Test 2 z rozwiązaniem

A
EGZAMIN LiTM (z odpowiedziami)
1
A
B
C
D
2
A
B
C
D
3
A
B
C
D
4
A
B
C
D
5
A
B
C
D
6
A
B
C
D
7
A
B
C
D
8
A
B
C
D
9
A
B
C
D
10
A
B
C
D
11
imię i
nazwisko
Proszę wskazać które z poniższych zbiorów słów nad alfabetem A={x,y,z}, (xyz jest zadanym
porządkiem nad A), są uszeregowane zgodnie z porządkiem leksykograficznym.
{x,xx,xxy,xxxz,xxxxy,xxxxz}
{x,y,z,xx,yy,zz,xxx,yyy,zzz}
{xy,xz,yx,yy,yz,zx,zy,zz} 
{x,y,z,xy,xz,yz,yzz,yzzz}
Wśród poniższych zdań wskaż tautologie:
( p  q )  (q  p) 
(p  q)  (q  p)
( p  q )  (p  q) 
q  (p  (p  q)) 
Rodzina zbiorów {Ft}, tT; spełnia: Ft  F, Ft  Fs  dla każdych t,s. Wtedy zachodzi:
∃ xF ∃ t T xFt
∃ tT ∀x F xFt
∃ xF ∀ t T xFt
∀ xF ∃ t T xFt
Które z poniższych zdań nie są tautologiami:
(p  q)  (q  p)
p  ( q  p)
(p  (p))  q
(p  q)  (q  p)
Moc zbioru A wynosi , moc zbioru B wynosi . Jeśli A⊆B to jaka jest moc zbioru B\A?
min(,)
większa niż 
-
nie większa niż 
O relacji R określonej na A×A, wiemy, że jest przechodnia i spójna. Wtedy:
może być relacją porządku liniowego
jest relacją porządku częściowego
R2⊆R
nie może być symetryczna
Które z poniższych jest tautologią:
(∀x p(x) q(x) )  ( ∃x p(x)  ∃x q(x))
(∀x p(x)  q(x) )  (∀x p(x)  ∀x q(x))
( ∃x p(x)  ∃x q(x) )  ( ∃x p(x)  q(x))
(∀x p(x) q(x) )  ( ∀x p(x)  ∀x q(x))
Relacja R na ℤ×ℤ postaci: (n,m)R ⇔ n <2m nie jest:
zwrotna
symetryczna
antysymetryczna
częściowego porządku
Jeśli dwa zbiory A, B są równoliczne to:
Zbiory P(A) i P(B) też są równoliczne
jeśli A⊆B to A=B
zbiór A ∩ B jest co najwyżej przeliczalny
jeśli A⊆C to C jest równoliczny z B
Dla niepustych A,B podzbiorów C zachodzi: (xA  x∉B). Wtedy zachodzi:
A\ B=A
AB=
AB=C
B\ A=B
Wskaż prawidłowe zastosowanie reguły odrywania:
















A
B
C
D
12
A
B
C
D
13
A
B
C
D
14
A
B
C
D
15
A
B
C
D
16
A
B
C
D
17
A
B
C
D
18
A
B
C
D
19
A
B
C
D
20
A
B
C
D
jeśli , oraz  są tezami to ⇒ jest tezą
jeśli  jest tezą, oraz ∨ jest tezą to  jest tezą
jeśli , oraz ⇒ są tezami to  jest tezą
jeśli , oraz ⇒ są tezami to  jest tezą
Funkcja f: XY jest stała: ∀ xX f(x)=aY. Wtedy:
∀ B⊆Y, C⊆Y; f—1(B) = f—1(C)
∀ B⊆Y f—1(B) = 
—1
∀ B⊆Y (f (B) =   f—1(B) =X)
∃ B⊆Y f—1(B) = X
Złożenie f°g:XZ, injekcji g:XY i surjekcji, f:YZ ...
jest na pewno bijekcją
nie musi być ani surjekcją ani injekcją
jest na pewno surjekcją
nie może być injekcją
Kontrprzykładem pokazującym, iż „∃x∀y p(x,y)  ∀y∃x p(x,y)” jest fałszywe, jest:
x,y ze zbioru liczb całkowitych; p(x,y) postaci: x≤y;
x,y ze zbioru słoni; p(x,y) postaci: x ma nie dłuższą trąbę niż y;
x,y ze zbioru liczb naturalnych; p(x,y) postaci: x≤y;
x,y ze zbioru liczb rzeczywistych; p(x,y) postaci: x≤y;
O relacji R X×Y i relacji odwrotnej R-1 wiemy, że jedna z nich jest funkcją. Wtedy:
Zarówno R jak i R-1 muszą być funkcjami
Taka sytuacja nie może mieć miejsca
Jedna z relacji (złożeń): R°R-1 lub R-1°R jest relacją zwrotną
Ta która jest funkcją musi być surjekcją
Które z poniższych są drzewami nad alfabetem {a,b}: (-oznacza słowo puste)
{,a,b,aa,bb,aaa,bbb}
{,a,ab,abb,abbb,abbbbb}
{,a,abb,abba,abbabb,abbabba}
{,a,ab,aba,abb,abba,abbb}
Relacja diagonalna na X×X ⊇ R, jest zbiorem wszystkich par (x,x), x∈X. Wtedy zachodzi:
R=R-1
R2=R
R jest relacją równoważnościową
R jest funkcją
P(A) to rodzina wszystkich podzbiorów zbioru A. Wtedy:
  P(A)
A  P(A)
  P(A)
A  P(A)
Zbiory A i B, A  B są podzbiorami zbioru C. Wtedy:
A \ B nie jest podzbiorem C
A  B jest podzbiorem zbioru B
każdy podzbiór zbioru B jest podzbiorem zbioru C
A  C nie może być zbiorem pustym
f: XY jest funkcją. A⊆X i y f(A). Jeśli A≠ to:
∃ xA: f(x)=y
yf(X)
∀ xA yf(x)
∀ x(X\A): f(x)  y



















