Program najbliższych wykładów w notatkach

Oznaczenia Język intuicjonistycznego rachunku zdań: ¬, ∧, ∨, →.
Symbole metajęzykowe: ∼, ∧ , ∨ , ⇒, ⇔, ∀, ∃.
Definicja 1 (system logiki intuicjonistycznej, Heyting 1930) Systemem logiki intuicjonistycznej INT nazywamy system oparty na następujęcych schematach aksjomatów:
Ax1. α → (α ∧ α),
Ax2. (α ∧ β) → (β ∧ α),
Ax3. (α → β) → ((α ∧ γ) → (β ∧ γ)),
Ax4. ((α → β) ∧ (β → γ)) → (α → γ),
Ax5. α → (β → α),
Ax6. (α ∧ (α → β)) → β,
Ax7. α → (α ∨ β),
Ax8. (α ∨ β) → (β ∨ α),
Ax9. ((α → γ) ∧ (β → γ)) → ((α ∨ β) → γ),
Ax10. ¬α → (α → β),
Ax11. ((α → β) ∧ (α → ¬β)) → ¬α,
oraz dwóch regułach: regule odrywania i regule dołączania koniunkcji:
RO :
α → β, α
,
β
DK :
α, β
.
α∧β
Definicja 2 (relacja dowiedlności `) Mówimy, że formuła α jest dowiedlna na gruncie formuł ze zbioru X (symbolicznie: X ` α) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończony
ciąg formuł (β1 , . . . , βn ) taki, że βn = α oraz dla dowolnego i:
• βi jest aksjomatem, lub
• βi ∈ X, lub
• Bi powstaje z wyrazów wcześniejszych przez zastosowanie RO lub DK.
Ciąg spełniający powyższe warunki nazywamy dowodem formuły α na gruncie założeń
X. Piszemy też ` α zamiast ∅ ` α.
Lemat 1 (wzory syntaktyczne) Dla dowolnego zbioru formułX i zdań α, β, γ zachodzą wzory:
i. (X ` α → β ∧ X ` β → γ) ⇒ X ` α → γ,
1
ii. ` (α ∧ β) → α,
iii. ` (α ∧ β) → β,
iv. ` α → α,
v. ` β → (α ∨ β),
vi. (X ` α → (β → γ) ∧ X ` α → β) ⇒ X ` α → γ,
vii. (X ` α → β ∧ X ` α → γ) ⇒ X ` α → (β ∧ γ).
Twierdzenie 1 (twierdzenie o dedukcji) Dla dowolnych X, α i β zachodzi:
X ` α → β ⇔ X ∪ {α} ` β.
Definicja 3 (teoria) Zbiór formuł X nazywamy teorią, gdy:
• zawiera wszystkie aksjomaty INT,
• jest domknięty na RO: α, α → β ∈ X ⇒ β ∈ X,
• jest domknięty na DK: α, β ∈ X ⇒ α ∧ β ∈ X.
Definicja 4 (zbiór niesprzeczny) Zbiór formuł X nazywamy niesprzecznym, gdy nie
istnieje formuła α taka, że:
X ` α ∧ X ` ¬α.
Zbiór X nazwiemy zatem sprzecznym, gdy istnieje formuła α taka, że:
X ` α ∧ X ` ¬α.
Lemat 2 (o przepełnieniu) Dla dowolnego X:
X jest niesprzeczny ⇔ ∃ α X 6` α
Definicja 5 (teoria zupełna) Niech X będzie niesprzeczną teorią. Powiemy, że X jest
zupełny, gdy dla dowolnych formuł α, β zachodzi:
α ∨ β ∈ X ⇒ (α ∈ X ∨ β ∈ X).
Lemat 3 (własności teorii zupełnych) Niech T będzie zupełną teorią, zaś α, β dowolnymi zdaniami. Wtedy:
2
i. T ` α ⇔ α ∈ T,
ii. α ∧ β ∈ T ⇔ (α ∈ T ∧ β ∈ T ),
iii. α ∨ β ∈ T ⇔ (α ∈ T ∨ β ∈ T ),
iv. T ` α ∨ β ⇔ (T ` α ∨ T ` β).
Uwaga 1 Ustalny zbiór X spełniający poniższy warunek:
X ` α ⇔ α ∈ X,
dla dowolnego α,
wówczas X jest teorią.
