1 Które z poniższych zdań jest tautologią? (p ⇔ q) ⇒ (∼q ⇔ ∼p) A
Transkrypt
1 Które z poniższych zdań jest tautologią? (p ⇔ q) ⇒ (∼q ⇔ ∼p) A
1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 5 A B C D 6 A B C D 7 A B C D Które z poniższych zdań jest tautologią? (p ⇔ q) ⇒ (∼q ⇔ ∼p) (∼p ∧ q ) ⇒ (p ⇒ q) (p ⇒ q) ⇒ (∼q ⇒ p) (∼q ⇒ p) ⇔ (p ⇒ ∼q) Jeśli zbiór A jest podzbiorem zbioru B, to: A \ B jest zbiorem pustym A ∩ B nie może być zbiorem pustym A ∪ B jest podzbiorem zbioru A Każdy podzbiór zbioru B jest podzbiorem zbioru A Jeśli (xA ⇒ x∉B), to prawdziwe jest: A∩B=A B\ A=B A\ B=A A∪B=A Które z poniższych zdań nie są tautologiami: (p ⇒ q) ∨ (q ⇒ p) ∼p ∧ ( q ⇒ p) (p ∧ q) ∨ (∼q ∧ ∼p) (p ∨ (∼q)) ∨ p P(A) to zbiór wszystkich podzbiorów A. Wtedy: A ⊆ P(A) A ∈ P(A) ∅ ⊆ P(A) ∅ ∈ P(A) Które z poniższych działań nie są łączne ? p♣q≔p∧q A♣B≔A∪B p ♣ q ≔ p ∨ ∼q p♣q≔p⇒q Dla rodziny zbiorów {Ft}, tT; Ft ⊆ F; zachodzi: Ft ∩ Fs ≠∅ dla każdych t,s. Wtedy prawdziwe jest: ∀ xF ∃ t T xFt ∃ xF ∃ t T xFt ∃ tT ∀x F xFt ∃ xF ∀ t T xFt 1 8 Po to by do funkcji f: XY istniała funkcja A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D odwrotna wystarcza, iż: A istnieje relacja odwrotna do f i jest stała B istnieje relacja odwrotna do f C f jest injekcją i surjekcją D relacja odwrotna do f jest funkcją 9 Relacja zdefiniowana na ℤ: A B C D q R p ⇔ pq jest parzyste A jest spójna B jest symetryczna C jest zwrotna D jest przechodnia 10 f: XY jest funkcją i y należy do obrazu zbioru A B C D A ∀ x(X \ A): f(x) ≠ y B ∃ xA: f(x) = y C ∀ xA y f(x) D y f(X) 11 Kawałek dowodu wprost w systemie A B C D A⊆X., A≠∅. Wtedy na pewno zachodzi: A B C D 12 A B C D 13 A B C D założeniowym jest postaci: (p ∨ r) ⇒ (q ∧ r) p. Czy można udowodnić tezę r ? Podane zdania prowadzą do sprzeczności, więc możliwy jest tylko dowód nie wprost Oczywiście, informacje te wystarczają do ukończenia dowodu wprost. Nie wystarcza to do ukończenia dowodu wprost. Tak, ale musimy założyć q. Relacja na ℤ: n R m ⇔ n2 ≤ m2 jest: liniowego porządku częściowego porządku antysymetryczna zwrotna Funkcja f: XY spełnia: ∀ A⊆ X, A≠∅: f(A)=f(X). Prawdą jest: ∀ B⊆Y f—1(B) = X ∀ B⊆Y f—1(B) = ∅ ∀ B⊆Y, C⊆Y f—1(B) = f—1(C) ∀ B⊆Y (f—1(B) = ∅ ∨ f—1(B) =X) A B C D C B D A A C B D 14 Jeśli dwa zbiory A,B są równoliczne to: A jeśli A⊆C⊆B to A i C są równoliczne B jeśli A⊆C⊆B to A=C C zbiór A\B jest co najwyżej skończony D jeśli C⊆A⊆B to C nie może być równoliczny B 15 Następnikiem zbioru X jest X' = X ∪ {X}. Wtedy 20 P(A) oznacza zbiór potęgowy zbioru A. Które z B A D C jest prawdą: A ( X' = Y' ) ⇔ ( X = Y) B Dla dowolnego X, {∅} ∈ X' C ( X' = Y' )⇒ ( X = Y) D x∈ X' ⇒ x∈X 16 Złożenie f°g injekcji f i surjekcji g na pewno B D A C jest: A jest suriekcją B nie musi być surjekcją czy injekcją C jest bijekcją D jest injekcją 17 Zbiór P(P(A)) (zbiór wszystkich podzbiorów A B C D 18 A B C D 19 A B C D zbioru wszystkich podzbiorów zbioru A) jest równoliczny z: zbiorem wszystkich funkcji z A×Α na {0,1} zbiorem wszystkich funkcji z A na {0,1}×{0,1} zbiorem wszystkich funkcji z {0,1} na A×{0,1} zbiorem wszystkich funkcji z A×{0,1} na {0,1} Relacja R określona na A×A jest przechodnia. O R możemy powiedzieć, że: R2⊆R jest relacją dobrego porządku jest antysymetryczna R2= A×A Moc zbioru A wynosi α, moc zbioru B wynosi β. Jaka jest moc zbioru A\B ∪ B\A? nie da się określić max(α,β) (α−β)+ (β−α) α+β B D A C D A C B B A C D D C B A poniższych stwierdzeń są prawdziwe: A istnieje injekcja z A w P(A) B Jeśli A jest przeliczalny to P(A) jest przeliczalny C P(A) jest równoliczny z A D Nie istnieje surjekcja z A na P(A) 21 Proszę wskazać które z poniższych zbiorów A B C D 22 A B C D 23 A B C D 24 A B C D słów nad alfabetem {a,b}, (ab jest zadanym porządkiem nad alfabetem), są uszeregowane zgodnie z porządkiem leksykograficznym. {aa,aaa,b,baaa,bbaab} {a,ab,abb,abba,abbab,abbabb} {b,ba,bbb,bba,bbbb,bbba} {a,ab,aaa,aaab,aaaaa} Wskaż prawidłowe zastosowanie reguły odrywania: jeśli jest tezą, oraz ∨ jest tezą to jest tezą jeśli , oraz ⇒ są tezami to jest tezą jeśli , oraz są tezami to ⇒ jest tezą jeśli , oraz ⇒ są tezami to jest tezą Wskaż prawidłowy dowód wprost w systemie założeniowym dla formuły p⇒(q⇒(q ∧ p)): Nie da się przeprowadzić dowodu p; q; q ∧ p; p; p ⇒ q; q; q ∧ p; p ⇒ q; q; p; q ∧ p; Które z poniższych są drzewami nad alfabetem {x,y,z}: (-oznacza słowo puste) {,x,xx,xxy,y,yz,xxxyz} {,x,xy,yy,yyy,xyx,yyxy} {,x,xy,xyz,xyzx,xyy,xyx} {,x,xy,xxx,xxxy} Imię i nazwisko KOD A D C B A C D B D C B A D A C B A D C B