k - Technologia i Automatyzacja Montażu

1/2009
TECHNOLOGIA I AUTOMATYZACJA MONTAśU
ZAGADNIENIA ZAUTOMATYZOWANEGO PLANOWANIA
RUCHÓW ROBOTÓW PRZEMYSŁOWYCH
W ELASTYCZNYCH SYSTEMACH MONTAśOWYCH
Valery KYRYLOVICH, Martin BOGDANOWSKI
Większość operacji technologicznych (OT), wykonywanych przez roboty przemysłowe (RP), moŜna rozpatrywać
jako zagadnienie formowania kolejności stanów kinematycznych układu manipulacyjnego (UM) RP, odpowiadających zadaniu technologicznemu z zachowaniem warunków praktycznej moŜliwości realizacji przejść pomiędzy
nimi, funkcjonalności i osiągnięciem zadanych wskaźników jakościowych i ilościowych. Takie przedstawienie OT
na taktycznym poziomie sterowania odpowiada kształtowaniu nominalnych warunków pracy RP, którego rezultatem jest prawo zmiany współrzędnych uogólnionych określających końcową zaprogramowaną trajektorię (ZT) pomieszczenia organów roboczych (OR) RP. Kompletność
rozwiązania zagadnień kinematyki i dynamiki z uwzględnieniem ograniczeń ruchów UM i przeszkód, poszukiwania rozwiązania w pojawiających się przy tym sytuacjach
„bez wyjścia”, optymalizacja planowania trajektorii i moŜliwości zastosowania współczesnych metod zalgorytmizowanych, szeroko stosowanych w technice obliczeniowej, stanowią podstawowe wymagania przy zautomatyzowanym planowaniu ruchów OR RP.
ANALIZA BADAŃ I PUBLIKACJI
Większość znanych metod planowania ZT opiera się
na poszukiwaniu parametrów wektora sterowania, przenoszącego UM ze stanu początkowego w końcowy, na
podstawie zlinearyzowanych równań, opisujących jego
zachowanie przy niewielkich zmianach współrzędnych.
Przy rozwiązywaniu tych równań dość skomplikowane jest
uwzględnienie ograniczeń wartości współrzędnych uogólnionych, uwarunkowanych cechami konstrukcyjnymi
i ograniczeniami przestrzeni roboczej (PR)[1]. Planowanie
ZT moŜe się odbywać w przestrzeni kartezjańskiej lub
w przestrzeni współrzędnych uogólnionych. W pierwszym
przypadku planowanie następuje według połoŜenia OR
RP drogą interpolacji pomiędzy punktami węzłowymi
w dyskretnej przestrzeni roboczej, która umownie tworzy
siatkę. Metody słuŜące do opisania ruchu prostoliniowego
pomiędzy kolejnymi punktami węzłowymi przedstawiono
w pracach [2, 3, 4]. W zaleŜności od układu sterowania
RP otrzymana tym sposobem trajektoria moŜe być realizowana automatycznie na podstawie odchyleń między
bieŜącym i zadanym połoŜeniem chwytaka RP w przestrzeni kartezjańskiej lub przeniesiona do przestrzeni
współrzędnych uogólnionych poprzez aproksymację wielomianami niskiego stopnia z następną realizacją na pod-
18
stawie odchyleń zmiennych przyłączonych. Planowanie
ZT w układzie współrzędnych uogólnionych zapewnia
mniejsze nakłady obliczeniowe, ale otrzymane w rezultacie sterowanie zlinearyzowane wymaga dalszej stabilizacji
dynamicznej.
Przy planowaniu ZT wyróŜnia się dwa podstawowe podejścia: kinematyczne i dynamiczne [2]. Efektem kinematycznego planowania ZT jest sformułowanie prawa
zmiany współrzędnych uogólnionych z uwzględnieniem
jedynie parametrów kinematycznych i ograniczeń UM RP.
Określone w ten sposób nominalne sterowanie wymaga
sprawdzenia moŜliwości jego realizacji na podstawie pełnego modelu dynamiki. Jedna spośród zautomatyzowanych metodyk planowania ZT z uwzględnieniem aspektu
kinematycznego w procesie montaŜu została przedstawiona w pracy [5]. Przy tym uwzględniono ograniczenia
dynamiczne w postaci maksymalnie dopuszczalnych
prędkości przemieszczenia oddzielnych stopni ruchliwości
RP z uzyskaniem suboptymalnej trajektorii (ze względu na
szybkość działania).
