Temat 2. Relacje.

Maria Michalska, seminarium licencjackie 2014/15
RELACJE
1. Relacje
Definicja 1. Relacją n-członową R w zbiorze A1 × · · · × An nazywamy dowolny
podzbiór R ⊂ A1 × · · · × An .
Mówimy, że x1 ∈ A1 , . . . xn ∈ An pozostają w relacji R, gdy (x1 , . . . , xn ) ∈ R.
Przykład 2. Niech R będzie podzbiorem R3+ , gdzie R+ = {x ∈ R : x > 0}, takim
że (a, b, c) ∈ R wtedy i tylko wtedy, gdy a, b oraz c odpowiadają dlugości boków
pewnego trókąta na płaszczyźnie.
Ćwiczenie 3. Zastanów się jak inaczej można zapisać powyższy warunek.
Dla relacji dwuczłonowej R zamiast (x1 , x2 ) ∈ R piszemy często x1 Rx2 .
Przykład 4. Relacja mniejszości < dla liczb rzeczywistych jest relacją dwuczłonową. Formalnie można pisać <⊂ R2 oraz (x, y) ∈< jeśli x jest mniejszy niż y.
Zwróćmy uwagę, że raczej przyjęło się pisać x < y.
Ćwiczenie 5. Podaj przykłady innych znanych relacji dwuczłonowych.
2. Rodzaje relacji
W dalszym ciągu rozważać będziemy zbiór X oraz relację dwuargumentową R
zawartą w X 2 .
Definicja 6. Mówimy, że relacja R jest
• zwrotna, gdy dla dowolnego x ∈ X zachodzi
xRx.
• przeciwzwrotna, gdy dla dowolnego x ∈ X zachodzi
∼ xRy.
• symetryczna, gdy dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi
xRy ⇒ yRx.
• słabo antysymetryczna, gdy dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi
(xRy ∧ yRx) ⇒ x = y.
• przeciwsymetryczna (antysymetryczna), gdy dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi
xRy ⇒∼ yRx.
• przechodnia, gdy dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi
(xRy ∧ yRz) ⇒ xRz.
• spójna, gdy dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi
xRy ∨ yRx ∨ x = y.
1
Maria Michalska, seminarium licencjackie 2014/15
2
RELACJE
Przykład 7. Poniższa relacja jest zwrotna. Niech X = N i dla dowolnych x, y ∈ X
mamy xRy wtedy i tylko wtedy gdy NWD(x, y) = x.
Przykład 8. Poniższa relacja jest przeciwzwrotna. Niech X = R i dla dowolnych
x, y ∈ X mamy xRy wtedy i tylko wtedy gdy x2 6= y 2 .
Przykład 9. Poniższa relacja jest symetryczna. Niech X = R i dla dowolnych
x, y ∈ X mamy xRy wtedy i tylko wtedy gdy |x| + |y| = 3.
Przykład 10. Poniższa relacja jest słabo antysymetryczna. Niech X = R i dla
dowolnych x, y ∈ X mamy xRy wtedy i tylko wtedy gdy x ¬ y.
Przykład 11. Poniższa relacja jest przeciwsymetryczna. Niech X = R i dla dowolnych x, y ∈ X mamy xRy wtedy i tylko wtedy gdy x < y.
Przykład 12. Poniższa relacja jest przechodnia. Niech X = N i dla dowolnych
x, y ∈ X mamy xRy wtedy i tylko wtedy gdy x dzieli y.
Przykład 13. Poniższa relacja jest spójna. Niech X = R i dla dowolnych x, y ∈ X
mamy xRy wtedy i tylko wtedy gdy istnieje z ∈ R takie, że x + y = z.
Ćwiczenie 14. Sprawdź, które warunki spełniają relacje z Przykładów 7-13.
Ćwiczenie 15. Potraktuj relacje z Przykładów 7-13 jako podzbiory i spróbuj zaznaczyć je płaszczyźnie.
Ćwiczenie 16. Zrób ćwiczenia od 4.45 do 4.72 z książki [MO].
3. Relacja równoważności i klasy abstrakcji
Przypomijmy, że rozważamy relację dwuargumentową R zawartą w zbiorze X 2 .
Definicja 17. Relacja R jest nazywana relacją równoważności wtedy i tylko wtedy,
gdy jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.
Jednym z bardziej znanych przykładów relacji równoważności jest relacja modulo
w liczbach całkowitych.
Przykład 18 (Równość modulo). Ustalmy niezerową liczbę całkowitą p. O dwóch
liczbach całkowitych x, y mówimy, że x jest równe y modulo p, co zapisujemy x ≡p y
lub x ≡ y(mod p), wtedy i tylko wtedy gdy różnica x − y jest podzielna przez p.
Ćwiczenie 19. Sprawdź czy powyższa relacja jest istotnie relacją równoważności.
*Zastanów się nad jej związkiem z pierścieniami p-elementowymi.
