1 Podstawowe de nicje 2 Rodzaje macierzy

Macierze
1 Podstawowe denicje
Denicja
Macierz¡ wymiaru m×n, gdzie m, n ∈ N nazywamy tablic¦ liczb rzeczywistych (lub zespolonych)
postaci


A = Am×n = [aij ]m×n
a11 · · ·

..

.

a
···
=
i1


..

.
am1 · · ·
a1j
···
aij
···
amj
···
..
.
..
.
a1n
.. 
. 

ain 
.
.. 
. 
amn
Denicja
W macierzy kwadratowej ci¡g elementów o równych indeksach wiersza i kolumny:
a11 , a22 , a33 , . . . ann nazywa si¦ gªówn¡ przek¡tn¡ macierzy.


1 −2 5 4
 0 −2 0 8 


 −5
2 5 0 
8
0 3 1
2 Rodzaje macierzy
1. Macierz zerowa - macierz, której wszystkie elementy s¡ równe 0.
2. Macierz kwadratowa - macierz, której liczba wierszy jest równa liczbie kolumn.
3. Macierz dolnotrójk¡tna - macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy stoj¡ce nad gªówn¡
przek¡tn¡ s¡ równe 0.
4. Macierz górnotrójk¡tna - macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy stoj¡ce pod gªówn¡
przek¡tn¡ s¡ równe 0.
5. Macierz diagonalna - macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy poza stoj¡cymi na przek¡tnej s¡ równe 0.
6. Macierz jednostkowa - macierz diagonalna, w której wszystkie elementy przek¡tnej s¡ równe 1,
oznaczamy j¡
I
lub In , np.

1
I3 =  0
0
7. Macierz transponowana do
wierszami macierzy
Am×n
- macierz
0
1
0

0
0 .
1
ATn×m ,
w której wszystkie kolumny s¡ kolejnymi
A.
8. Macierz symetryczna - macierz kwadratowa, która jest równa swojej macierzy transponowanej.
1
3 Dziaªania na macierzach
Denicja
Niech A = [aij ] i B = [bij ] b¦d¡ macierzami wymiaru m × n i α ∈ R. Wtedy sum¦, ró»nic¦ i
iloczyn przez liczb¦ macierzy okre±lamy nast¦puj¡co:

a11 ± b11
···
a1n ± b1n
am1 ± bm1
···
amn ± bmn
αa11
···
αa1n
αam1
···
αamn
..
.

A±B =


α·A=
..
.

..  ,
. 

..  .
. 
Denicja
Iloczyn macierzy Am×n i Bn×k deniuje si¦ nast¦puj¡co:
A·B
=
=
 →

−
w1
−  h
 →
i
→
−
→
−
→
−
 w2 

..  · k 1 k 2 · · · k k =

. 
→
−
wm

→
−
→
−
→
− 
→
−
−
−
w1 ◦ k 1 →
w1 ◦ k 2 ··· →
w1 ◦ k k
→
−
→
−
→
− 
 →
−
−
 −
w2 ◦ k 1 →
w2 ◦ k 2 ··· →
w2 ◦ k k 

..
..
.. 

,

.
.
. 
→
−
→
−
→
−
→
−
−
−
wm ◦ k 1 →
wm ◦ k 2 ··· →
wm ◦ k k
→
−
→
−
−
−
gdzie →
w 1, . . . , →
w m oznaczaj¡ wektory wierszowe macierzy A, k 1 , . . . , k k - wektory kolumnowe
macierzy B , a ◦ oznacza iloczyn skalarny wektorów.
Uwaga
›eby mo»liwe byªo obliczenie iloczynu macierzy A oraz B , liczba kolumn macierzy A musi by¢
równa liczbie wierszy macierzy B .
Uwaga
Mno»enie macierzy nie jest przemienne!
Z faktu, »e mo»na obliczy¢ iloczyn A · B nie wynika, »e b¦dzie on równy iloczynowi B · A ani
nawet, »e iloczyn B · A b¦dzie mo»liwy do obliczenia.
Denicja
Niech A b¦dzie macierz¡ wymiaru n × m. Przez Aij b¦dziemy oznacza¢ macierz wymiaru
(n − 1) × (m − 1) otrzyman¡ z macierzy A przez skre±lenie i-tego wiersza i j -tej kolumny.
2
4 Wyznacznik
Denicja
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej stopnia n (wymiaru n × n) nazywamy liczb¦ det A okre±lon¡ nast¦puj¡co:
1. det A = a11 dla n = 1,
2. det A = (−1)1+1 a11 det A11 +(−1)1+2 a12 det A12 +· · ·+(−1)1+n a1n det A1n dla n ≥ 2,
gdzie Aij oznacza macierz stopnia n − 1 otrzyman¡ z macierzy A przez skre±lenie i-tego
wiersza i j -tej kolumny.
4.1
Metoda Sarrusa
Reguªy obliczania wyznaczników stopnia drugiego i trzeciego
det

a
det  d
g
4.2
b
e
h
a
c
b
d
= ad − cb.