Celem niniejszej pracy jest prezentacja proponowanej
metodyki planowania ruchu OR UM RP z uwzględnieniem
dynamiki przy realizacji zadań związanych z obsługą wyposaŜenia technologicznego.
ZAGADNIENIA OGÓLNE
Ogólnie wyznaczenie zaprogramowanego ruchu (ZR)
sprowadza się do rozwiązania dwupunktowego zagadnienia brzegowego z zachowaniem warunków brzegowych
(1), a takŜe konstrukcyjnych i dynamicznych ograniczeń
(2) w czasie
t ∈ [t0 , tk ] :
x p (t0 ) = x0 ; x p (tk ) = xk ;
(1)
 x p (t ) ∈ Qx

 x& p (t ) ∈ Q& x

( x p (t ), x& p (t )) ∈ PF
(2)
gdzie:
•
x0 ,
x k – zadane początkowe i końcowe stany OR;
TECHNOLOGIA I AUTOMATYZACJA MONTAśU
•
1/2009
Q xt , Q& x – ograniczenia zmiany połoŜenia i prędko-
gdzie:
•
x(t) – n-miarowy wektor stanu mechanizmów wykonawczych i napędu RP;
•
u(t) – m-miarowy wektor sterowania;
•
ξ – wektor parametrów konstrukcyjnych UM, określany napędową i napędzaną częścią RP PF,
podprzestrzenią PF jest zbiór (4):
dzielono na dwa podstawowe etapy, przedstawione na
rys. 1. Na pierwszym etapie przeprowadza się planowanie
kinematyczne drogą rozwiązania zagadnienia brzegowego z warunkami początkowymi (1), którymi są punkty
węzłowe trajektorii i dwa pierwsze ograniczenia przedstawione w wyraŜeniu (2). Przy tym, dla punktów węzłowych
rozwiązuje się odwrotne zadanie kinematyki (OZK) poprzez wstępne generowanie przypadkowych konfiguracji
początkowych z następnym wykorzystaniem metody
Gaussa-Seidela. Otrzymany zbiór konfiguracji, określających stan UM w węzłowych punktach trajektorii z wykorzystaniem PKS, RP i OM, analizuje się ze względu na
obecność przeszkód pierwszego i drugiego rodzaju (środowisko otaczające i samoprzecięcie UM RP z rejestracją
OM) z wykorzystaniem R-funkcji w formie predykatów.
Otrzymany w ten sposób zbiór ścięty (5) stanowi rezultat
kinematycznej analizy UM RP w węzłowych punktach
trajektorii [5]:
PF = { x, f ( x(t ), u (t ), ξ )} : x ∈ R n , u ∈ R m
Qt = q kj F q kj = M k , Manipulato r q kj ∩ Barriers
ści współrzędnych uogólnionych UM RP w przestrzeni
konfiguracji;
•
PF
– podprzestrzeń dozwolonego ruchu od sterowa-
nia, której jawna postać określona jest jawną postacią
równań ruchu członów RP.
I tak, w ogólnym przypadku przedstawienia dynamiki
RP w postaci wektorowego równania róŜniczkowego (3):
x& (t ) = f ( x(t ), u (t ), ξ ) ,
(3)
,
(4)
gdzie:
•
R – przestrzeń euklidesowa odpowiedniej wymiarowości.
