q, R mają ciągłe pochodne na D lub V , to mówimy, że
~ jest różniczkowalne w sposób ciągły na D lub V .
pole wektorowe F
3.1
Definicje i własności całek krzywoliniowych skierowanych
Łuk zwykły niezamknięty, na którym ustalono początek i koniec (kierunek), nazywamy łukiem skierowanym.
Łuk skierowany oznaczamy tym samym symbolem co łuk. Łuk o skierowaniu przeciwnym do łuku L będziemy oznaczamy przez −L.
Jeżeli ze wzrostem parametru łuku skierowanego poruszamy się po nim w kierunku skierowania, to mówimy, że parametryzacja łuku jest zgodna ze skierowaniem (lub przedstawienie parametryczne
łuku i nadany mu kierunek są zgodne), w przeciwnym przypadku mówimy, że parametryzacja łuku
jest przeciwna do skierowania (lub przedstawienie parametryczne łuku i nadany mu kierunek są niezgodne).
Rozważmy łuk gładki L = {~r(t) : t ∈ hα, βi} o przedstawieniu parametrycznym zgodnym z kierunkiem
L.
A∗k
A0
t∗
1
α = t0
t∗
2
t∗
3
t∗
k
t∗
n
t1 t2 t3 . . . tk−1 tk . . .tn−1tn = β
∆t1 ∆t2 ∆t3
∆tk
An
∆tn
~r
9
sem II, 2009/2010
Katedra Matematyki
Oznaczenia w definicji całki skierowanej:
• P = {t0 , t1 , t2 , . . . , tn }, gdzie α = t0 < t1 < . . . < tn−1 < tn = β – podział odcinka hα, βi na n ∈ N
odcinków;
def
• ∆tk = tk − tk−1 – długość k-tego odcinka podziału P, gdzie 1 ¬ k ¬ n;
• δ(P) = max ∆tk - średnica podziału P;
1¬k¬n
• T = {t∗1 , t∗2 , . . . , t∗n }, gdzie t∗k ∈ htk−1 , tk i dla 1 ¬ k ¬ n – zbiór punktów pośrednich podziału P
• Ak (x(tk ), y(tk )) (lub Ak (x(tk ), y(tk ), z(tk ))) – punkty podziału łuku L indukowane przez podział
P, gdzie 0 ¬ k ¬ n;
• (x∗k , yk∗ ) = (x∗ (tk ), y ∗ (tk )) (lub (x∗k , yk∗ , zk∗ ) = (x∗ (tk ), y ∗ (tk ), z ∗ (tk ))) – punkty pośrednie łuku
A^
k−1 Ak indukowane przez wybór punktów pośrednich podziału P, gdzie 1 ¬ k ¬ n;
−−−−→
def −
def
• ∆~rk = Ak−1 Ak (tzn. ∆~rk = [∆xk , ∆yk ] lub ∆~rk = [∆xk , ∆yk , ∆zk ], gdzie ∆xk = x(tk ) − x(tk−1 ),
def
def
∆yk = y(tk ) − y(tk−1 ), ∆zk = z(tk ) − z(tk−1 ) oraz 1 ¬ k ¬ n.
Definicja 3.1 (całka krzywoliniowa skierowana).
~ będzie polem wektorowym określonym na łuku skierowanym L (L ⊂ R2 lub L ⊂ R3 ).
Niech F
~ po łuku L definiujemy wzorem
Całkę krzywoliniową skierowaną z pola wektorowego F
ˆ
n
X
def
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = lim
(P (x∗k , yk∗ ) · ∆xk + Q(x∗k , yk∗ ) · ∆yk ) ,
δ(P)→0
L
k=1
lub
ˆ
def
P (x, y, z) dx+Q(x, y, z) dy+R(x, y, z) dz =
lim
δ(P)→0
L
n
X
(P (x∗k , yk∗ , zk∗ ) · ∆xk + Q(x∗k , yk∗ , zk∗ ) · ∆yk + R(x∗k , yk∗ , zk∗ ) · ∆zk )
k=1
o ile granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa i nie zależy od sposobu podziału P odcinka
hα, βi ani od sposobu wyboru punktów pośrednich T .
~ po łuku L oznaczamy też symbolem:
Uwaga 2. Całkę krzywoliniową skierowaną z z pola wektorowego F
ˆ
ˆ
P dx + Qdy lub
P dx + Qdy + Rdz.
L
L
~ po łuku L
UWAGA: W zapisie wektorowym całkę krzywoliniową skierowaną z pola wektorowego F
oznaczamy też symbolem:
ˆ
~ ◦ d~r,
F
L
def
def
gdzie d~r = [dx, dy] lub d~r = [dx, dy, dz].