Twierdzenie 2 (Lemat Lindenbauma) Jeżeli X 6` α to istnieje teoria zupełna T ⊇
X taka, że α 6∈ T .
Lemat 4 (charakteryzacja intuicjonistycznej negacji) Jeśli X jest teorią zupełną, α formułą to:
i. X ` α ⇔ dla dowolnej teorii zupełnej Y ⊇ X, α ∈ Y,
ii. X ` ¬α ⇔ dla dowolnej teorii zupełnej Y ⊇ X, α 6∈ Y.
Definicja 6 (struktura Kripke’go) Parę (W, R) nazywamy strukturą Kripkego wtedy i tylko wtedy, gdy W 6= ∅ oraz R jest relacją binarną w W zwrotną i przechodnią,
czyli: dla dowolnych x, y, z ∈ W zachodzi:
• xRx,
• (xRy ∧ yRz) ⇒ xRx.
Definicja 7 (wartościowanie) Wartościowaniem w strukturę Kripkego (W, R) nazywamy dowolną funkcję e : At → P(W ) spełniającą warunek:
(x ∈ e(p) ∧ xRy) ⇒ y ∈ e(p),
dla dowolnych x, y ∈ W oraz formuły p.
Mówimy wtedy, że zbiór e(p) jest R-domknięty.
Definicja 8 (model Kripke’go) Modelem Kripkego nazywamy trójkę (W, R, e), gdy
(W, R) jest strukturą Kripkego, zaś e : At → P(W ) jest wartościowaniem.
3
Definicja 9 (korzeń, liść) Niech (W, R) będzie strukturą Kripkego. Element x ∈ W
nazwiemy:
• korzeniem, gdy ∀y ∈ W xRy ∧ (yRx ⇒ y = x) ,
• liściem, gdy ¬∃y ∈ W (xRy & x 6= y),
• max = {y ∈ W : y jest liściem},
• max(x) = {y ∈ max : xRy}.
Uwaga 2 Jeśli w (W, R) istnieje korzeń, to jest on jedyny. Liści jest na ogół wiele.
Napis:
• (W, R, x) — oznacza, że x jest korzeniem struktury (W, R),
• (W, R, e, x) — oznacza, że x jest korzeniem modelu (W, R, e).
Uwaga 3 Jeśli relacja R jest słabo antysymetryczna, czyli dla dowolnych x, y zachodzi:
(xRy ∧ yRx) ⇒ x = y,
to zamiast pisać xRy, piszemy x ¬ y; zamiast (W, R, e) piszemy (W, ¬, e).
Definicja 10 (relacja forsowania °e ) Relacja forsowania w modelu (W, R, e) jest to
(jedyna) relacja °e ⊆ W × F m spełniająca warunki:
i. x °e p ⇔ x ∈ e(p),
ii. x °e α ∧ β ⇔ (x °e α ∧ x °e β),
iii. x °e α ∨ β ⇔ (x °e α ∨ x °e β),
iv. x °e α → β ⇔ ∀y ∈ W (xRy ∧ y °e α) ⇒ y °e β ,
v. x °e ¬α ⇔ ∀y ∈ W (xRy ⇒ y 6°e α).
Uwaga 4 Mając model (W, R, e) piszemy też czasami (W, R, °e ), a gdy e jest ustalone
i nie zachodzi groźba nieporozumienia opuszczamy indeks przy ° pisząc (W, R, °).
Definicja 11 (prawda, tautologia) Ustalmy strukturę (W, R) oraz wartościowanie
e : At → P(W ). Powiemy, że formuła α jest:
4
• prawdziwa w modelu (W, R, e), gdy x °e α, dla dowolnego x ∈ W ,
• tautologią struktury (W, R), gdy α jest prawdziwa w modelu (W, R, e) dla dowolnego wartościowania e : At → P(W ),
• tautologią INT, gdy α jest tautologią dowolnej struktury (W, R).
Uwaga 5 (oznaczenia)
• E(W, R, e) — zbiór zdań prawdziwych w modelu (W, R, e),
• E(W, R) — zbiór tautologii struktury (W, R),
• INT — zbiór tautologii logiki intuicjonistycznej.