Liczne znane klasyczne metody rozwiązywania zagadnień brzegowych w przypadku wyznaczania ruchu OR RP
są mało efektywne lub nieprzydatne [1, 2], co związane
jest przede wszystkim z koniecznością uwzględnienia
ograniczeń (2), mających, w ogólnym przypadku, złoŜony
charakter. Z tego powodu problem wyznaczania ruchu
naleŜy rozdzielić na etapy, oddzielnie planując ruch bez
przeszkód, oddzielnie z ich uwzględnieniem. Znane algorytmy planowania [4] wymagają generowania siatki przestrzeni konfiguracyjnej UM RP, wyboru na niej drogi między węzłowymi punktami trajektorii z następnym przeglądaniem jej węzłów przy analizie przeszkód. W innym
przypadku [1], wymagane jest konstruowanie funkcji bazowych, uwzględniających ograniczenia (2) przy planowaniu w przestrzeni kartezjańskiej. Wymienione uwagi
i cechy szczególne planowania ruchów wymagają
uwzględnienia przy określaniu kolejności rozwiązywanych
problemów ze względu na kompletność rozwiązania,
moŜliwości następnej automatyzacji i nakłady obliczeniowe.
Dla zautomatyzowanego planowania ruchów w ogólnym przypadku konieczna jest rejestracja geometrycznych, kinematycznych i dynamicznych charakterystyk UM
RP, obiektu manipulowania (OM) i środowiska otaczającego. W tym celu wykorzystano zmodyfikowany sformalizowany opis projektowej kinematyki systemu (PKS) RP,
OM i środowiska otaczającego [5], a takŜe parametry dynamiczne UM RP. Zagadnienie planowania ruchów po-
{
( )
( )
( ),
= Ø, Manipself q
j
k
(5)
gdzie:
•
M k – macierz połoŜenia i orientacji chwytaka RP
w k -tym węzłowym punkcie trajektorii;
F ( qkj )
•
– równanie macierzowe, wiąŜące macierz
stanu UM RP z wektorem współrzędnych uogólnionych;
–
wektor
współrzędnych
uogólnionych
•
q
q = {qi }|i =1, I ;
•
{
( )
Manipulato r q kj =
= x, y , z
}
Manipulato RFunc ( x, y , z , q ) ≥ 0 – za-
pis przestrzeni skończonej zajmowanej przez UM RP, dla
której określono wartość R-funkcji ze względu na przeszkody 1 rodzaju ManipulatorRFunc x, y , z , q ;
(
•
)
Barriers = { x, y , z | BarriersRFunc ( x , y , z ) ≥ 0}
– zapis przestrzeni skończonej zajmowanej przeszkodami, dla której określono wartość R-funkcji ze względu
na ogół przeszkód
•
BarriersRFunc ( x, y, z ) ;
( )
Manipself (q kj ) = Manipulator q kj
(
∩ Manipulator q
j
k j +2
j
)∩ Manipulator(q )
j
k i−2
i =1, I
– funkcja przeszkody drugiego rodzaju;
•
j
– numer konfiguracji dla k -tego punktu węzło-
wego trajektorii;
i – numer ogniwa kinematycznego od podstawy do
•
OR UM RP dla k -tego punktu węzłowego trajektorii.
19
1/2009
TECHNOLOGIA I AUTOMATYZACJA MONTAśU
Informacja źródłowa
OT i OM
RP
Parametry dynamiczne
1. Masy członów NUM
1. Sformalizowany pis PKS OT
ПКС OTn n =1,N = U {lic Oi typei [p1 , p2 ]}
I
Jxyi i =1,I
3. Skupione środki mas członów.
4. Parametry napędów
ze wskazaniem ograniczeń
ich sterowania.
2. Opis OM
ОМ l l =1,L ⊂ ПРm m=1,M = lic Oi typei [p1 , p2 ]i= I
l =1, L
⊂ ПРm
m=1,M
i =1,I
2. Tenzory bezwładności członów
i =1
ОМd l
mi
Parametry geometryczne i kinematyczne:
= mi , Jxyi i = I
1. Sformalizowany opis PKS RP
ПКС ПРm m=1,M =
= lic Oi typei [p1 , p2 ]τ i (liv ) Si i =1, I
2. Zbiór podstawowych punktów trajektorii
przemieszczeń OR między zespołami
ze wskazaniem wektorów podejścia
do realizowanych zadań OT
ТРi n,k
k =1, K
ТРou t, k
II
e
t
a
p
Pełny model dynamiki
UM RP
x& = Ax + bN (u) +
fH (q)q&& + fh(q, q& )
Model dynamiki NUM
P = H (q )∗ q&& + h(q, q& )
Dyskretyzacja trajektorii
lokalnych
qk ( t ) t =1,t
q&kjj = {(q
→ q k ( S ⋅ T )
/ t m ax k } i =1 , I ,
T = ( q k +1 − q k ) / S
H(q) - macierz
bezwładności NUM;
h(q,q*) - macierz
sił odśrodkowych
Coriolisa
i grawitacyjnych
j
k +1 j
− q
j
kj
)/
j =1 , J , k = 1 , K
= [ x, y, z,o, p, n]}
k = 1,K
→ {GDk
Normowanie prędkości ruchu
członów UM RP
t = S ⋅T
max k
k =1, K
→{GDk
= [ x, y, z , o , p, n ]}
k =1,K
Okreslenie zbioru
konfiguracji
dla węzłowych
punktów
trajektorii:
- generowanie NK;
- rozwiązanie OZK.