Definicja 3.2 (całka krzywoliniowa po sumie łuków skierowanych).
Niech łuk skierowany L będzie sumą łuków skierowanych L1 , L2 , . . . , Lm , przy czym koniec łuku Lk jest
~ będzie polem wektorowym określonym na
początkiem łuku Lk+1 , gdzie 1 ¬ k ¬ m − 1. Ponadto niech F
łuku L.
Całkę krzywoliniową skierowaną z pola F~ po łuku L definiujemy wzorem:
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
def
~
~
~
~ ◦ d~r,
F ◦ d~r =
F ◦ d~r + F ◦ d~r + . . . +
F
L
L1
L2
o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją.
10
Lm
sem II, 2009/2010
Katedra Matematyki
UWAGA: Jeżeli łuk skierowany jest zamknięty, to wtedy piszemy:
˛
ˆ
w miejsce
.
Twierdzenie 3.3 (liniowość całki krzywoliniowej skierowanej).
~ po kawałkami gładkim łuku skieJeżeli istnieją całki krzywoliniowe skierowane z pól wektorowych F~ i G
rowanym L, to
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
~
~
~
~
~
~ ◦ d~r, gdzie c ∈ R.
F + G ◦ d~r = F ◦ d~r + G ◦ d~r i
c · F ◦ d~r = c · F
L
Ponadto
L
´
L
L
L
~ ◦ d~r = − F~ ◦ d~r, gdzie −L jest łukiem przeciwnie skierowanym do łuku L.
F
´
L
−L
Twierdzenie 3.4 (zależność między całkami krzywoliniowymi).
~ będzie ciągłe na łuku gładkim L. Wtedy
Niech pole wektorowe F
ˆ
ˆ
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = [P (x, y) cos α + Q(x, y) cos β] dl,
L
L
lub
ˆ
P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz =
L
ˆ
[P (x, y, z) cos α + Q(x, y, z) cos β + R(x, y, z) cos γ] dl.
L
Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńczą
Twierdzenie 3.5 (o zamianie całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńczą).
~ jest ciągłe na łuku gładkim L, którego skierowanie jest zgodne z parametryzacją,
Jeżeli pole wektorowe F
to
ˆ
L
P (x, y) dx + Q(x, y) dy =
ˆβ
α
P (x, y)x′ (t) + Q(x, y)y ′ (t) dt,
gdy L = {[x(t), y(t)] : α ¬ t ¬ β}
oraz
ˆ
P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz =
ˆβ
α
L
P (x, y, z)x′ (t) + Q(x, y, z)y ′ (t) + R(x, y, z)z ′ (t) dt
gdy L = {[x(t), y(t), z(t)] : α ¬ t ¬ β}.
ˆ
F~ (~r) ◦ d~r =
ˆβ h
i
~ (~r(t)) ◦ ~r′ (t) dt.
F
α
L
Niezależność od drogi całkowania
Pole wektorowe F~ określone na obszarze D ⊂ R2 lub V ⊂ R3 nazywamy potencjalnym, gdy istnieje
funkcja u : D → R lub u : V → R , taka że
~ = grad u.
F
~.
Funkcję u nazywamy potencjałem pola wektorowego F
11
sem II, 2009/2010
Katedra Matematyki
Twierdzenie 3.6 (całka krzywoliniowa z pola potencjalnego).
~ będzie ciągłe i ma potencjał u na obszarze D ⊂ R2 lub V ⊂ R3 . Wtedy
ˆ
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = u(xB , yB ) − u(xA , yA ),
f
AB
g – dowolny skierowany kawałkami gładki łuk o początku A(xA , yA ) i końcu B(xB , yB ), całkowicie
gdy AB
zawarty w obszarze D
oraz
ˆ
P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz = u(xB , yB , zB ) − u(xA , yA , zA )
L
g – dowolny skierowany kawałkami gładki łuk o początku A(xA , yA , zA ) i końcu B(xB , yB , zB ),
gdy AB
całkowicie zawarty w obszarze V .