Definicja 20. Klasą abstrakcji relacji równoważności R elementu x nazywamy zbiór
kxkR := {y ∈ X : xRy}.
Przykład 21. Weźmy pod uwagę relację równości modulo 4 (porównaj Przykład 18). Dla x = 0 mamy
k0k≡4 = {. . . , −8, −4, 0, 4, 8, 12, . . . }.
Inaczej, klasa abstrakcji elementu 0 składa się z liczb podzielnych przez 4. Istotnie,
liczba y należy do klasy abstrakcji 0 jeżeli 0 ≡4 y. Z definicji relacji oznacza to, że
0 − y jest podzielne przez 4. A zatem y też jest podzielne przez 4.
Ćwiczenie 22. Wyznacz wszystkie klasy abstrakcji powyższej relacji.
Maria Michalska, seminarium licencjackie 2014/15
RELACJE
3
Twierdzenie 23 (Zasada abstrakcji). Niech R będzie relacją równoważności w
niepustym zbiorze X. Klasy abstrakcji relacji R ustalają rozbicie zbioru X na rozłączne i niepuste podzbiory.
Dowód pozostawiamy jako ćwiczenie, można go znaleźć w [R].
Ćwiczenie 24. Sprawdź czy R ⊂ X 2 jest relacją równoważności i wyznacz klasy
abstrakcji.
a) X = C, z1 Rz2 ⇐⇒ Rez1 = Rez2
b) X = N, xRy ⇐⇒ 2|x − y
c) X = R[t], xRy ⇐⇒ ∃a,b,c∈R x − y = at2 + bt + c
Ćwiczenie 25. Zrób ćwiczenia 4.94-4.123 ze zbioru [MO].
Uwaga 26. Warto wspomnieć, że dzięki zasadzie abstrakcji można z liczb naturalnych skonstruować kolejno: całkowite, wymierne oraz rzeczywiste.
4. Relacja porządku
Kolejnym ważnym typem relacji jest relacja porządku. Przypomijmy znowu, że
rozważamy relacje dwuargumentowe w zbiorze X 2 .
Definicja 27. Relacja jest nazywana porządkiem, jeśli jest zwrotna, słabo antysymetryczna i przechodnia.
Relację porządku często oznaczamy .
Ćwiczenie 28. Która z relacji, < czy ¬, jest w tym sensie relacją porządku?
Definicja 29. Relację przeciwzwrotną i przechodnią nazywamy relacją ostrego porządku.
Przykład 30. Rozważmy zbiór RR wszystkich funkcji rzeczywistych. Jeśli f g
wtedy i tylko wtedy, gdy f (t) ¬ g(t) dla dowolnego t ∈ R, to relacja jest relacją
porządku.
Uwaga 31. Załóżmy, że jest relacją porządku. Wykaż, że relacja ≺ dana wzorem
x ≺ y ⇐⇒ (x y ∧ x 6= y)
jest relacją ostrego porządku.
Ćwiczenie 32. Udowodnij powyższą uwagę.
Definicja 33. Relację porządku, która dodatkowo jest spójna, nazywamy porządkiem liniowym.
Ćwiczenie 34. Sprawdź czy poniższe relacje R są relacjami porządku/ostrego porządku/liniowego porządku w zbiorze X.
a) X = C, xRy ⇐⇒ kxk ¬ kyk
b) X = N, xRy ⇐⇒ y dzieli x
c) X = S 1 , eiφ Reiψ ⇐⇒ ψ − φ > 0
d) X = R[t],
f Rg ⇐⇒ ∃>0 ∀x∈(0,) f (x) ¬ g(x)
e) X dowolny, xRy ⇐⇒ x = y
f) X = C, (a + ib)R(c + id) ⇐⇒ (a ¬ c ∧ b ¬ d)
Maria Michalska, seminarium licencjackie 2014/15
4
RELACJE
g) X to rodzina podzbiorów dowolnego zbioru Y , xRy ⇐⇒ x ⊂ y
Definicja 35. Mówimy, że element m zbioru X z porządkiem jest maksymalny,
jeśli nie można znaleźć elementu od niego większego tj. dla dowolnego x ∈ X mamy
m x ⇒ m = x.
Analogicznie można zdefiniować element minimalny (Jak? Ćwiczenie).
Ćwiczenie 36. Znajdź, o ile to mozliwe, elementy maksymalne i minimalne dla
porządków z Ćwiczenia 34.
Ćwiczenie 37. Podaj przykład zbioru k + 1 elementowego, który posiada k elementów maksymalnych i 1 element minimalny.
Uwaga 38. Z pojęciem porządku oraz elementów maksymalnych ściśle związany jest
Lemat Kuratowskiego-Zorna.
Literatura
[R]
[MO]
Helena Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej. PWN, Warszawa 1999
Wiktor Marek, Janusz Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach.
PWN, Warszawa 2000