Analiza samoprzecięcia i stref
niedozwolonych przestrzeni
roboczej RP:
Manipulator ( q k ( S ⋅ T )) ∩ Barriers = ∅
Model dynamiki układu
napędowego RP
.
q& = Aq + bu + fp
Manipself ( q k ( S ⋅ T )) = ∅
A, b, f - macierze
i wektory stałych
parametrów układu
napędowego
Rozwiązanie
zagadnienia
kinematyki.
Utworzenie zbioru
dyskretnych
cyklicznych
trajektorii
w przestrzeni
kartezjańskiej.
Utworzenie zbioru cyklicznych trajektorii
(wykorzystanie programowania dynamicznego)
I
I
i =1
i =1
W = ∑ Fs (xis , u is−1 ) = ∑ wi (q is+1 − q is )
Os−1 ( xsi −1) = min ( Fs ( f s−1 ( x is−1 ,u is−1 )) + Os ( f s−1 ( x is−1 ,usi−1 )))
uis −1 ∈U s− 1
u ( xsi , k ) = ϕ ( x is ,k )
Korekcja
zdyskretyzowanych
trajektorii lokalnych.
s =1, S , k =1, K
Rezultaty
1. Subtymalne cykliczne trajektorie RP według określonego funkcjonału.
2. Nominalne sterowanie według stopni ruchliwości UM RP.
3. Ocena nakładów na wykonane przemieszczenie.
Rys. 1. Podstawowe etapy zautomatyzowanego planowania ruchów UM RP
20
I
e
t
a
p
TECHNOLOGIA I AUTOMATYZACJA MONTAśU
1/2009
Dla analizy kinematycznej moŜliwości realizacji nominalnego ruchu OR UM RP z uwzględnieniem drugiego
wyraŜenia ograniczenia (2) przeprowadza się dyskretyzację trajektorii między jej punktami węzłowymi, zakładając
jednoczesną realizację ruchu wszystkich stopni ruchliwości z następnym rozwiązaniem OZK w dyskretnych momentach czasu ruchu. W tym celu przeprowadza się normowanie prędkości ruchu wszystkich członów UM RP,
zakładając trapezową zmianę prędkości dla najdłuŜszego
czasu przejścia między sąsiednimi węzłami trajektorii
t max k :
j
q& k ,i = {( qkj+1,i − qkj ,i ) / tmax k }
Zakładając liczbę przedziałów dyskretyzacji S, konfiguracja UM RP qk ( s ⋅ T ) , gdzie T = ( q k +1 − q k ) / S jest
sprawdzana na występowanie przecięcia z przeszkodami
pierwszego i drugiego rodzaju z wykorzystaniem R-funkcji
jednego typu. W przypadku znalezienia się UM RP
w niedozwolonej strefie w pewnym przedziale
s przeprowadza się korekcję konfiguracji z wykorzystaniem algorytmu [5], dającą ściętą przestrzeń konfiguracyjną, zawartą między sąsiednimi węzłowymi punktami
trajektorii wokół niedozwolonych stref UM RP.
Celem drugiego podstawowego etapu planowania ruchu z uwzględnieniem dynamiki UM RP jest wybór optymalnej trajektorii odpowiadającej konstrukcyjnym i zewnętrznym ograniczeniom ruchu. W celu otrzymania
i oceny wektora sterowania proponuje się wykorzystanie
na tym etapie pełnego modelu dynamiki, obejmującego
dynamikę nośnego układu manipulacyjnego (NUM)
i napędów.