Twierdzenie 3.7 (warunek konieczny i wystarczający potencjalności pola).
~ = [P, Q] będzie różniczkowalne w sposób ciągły na obszarze wypukłym D ⊂ R2 .
(I) Niech pole wektorowe F
Wówczas pole wektorowe F~ jest potencjalne na D wtedy i tylko wtedy, gdy
∂Q
∂P
(x, y) =
(x, y),
∂y
∂x
dla każdego (x, y) ∈ D.
~ = [P, Q, R] będzie różniczkowalne w sposób ciągły na obszarze wypukłym
(II) Niech pole wektorowe F
3
~ jest potencjalne na V wtedy i tylko wtedy, gdy
V ⊂ R . Wówczas pole wektorowe F
∂P
∂Q
∂P
∂R
∂Q
∂R
(x, y, z) =
(x, y, z),
(x, y, z) =
(x, y, z),
(x, y, z) =
(x, y, z),
∂y
∂x
∂z
∂x
∂z
∂y
dla każdego (x, y, z) ∈ V .
~ = [P, Q, R] będzie różniczkowalne w sposób ciągły na obszarze wypukłym
3
V ⊂R .
~ nazywamy pole wektorowe określone wzorem:
Rotacją pola wektorowego F
~i
def
~ = ∂
rot F
∂x
P
~j
∂
∂y
Q
~k ∂ ∂z =
R
∂R ∂Q ~
−
i+
∂y
∂z
∂P
∂R ~
−
j+
∂z
∂x
∂Q ∂P
−
∂x
∂y
~k.
Twierdzenie 3.8.
Pole wektorowe F~ = [P, Q, R] jest potencjalne na obszarsze wypukłym V ⊂ R3 wtedy i tylko wtedy, gdy
~ = ~0.
rot F
Twierdzenie Greena
Niech L będzie kawałkami gładkim łukiem zamkniętym (bez samoprzecięć) na płaszczyźnie, tzn. krzywą
Jordana. Mówimy, że krzywa L jest skierowana dodatnio względem swego wnętrza D, gdy podczas ruchu po łuku L w kierunku jego skierowania obszar D leży cały czas po lewej stronie łuku.
W przeciwnym przypadku mówimy, że krzywa L jest skierowana ujemne względem swego wnętrza D.
6
6
Y
Y
+
L2
>
L1
D2
D1
=
*
-
-
O
L1 - dodatnio skierowany względem obszaru D1
O
X
X
L2 - ujemnie skierowany względem obszaru D2
12
sem II, 2009/2010
Katedra Matematyki
Twierdzenie 3.9 (wzór Greena).
Jeżeli
• obszar domknięty D ⊂ R2 będzie będzie obszarem normalnym (wzgledem OX i OY )
• brzeg L tego obszaru jest skierowany dodatnio względem wnętrza
~ = [P, Q] będzie różniczkowalne w sposób ciągły na D ,
• pole wektorowe F
to
‰
L
x ∂Q ∂P P (x, y) dx + Q(x, y) dy =
dxdy
−
∂x
∂y
D
UWAGA: Wzór Greena także jest prawdziwy dla obszaru D, który można podzielić na skończoną liczbę
obszarów normalnych (względem obu osi).
~ po łuku zamkniętym skierowanym L nazywamy
Cyrkulacją pola wektorowego F
˛
~ ◦ d~r.
F
L
Zastosowania całek krzywoliniowych skierowanych
Pole obszaru
Pole obszaru D ⊂ R2 ograniczonego łukiem zamknietym kawałkami gładkim L, dodatnio skierowanym
względem swego wnętrza D wyraża się wzorem:
‰
‰
‰
1
|D| = − y dx = x dy =
x dy − y dx.
2
L
L
L
Praca w polu wektorowym
Praca w polu wektorowym F~ wykonana wzdłuż łuku skierowanego L od punktu początkowego do końcowego wyraża się wzorem:
ˆ
W = F~ ◦ d~r.
L
Ilość umownej „płaskiej cieczy"
Ilość umownej „płaskiej cieczy" przepływającej w jednostce czasu przez łuk skierowany L wyraża się
wzorem:
ˆ
A = − Q(x, y)dx − P (x, y)dy,
L
gdzie ~v (x, y) = [P (x, y), Q(x, y)] oznacza prędkość przepływu cieczy w punkcie (x, y) tego łuku.
13

Elementy analizy wektorowej - Katedra Matematyki, Politechnika

Transkrypt

Podobne dokumenty

Wykład 5

Tajemnice łuku

DaneLK i podstawowe parametry łuku kołowego