PIKOMAT

XXI edycja
Międzynarodowego Konkursu Matematycznego
„PIKOMAT”
rok szkolny 2012/2013
ETAP III
Klasa IV
Zadanie 1
W puste kratki wstaw cyfry tak, aby utworzone liczby miały taką samą cyfrę jedności,
a dzielna była największa.
:
=
Zadanie 2
Kasjerka ma w kasie wystarczającą liczbę monet 1, 2 i 5 zł, aby wypłacić kwotę 99 zł. W jaki
sposób ma to zrobić, jeśli ma użyć dokładnie 88 monet?
Zadanie 3
Marcin napisał na kartce liczby: 6, 13, 27, 55, a następnie zadał swemu bratu Michałowi
pytanie: „Jakie powinny być dwie następne liczby?” Michał poradził sobie z zadaniem bez
problemu. Odgadnij i uzasadnij regułę oraz dopisz kolejną liczbę.
Zadanie 4
Przed domem Pani Kasi stoi dziewięć donic z kaktusami, rozmieszczonych na planie
kwadratu. W każdej donicy oznaczonej na rysunku kółkiem rośnie inna liczba kaktusów (od 1
do 9). Sumy liczby kaktusów w czterech donicach w każdym małym kwadracie są
jednakowe. Ile kaktusów może rosnąć w każdej donicy?
Klasa V
Zadanie 1
Mama Bożeny i Kasi upiekła kilkadziesiąt kruchych ciasteczek w kształcie kwadratów tej
samej wielkości. Dziewczynki miały ozdobić ciastka polewą czekoladową. Ze wszystkich
ciastek ułożyły duży kwadrat. Po ozdobieniu ciastka tak apetycznie wyglądały, że
dziewczynki zjadły prawie połowę. Z pozostałych ciastek udało im się znowu ułożyć kwadrat,
a że apetyt im dopisywał i tym razem zjadły ponad połowę ciastek. Z pozostałych ciastek
znowu ułożyły kwadrat i zjadły prawie połowę. Z reszty ciastek ponownie ułożyły kwadrat,
a że ciastka im wyjątkowo smakowały zjadły ich znów ponad połowę. Pozostałe ciastka
ułożyły w kwadrat i postanowiły zostawić mamie. Ile ciastek upiekła mama? Ile ciastek
Bożena i Kasia zostawiły mamie?
Zadanie 2
Sześciu autostopowiczów podróżujących do Szczecina postanowiło przenocować w motelu.
W trakcie podróży bardzo się posprzeczali ze sobą, dlatego też:
Andrzej nie chciał mieszkać w jednym pokoju z Kubą. Józek nie chciał mieszkać
z Andrzejem ani z Marianem. Marian nie chciał mieszkać z Darkiem. Pawłowi obojętne było,
z kim będzie mieszkał. Kuba nie chciał mieszkać z Andrzejem, Józkiem ani Darkiem. Darek
nie chciał mieszkać z Kubą ani z Pawłem.
W jaki sposób zostali rozmieszczeni w motelu, jeżeli do dyspozycji były tylko pokoje
dwuosobowe?
Zadanie 3
W kółeczka poniższego diagramu wpisz liczby: 1, 2, 3, 4, 5, 6 tak, aby żadna z nich się nie
powtarzała i aby ich suma na każdym boku była taka sama.
Zadanie 4
Kasia wrzucała do skarbonki same 20-groszówki. Pewnego razu postanowiła je policzyć. Gdy
przeliczyła je po 2, po 3 lub po 5 sztuk, zostawała jej zawsze 1 moneta. Gdy zaś układała je
po 7 sztuk, to wszystkie monety były rozdzielone. Jaką sumę miała Kasia w skarbonce?
Klasa VI
Zadanie 1
Pole powierzchni prostokąta wynosi 120 cm2. Dobierz wymiary prostokąta tak, aby można
było z niego wyciąć jak najwięcej kwadratów o wymiarach całkowitych i różnych polach.
Zilustruj swoje rozwiązanie.
Zadanie 2
Pan Stasiu, właściciel sklepu zoologicznego, kupił pewną liczbę świnek morskich i dwa razy
mniej par kanarków. Zapłacił 2 euro za każdą świnkę i 1 euro za każdego kanarka. Każde
zwierzątko sprzedawał za cenę o 10 % większą od ceny, za jaką je kupił. Gdy zostało mu już
tylko siedem zwierzątek, zauważył, że za sprzedane do tej pory zwierzęta otrzymał tyle, ile
zapłacił za wszystkie. Jego potencjalny zysk stanowi więc suma, za jaką sprzeda pozostałe
siedem zwierzątek. Na jaką kwotę opiewa zysk pana Stasia??