NiezaleŜnie od formalizmu przyjętego za podstawę do
ułoŜenia równań dynamiki NUM RP, ich forma wektorowa
moŜe być przedstawiona w formie macierzowej [2]:
,
(7)
gdzie:
•
H (q ) – macierz bezwładności UM RP;
•
h(q, q& ) –
wektor – macierz sił odśrodkowych Corio-
lisa i grawitacyjnych;
•
P – wektor momentów uogólnionych, przyłoŜonych
do członów; określenie momentów uogólnionych jest
moŜliwe z wykorzystaniem liniowych modeli dynamiki [2]
części napędowej RP (8)
(8)
gdzie:
x – wektor przedstawienia współrzędnych uogólnio•
nych napędu: silnika prądu stałego
i wektor sił uogólnionych P odpowiednio;
u – wektor sterowania napędów;
•
•
А, b, f – macierz i wektory konstrukcyjnych lub elektrycznych parametrów napędów, których jawna postać
zaleŜy od typu napędów.
Oprócz określonych А, b, f w [2] rozpatrzono model
linearyzacji napędu pneumatycznego z regulacją dławieniową.
Pełny model dynamiki UM RP w formie macierzowej
(9) z uwzględnieniem ograniczeń sterowania (10) moŜna
przedstawić w następujący sposób:
x = {s , s&, i} ,
na-
(9)
 −ui ,max , ui < −ui ,max

N (ui ) = ui , − ui ,max ≤ ui ≤ ui ,max
 u
i ,max , ui > ui ,max

,
gdzie:
x = [q, q&, x0 ]
(10)
– wektor stanu UM RP.
Zgodnie z [2] wyraŜenie (9) w przestrzeni stanów UM
RP x względem sterowania u moŜna przepisać w formie
macierzowej:
u = ϕ ( x) = (β ( x)T β ( x))−1 β ( x)T ( x& − α ( x))
gdzie:
•
α ( x) ,
β ( x)
,(11)
– rozszerzone macierze w postaci:
α ( x) = ( Ax + Fh( x))( I n − [[0 H (q)] ⋅ [ F ] 0]) −1
β ( x) = B( I n − [[0 H (q )] ⋅ [ F ] 0]) −1 ;
In
– jednostkowa macierz diagonalna wymiarowości n;
[⋅]
T
– operacja transpozycji macierzy.
Przy poszukiwaniu optymalnej trajektorii w ściętej przestrzeni konfiguracyjnej, otrzymanej na etapie kinematycznego planowania ruchu, stosuje się metodę dyskretnego
programowania dynamicznego z uwzględnieniem (11).
Jako funkcję celu rozpatrzono minimum obszaru ruchów
UM RP:
I
I
i =1
i =1
W = ∑ Fs ( xsi , usi −1 ) = ∑ wi (qsi +1 − qsi )
,
(12)
I
gdzie:
x& = Ax + bu + fP ,
x = {l , l&, ∆p}
x& = Ax + bN (u) + fH (q)q&& + fh(q, q& ) ;
i =1, I ; j =1, J ; k =1, K
(6)
H (q )q&& + h(q, q& ) = P
pędu hydraulicznego i pneumatycznego
wi = ∑ ml q& l2max / 2 .
l =i
Ruch UM między s podstawowymi punktami trajektorii
w zdyskretyzowanej przestrzeni stanów, stosując (10)
i (11) moŜna przedstawić następującą zaleŜnością:
21
1/2009
TECHNOLOGIA I AUTOMATYZACJA MONTAśU
(
) (
)
x i (s + 1) = x i (s ) + Tα x i (s ) + β x i (s ) u i (s ) =
(
)
= f x si , u si .
(13)
UM RP. Jako funkcje celu mogą być rozpatrzone inne,
wyraŜające energetyczne i czasowe nakłady na realizację
ruchów.
LITERATURA
Rozpatrując graf ruchu wektora współrzędnych uogólnionych od jego stanu końcowego w (k+1)-tym punkcie
węzłowym do k-go i stosując zasadę optymalności, kolejno określa się drogę, na kaŜdym kroku której od stanu
końcowego x wartość funkcji nakładów jest minimalna:
( )
O s −1 x si −1 =
1.
