Matematyczne metody fizyki, ćwiczenia, zestaw 10 10.1. Proszę

Matematyczne metody fizyki, ćwiczenia, zestaw 10
10.1. Proszę przygotować zadanie 9.2.
10.2. Proszę wyznaczyć, korzystając z postaci rozwinięcia
log(1 − z) = −
∞
∑
zn
n=1
n
analityczną postać rozwiązania zadania 9.1.
10.3. Proszę udowodnić, korzystając z postaci funkcji tworzącej dla funkcji Bessel’a, relację rekurencyjną
2n
Jn+1 (x) − Jn−1 (x) =
Jn (x).
x
10.4. Proszę znaleźć ogólne (parametryzowane dwiema niezależnymi funkcjami) rozwiązanie dwuwymiarowego równania falowego
∂2u ∂2u
− 2 = 0.
∂t2
∂x
Wskazówka: proszę przepisać to równanie w zmiennych x± = t ± x.
10.5. Proszę znaleźć (korzystając z wyniku poprzedniego zadania) rozwiązanie dwuwymiarowego
równania falowego, spełniające warunki początkowe
2
u(0, x) = e−ax ,
∂t u(t, x)
= 0.
t=0
10.6. Proszę dla funkcji u(t, x), będącej rozwiązaniem poprzedniego zadania, obliczyć wartość
∫∞ (
H(t) =
)
(∂t u(t, x))2 + (∂x u(t, x))2 dx.
−∞
Jak można „fizycznie” zinterpretować otrzymany wynik?
10.7. Proszę znaleźć rozwiązanie problemu eksplozji jednowymiarowej, to znaczy rozwiązanie równania falowego z warunkami początkowymi:
{
0 |x| > L,
=
u(0, x) = 0,
∂t u(t, x)
t=0
P |x| ≤ L.
Proszę znaleźć zależności ciśnienia od odległości dla ustalonego czasu. Prędkość rozchodzenia
fali oraz gęstość ośrodka proszę przyjąć jako równe 1.
Leszek Hadasz
[email protected]