1 1. Jaką energię trzeba włożyć, aby nadać 1 kg masy rakiety

Praca domowa nr 5. Szczególna teoria względności. Fale elektromagnetyczne. Elementy fizyki kwantowej
Grupa 1. Szczególna teoria względności
1. Jaką energię trzeba włożyć, aby nadać 1 kg masy rakiety prędkość 0,99c? Obliczenia wykonaj
stosując równania mechaniki klasycznej i relatywistycznej.
2. Długość statku kosmicznego zmierzona przez pewnego obserwatora jest równa połowie jego
długości spoczynkowej. Ile wynosi β = v/c? Ile razy wolniej biegnie czas na zegarach statku?
3. Kosmiczny podróżnik wyrusza z Ziemi z prędkością v = 0,99c w kierunku gwiazdy Wega
znajdującej się w odległości 26 lat świetlnych. Jaki czas odmierzą zegary umieszczone na Ziemi do
chwili: (a) podróżnik osiąga cel podroży, (b) kiedy na Ziemię dotrze jego wiadomość o tym zdarzeniu?
4. Z akceleratora cząstek elementarnych wylatuje z prędkością v = 0,999c strumień pionów. Ile wynosi
czas życia pionów w laboratoryjnym układzie odniesienia, jeśli ich własny czas życia τ0 = 1,8⋅10−8s?
Jaką drogę przebędzie pion w jego własnym i laboratoryjnym układzie odniesienia od miejsca
powstania do punktu rozpadu? O ile oddali się akcelerator od pionu w układzie związanym z pionem?
5. Dwa obiekty poruszają się z prędkościami v = 0,75c w przeciwnych kierunkach w układzie związanym z Ziemią. Z jaką prędkością porusza się drugi obiekt w układzie związanym z pierwszym?
6. Statek kosmiczny oddalający się od Ziemi z prędkością 0,9c nadaje komunikaty na częstotliwości
100 MHz. Na jakiej częstotliwości odbierane są te sygnały na Ziemi?
7. Obliczyć relatywistyczne pędy: protonu i fotonu o energiach całkowitych 1GeV =109eV (1eV=
1,6⋅10−19 J). Wyznaczyć relatywistyczną energię kinetyczną protonu.
8. Średni czas życia spoczywających mionów wynosi 2,2 µs. Pomiary wykonane w laboratorium dla
wiązki mionów z akceleratora cząstek wykazały, że średni czas życia mionów wynosi 6,9 µs. Ile wynosi
w układzie związanym z laboratorium: (a) prędkość mionów, (b) ich energia kinetyczna i (c) pęd? Masa
mionu jest 207 razy większa od masy elektronu równej 9,1⋅10−31 kg.
Grupa 2. Fale elektromagnetyczne i optyka
1. Chwilowa gęstość energii u(x, t) fali elektromagnetycznej wynosi u(x, t) = ε0E2/2+B2/(2µ0). (a)
Pokazać, że u(x, t) = ε0E2; (b) Czy jest prawdą, że w próżni gęstości energii pól elektrycznego i
magnetycznego są sobie równe? (c) Pokazać, że średnia wartość energii fali elektromagnetycznej o
postaci
wyraża się wzorem
2. Chwilowa gęstość energii u(x, t) fali elektromagnetycznej wynosi u(x, t) = ε0E2/2+B2/(2µ0). (a)
Pokazać, że u(x, t) = ε0E2; (b) Czy jest prawdą, że w próżni gęstości energii pól elektrycznego i
magnetycznego są sobie równe? (c) Pokazać, że średnia wartość energii fali elektromagnetycznej o
postaci
i
wyraża się wzorem
3. Płaska fala elektromagnetyczna o długości λ = 3m rozchodzi się w próżni w dodatnim kierunku osi
OX, a wektor natężenia jej pola elektrycznego ma kierunek osi OY i amplitudę 300V/m. (a) Ile wynosi
częstość ν tej fali? (b) Jaki jest kierunek i amplituda wektora indukcji pola magnetycznego tej fali? (c)
Jakie są wartości k i ω, jeżeli E = Em sin(kx − ωt)? (d) Ile wynosi uśredniona po czasie szybkość przepływu energii tej fali (wyrażona w watach na metr kwadratowy)? (e) Jakie ciśnienie wywiera ta fala
będąc całkowicie pochłanianą prze kartkę papieru o powierzchni 2m2 . Fala pada prostopadle.
4. Wzór Bx = (4µT)sin[ky + (2·1015s−1)t] określa składową magnetyczną płaskiej fali elektromagnetycznej. W jakim kierunku biegnie fala? Podaj wyrażenie na wektor natężenia pola elektrycznego tej
fali. W jakich płaszczyznach leżą wektory indukcji magnetycznej i natężenia pola elektrycznego tej fali?
Ile wynosi: jej natężenie, wartość k i długość?
1
5. A) Laser neodymowy może w impulsie o długości fali 0,26 µm i czasie trwania 1 ns wysyłać
promieniowanie o mocy 100 TW. Jaką energię niesie taki impuls? B) Najbliższa nam gwiazda, Proxima
Centauri, znajduje się w odległości 4,3 lat świetlnych. Ziemska radiostacja ma moc 1MW. Jakie jest
natężenie fali emitowanej przez tę stację na powierzchni gwiazdy Proxima Centauri?