c
f  = aei + bf g + cdh − ceg − af h − bdi
i
Rozwini¦cie Laplace'a
Denicja
Dopeªnieniem algebraicznym elementu aij macierzy A nazywamy liczb¦
def
Dij = (−1)i+j det Aij .
Twierdzenie
Niech n ≥ 2 i niech liczby naturalne i oraz j , gdzie 1 ≤ i, j ≤ n, b¦d¡ ustalone. Wtedy
wyznacznik macierzy A mo»na liczy¢ wedªug wzorów:
1. det A = ai1 Di1 + ai2 Di2 + · · · + ain Din (rozwini¦cie wzgl¦dem i-tego wiersza),
2. det A = a1j D1j + a2j D2j + · · · + anj Dnj (rozwini¦cie wzgl¦dem j -tej kolumny).
4.3
Wªasno±ci wyznaczników
1. Wyznacznik macierzy dolnotrójk¡tnej lub górnotrójk¡tnej jest równy iloczynowi elementów stoj¡cych na jego gªównej przek¡tnej.

1
 4
det 
 5
−1

0 0 0
2 0 0 
 = 1 · 2 · 3 · 4 = 24
1 3 0 
2 3 4
2. Wyznacznik macierzy o wierszu (kolumnie) zªo»onym z samych zer jest równy 0.
3
3. Wyznacznik macierzy zmieni znak na przeciwny, je±li przestawimy mi¦dzy sob¡ dwa wiersze lub
dwie kolumny.
4. Wyznacznik macierzy maj¡cej dwa jednakowe wiersze (kolumny) jest równy 0.
5. Je»eli wszystkie elementy pewnego wiersza (kolumny) maj¡ wspólny czynnik, to mo»na go wyª¡czy¢ przed wyznacznik, np.
1
2
3
4
6
10
1
0
2
1
= 2 2
3
2
3
5
1
0
2
.
6. Wyznacznik macierzy nie zmieni si¦, je±li do elementów pewnego wiersza (kolumny) dodamy
odpowiadaj¡ce im elementy innego wiersza (kolumny) pomno»one przez dowoln¡ liczb¦.
7. Wyznacznik macierzy i jej transpozycji s¡ równe.
5 Macierz odwrotna
Denicja
Macierz¡ odwrotn¡ do macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy macierz A−1 , która speªnia
warunek
A A−1 = A−1 A = In .
Denicja
Macierz A nazywamy osobliw¡, gdy det A = 0. W przeciwnym wypadku mówimy, »e macierz A
jest nieosobliwa.
Twierdzenie
1. Macierz A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa.
2. Je»eli macierz A jest nieosobliwa, to

A−1
D11 D12

1  D21 D22
=

..
det A 
.
Dn1 Dn2
···
···
···
T
D1n
D2n 

..  ,
. 
Dnn
gdzie Dij oznacza dopeªnienie algebraiczne elementu aij macierzy A.
6 Rz¡d macierzy
Niech
A
b¦dzie wymiaru
m × n.
Denicja
Minorem stopnia k ∈ N macierzy A nazywamy wyznacznik utworzony z elementów tej macierzy
stoj¡cych na przeci¦ciu dowolnie wybranych k kolumn i k wierszy.
Denicja
Rz¦dem macierzy A nazywamy najwi¦kszy stopie« jej niezerowego minora i oznaczamy r(A).
4
6.1
Wªasno±ci rz¦du
1. Rz¡d macierzy nieosobliwej jest równy jej stopniowi.
2. Rz¡d macierzy nie ulegnie zmianie, gdy:
•
przestawimy dwa wiersze (kolumny),
•
wiersze (kolumny) pomno»ymy przez liczb¦ ró»n¡ od zera,
•
do jednego wiersza (kolumny) dodamy inne wiersze (kolumny) pomno»one przez dowolne
liczby.
5