2.
3.
( ( (
))
( (
= min min Fs f s −1 x si −1 , u si −1 + O s f s −1 x si −1 , u si −1
u si −1∈U s −1
)))
4.
(14)
gdzie:
•
U s−1
– obszar dopuszczalnych wartości wektora ste5.
rowania na s-ym kroku.
Przy poszukiwaniu optymalnej wartości
Os −1 ( x
i
s −1
),
stosując wyraŜenie (11), na s-ym kroku występuje sterowanie optymalne
u( xsi −1 ) = ϕ ( xsi −1 ) ,
(15)
6.
których ogół przy wszystkich s i k daje kolejność optymalnych sterowań
us ,k
s =1, S ; k =1, K
.
WNIOSKI
Rozpatrzona kolejność etapów i zadań przy dalszej algorytmicznej i programowej realizacji pozwoli uzyskać
suboptymalne rozwiązanie zagadnienia planowania ruchu
Тимофеев А. В. Адаптивные робототехнические
комплексы. – Л.: Машиностроение. Ленингр. отдние, 1988. – 332с.: ил.
Вукобратович М. Стокич Д.: Управление манипуляционными роботами: теория и прило-жения. –
М.: Наука, 1985. – 384.
Кобринский А. А., Кобринский А. Е.: К построению
движений манипуляционных систем. – Докл.АН
СССР. – 1975. – т.224. – № 4. – С. 1030.
Механика промышленных роботов: Учеб. пособие
для втузов: в 3т. /Под ред К. И. Фролова, Е. И. Воробьева. Кн. 1: Кинематика и динамика / Е. И. Воробьев, С. А. Попов, Г. И. Шевелева. – М.: Высш.
шк., 1988. – 304с.
Богдановський М. В., Кирилович В. А., Ковбаса Н.
А., Нужда Т. Е.: Методика автоматизованого кінематичного формування програмних траєкторії переміщення схвату промислового робота при синтезі роботизованих механоскладальних технологій
// Вісник ЖДТУ. Технічні науки. – 2004. –№4(31). –
С. 92-101.
Малышев В. А., Тимофеев А. В.: Алгоритмы
построения программных движений мани-пуляторов с учетом конструктивных ограничений
и препятствий. // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. – 1978. – №6. – С. 64–73.
___________________
Doc. dr inŜ. V. Kyrylovich oraz dr inŜ. M. Bogdanowski są
pracownikami śytomirskiego Instytutu InŜymieryjno-Technicznego w śytomierzu, Ukraina, e-mail: kirin
[email protected]
NOWE KSIĄśKI
W Wydawnictwie Naukowym Instytutu Technologii
Eksploatacji PIB w Radomiu wydano w 2008 r. ksiąŜkę
„Teoria i InŜynieria Systemów – Zasady i zastosowanie
myślenia systemowego”. KsiąŜka opracowana przez prof.
Czesława Cempela jest podręcznikiem akademickim dla
studentów i doktorantów wydziałów politechnicznych.
Główne rozdziały ksiąŜki:
Przedmowa.
1. Teoria i InŜynieria Systemów – wprowadzenie potrzeby.
2. Myślenie systemowe, drogi rozwoju i stan obecny.
3. Podstawowe byty i idee teorii systemów – systemy,
holony i ich własności.
4. Cykl Ŝycia systemów.
5. Modele systemów i ich zachowanie.
6. Innowacyjne rozwiązywanie problemów
22
7.
8.
Projektowanie koncepcyjne systemów
Wybór rozwiązań systemowych – ocena, optymalizacja, decyzja.
9. InŜynieria wirtualna w inŜynierii systemów.
10. Wiedza w gospodarce i w społeczeństwie.
11. Zakończenie
12. Literatura i źródła.
13. Indeks.
Załączniki.
KsiąŜka formatu B5 w twardej okładce zawiera 291
stron, 152 pozycje wykorzystanej literatury, 132 rysunki,
7 kolorowych ilustracji i kosztuje w sprzedaŜy wysyłkowej
35 zł (e-mail: [email protected]).
Opracował: Jerzy Łunarski