6. Wyznacz wartość stałej słonecznej, tj. intensywność światła słonecznego padającego na jeden metr
kwadratowy w odległości, w jakiej Ziemia znajduje się od Słońca. Potrzebne dane należy pozyskać
samodzielnie. Ile wynosi ciśnienie tego światła na powierzchnię jednego metra kwadratowego?
7. Związek między zmianą energii ∆W wywołaną pochłonięciem światła niosącego pęd ∆p ma postać
∆W/c = ∆p. Statek kosmiczny o masie 1,5·103 kg dryfuje w przestrzeni kosmicznej. Działająca na niego
wypadkowa siła zewnętrzna jest równa zeru. Astronauta włącza laser emitujący wiązkę promieniowania
o mocy 10 kW. Jaką prędkość osiągnie po jednej dobie statek kosmiczny?
8. W pewnym obszarze przestrzeni kosmicznej, gdzie siły grawitacji są zaniedbywalnie małe, wiązka
światła o stałym natężeniu I = 6mW/m2 przyspiesza kulkę o promieniu 2 µm i gęstości 5·103 kg/m3,
całkowicie pochłaniającą światło. Oszacować wartość siły działającej na kulkę oraz jej przyspieszenie.
Grupa 3. Elementy fizyki kwantowej
1. Spoczywający atom wodoru o masie m = 1,67·10−27 kg emituje foton o długości fali λ i energii
10,2 eV. Ile wynosi prędkość i energia kinetyczna atomu tuż po emisji? Ile wynosi λ?
2. Rozpatrujemy atom wodoropodobny o ładunku jądra Ze. Jaką częścią prędkości światła jest prędkość
elektronu na pierwszej orbicie Bohra dla Z = 1? Dla jakich wartości Z prędkość elektronów jest równa
c/10? Dla jakich wartości Z energia jonizacji elektronu jest równa E0/100, gdzie E0 jest energią
spoczynkową elektronu?
3. Ujemny potencjał Vstop powodujący zanik prądu fotoelektrycznego dla pewnej fotokatody oświetlonej
światłem wynosi 1,25V. Wyznaczyć maksymalne energie kinetyczne i maksymalne prędkości
fotoelektronów. Na jaką wysokość może się wznieść taki fotoelektron w ziemskim polu grawitacyjnym?
4. Dla pewnej fotokatody zmierzono potencjały hamujące fotoelektrony. Oto otrzymane wyniki: (1) Vstop
= 1,0V przy λ = 600 nm, (2) Vstop = 3,0V przy λ = 300 nm. Wyznaczyć pracę wyjścia, graniczną
częstotliwość i długość fali fotoefektu, oraz stałą Plancka.
5. Dla pewnej fotokatody zmierzono potencjały hamujące fotoelektrony. Otrzymano następujące
wyniki: (1) Vstop = 1,48V dla _ = 366 nm, (2) Vstop = 1,15V przy λ = 405 nm, (3) Vstop = 0,93V przy λ =
436 nm, (4) Vstop = 0,62V przy λ= 492 nm, (5) Vstop = 0,36V przy λ= 546 nm, (6) Vstop = 0,24V przy λ
= 579 nm. Sporządzić wykres zależności Vstop(ν) (można skorzystać z oprogramowania). Na podstawie
wykresu określić: (a) graniczną częstotliwość i długość fali fotoefektu; (b) pracę wyjścia; (c) stałą
Plancka. Przyjąć, że wartość ładunku elementarnego jest znana.
6. A) Oszacować stałą Plancka wiedząc, że granica ciągłego widma lampy rentgenowskiej λmin = 3,11 ·
10−11m, a napięcie U = 40 kV. B) Oko ludzkie jest w stanie rejestrować nawet pojedyncze fotony! Niech
na takie oko pada pojedynczy foton o długości fali 550 nm w ciągu sekundy. Ile wynosi moc
rejestrowanego okiem światła?
7. A) Ile wynosi minimalna wartość energii fotonu, przy której jest możliwa kreacja pary elektron–
pozyton? Ile wynosi energia potrzebna do kreacji pary proton–antyproton? B) W komorze
pęcherzykowej zaobserwowano parę elektron–pozyton. Cząstki poruszały się po okręgach o
promieniach r = 3 cm. Indukcja pola magnetycznego wynosi B = 1T i jest prostopadła do płaszczyzn
toru ruchu obu cząstek. Obliczyć energię i długość fali fotonu, który wytworzył parę cząstek.
8. A) Wyznaczyć energie i długości fal dwóch fotonów emitowanych na skutek anihilacji
spoczywających par: (a) elektron–pozyton, (b) proton–antyproton. B) Foton o energii 4 keV po
elastycznym zderzeniu ze spoczywającym elektronem odchyla się o kąt 60◦. Obliczyć energię
kinetyczną elektronu po zderzeniu.
W. Salejda
Wrocław, 19 maja 2016
2