Lemat 5 (proste własności relacji °) Niech (W, R, °) będzie modelem Kripkego,
x ∈ W , α ∈ F m.
• x ∈ max ⇒ (x ° α ∨ x ° ¬α),
• x ° ¬¬α ⇔ ∀z ∈ max(x) z ° α,
• x ∈ max ∧ α ∈ KRZ ⇒ x ° α.
Wniosek 1 Jeśli α jest tautologią KRZ to ¬¬α jest tautologią INT.
Fakt 1 (model słabo antysymetryczny) Dla dowolnego modelu Kripkego (W, R, e)
istnieje model (W 0 , R0 , e0 ) taki, że R0 jest relacją słabo antysymetryczną oraz:
E(W, R, e) = E(W 0 , R0 , e0 ).
Wniosek 2 Dla dowolnej struktury Kripkego (W, R) istnieje struktura (W 0 , R0 ) taka,
że R0 jest relacją słabo antysymetryczną (tj. xRy & yRx ⇒ x = y, dla dowolnych
x, y ∈ W ) oraz:
E(W, R) = E(W 0 , R0 ).
Fakt 2 (model z korzeniem) Dla dowolnego modelu Kripkego (W, R, e) istnieje model z korzeniem (W 0 , R0 , e0 ) taki, że:
E(W, R, e) = E(W 0 , R0 , e0 ).
5
Wniosek 3 Dla dowolnej struktury Kripkego (W, R) istnieje struktura z korzeniem
(W 0 , R0 ) taka, że :
E(W, R) = E(W 0 , R0 ).
Twierdzenie 3 (własność dysjunkcji) Jeśli α ∨ β jest tautologią INT to α jest tautologią INT lub β jest tautologią INT.
Definicja 12 (model kanoniczny) Modelem kanonicznym nazwiemy model Kripkego (K, ⊆, ε), gdzie:
• K = {X : X jest teorią zupełną},
• ⊆ jest relacją inkluzji ograniczoną do K,
• ε(p) = {X ∈ K : p ∈ X} — wartościowanie.
Twierdzenie 4 (o modelu kanonicznym) Niech X ∈ K oraz α ∈ F m Wówczas:
i. X °ε α ⇔ α ∈ X,
ii. α ∈ E(K, ⊆, ε) ⇔ ` α.
Definicja 13 (podformuła) Dla dowolnej formuły α, zbiór Sub(α) jest to najmniejszy
zbiór spełniający warunki:
i. α ∈ Sub(α),
ii. ? ∈ {∧, ∨, →} ∧ ϕ ? ψ ∈ Sub(α)
⇒ ϕ, ψ ∈ Sub(α),
iii. ¬ϕ ∈ Sub(α) ⇒ ϕ ∈ Sub(α).
Elementy zbioru Sub(α) nazywamy podformułami formuły α.
S
Dla zbioru formuł X definiujemy: Sub(X) = {Sub(α) : α ∈ X}.
Mówimy, że zbiór formuł X jest domknięty na podformuły, jeśli X = Sub(X).
Lemat 6 Dla dowolnego modelu Kripkego (W, R, e) i dowolnego skończonego zbioru
formuł X domkniętego na podformuły istnieje skończony model (W ∗ , R∗ , e∗ ) przy czym
R∗ jest słabo antysymetryczna oraz:
α ∈ E(W, R, e) ⇔ α ∈ E(W ∗ , R∗ , e∗ ),
6
dla α ∈ X.
Definicja 14 (drzewo Kripkego) Model Kripkego (W, R, e) nazwiemy drzewem Kripkego, jeśli relacja R jest słabo antysymetryczna oraz w W istnieje korzeń.
Twierdzenie 5 (o pełności INT)
i. X ` α ⇔ [X ⊆ E(W, R, e) ⇒ α ∈ E(W, R, e),
dla dowolnego modelu (W, R, e)],
ii. X ` α ⇔ [X ⊆ E(W, R, e) ⇒ α ∈ E(W, R, e),
dla dowolnego drzewa (W, R, e)],
iii. Jeśli X jest skończony to:
X ` α ⇔ [X ⊆ E(W, R, e) ⇒ α ∈ E(W, R, e),
dla dowolnego skończonego drzewa (W, R, e)],
iv. INT jest rozstrzygalny.
7