Zadanie 3
Znajdź liczbę trzycyfrową, której żadna cyfra nie jest zerem, o następującej własności: jeśli
liczbę dwucyfrową otrzymaną z liczby trzycyfrowej przez opuszczenie cyfry setek
pomnożymy przez pewną liczbę naturalną, to otrzymamy daną liczbę trzycyfrową.
Zadanie 4
Jedną linią łamaną, składającą się z jak najmniejszej liczby odcinków, zaczynającą się od
dowolnie wybranego punktu i kończącą się w innym dowolnie wybranym punkcie, przekreśl
wszystkie 25 punktów ułożonych w kwadrat tak jak na rysunku.
Klasa I
Zadanie 1
16 lat temu – w 1997 roku – spotkało się w Krakowie, po wielu latach rozłąki, trzech
serdecznych przyjaciół: Antek, Staszek i Franek. Staszek zauważył, że rok ich spotkania oraz
liczby lat najstarszego Antka i najmłodszego Franka są liczbami pierwszymi. Ponadto zwrócił
uwagę na fakt, że jego wiek jest kwadratem pewnej liczby naturalnej. Błyskotliwością umysłu
pochwalił się również Franek, który spostrzegł, że różnica wieku między Antkiem a
Staszkiem oraz między nim a Staszkiem jest jednakowa i wynosi dwa lata. Ile lat ma każdy
z przyjaciół i kiedy się urodził? W którym roku ich wiek miał podobne własności, a w którym
roku suma ich lat była liczbą pierwszą?
Zadanie 2
Zbuduj kwadrat magiczny wykorzystując 8 różnych kamieni, używanych do tradycyjnej gry
w domino. Suma oczek we wszystkich kolumnach, rzędach i na obu przekątnych kwadratu
ma być jednakowa i wynosić 12. Dodatkowo na każdym wewnętrznym kwadracie
utworzonym z czterech pól suma oczek też ma wynosić 12.
Zadanie 3
Prostokątną kartkę papieru podzielono na kwadrat i prostokąt. W małym prostokącie znowu
dokonano podziału na kwadrat i prostokąt. Sytuację powtórzono kilkakrotnie, w wyniku
czego otrzymano 9 różnych kwadratów i jeden prostokąt o wymiarach 1 cm  2 cm. Oblicz
pole powierzchni karki.
Zadanie 4
Oblicz pole gwiazdy sześcioramiennej wyznaczonej przez krótsze przekątne sześciokąta
foremnego o polu równym 72.
Klasa II
Zadanie 1
Czterech kolegów udało się na świąteczne zakupy po prezenty dla swoich żon. Łącznie
wydali 770 złotych. Marek kupił perfumy, elektronik kupił zegarek. Żona Jakuba ma na imię
Ewa. Barbara nie jest żoną Daniela. Jakub nie jest geodetą. Wojciech wydał najmniej
pieniędzy na prezent. Lekarz ma na imię Marek. Prawnik kupił album za 70 zł. Daniel ma
dwa razy więcej lat niż elektronik. Jeden z kolegów liczy sobie 42 lata. Jakub wydał łącznie
tyle, ile prawnik i Marek razem. Perfumy kosztowały 140 zł. Elektronik ma 26 lat. Danuta ma
męża lekarza, który ma 36 lat. Olga otrzymała złotą bransoletę. Jakie zawody i ile lat mają
poszczególni panowie, jakie prezenty i za ile kupili, jak mają na imię ich żony?
Zadanie 2
Smerfy Lis i Wilk zbierali na łące biedronki. Liczba kropek na biedronkach zebranych przez
smerfa Lisa była 13 razy większa niż na biedronkach smerfa Wilka. Przesądny smerf Lis
ukradkiem podrzucił smerfowi Wilkowi jedną swoją biedronkę z najmniejszą ilością kropek
i wówczas smerf Wilk miał 8 razy mniej kropek niż smerf Lis. Ile co najmniej biedronek
zebrał smerf Lis?
Zadanie 3
Trzy nakładające się na siebie kwadraty, przedstawione na poniższym rysunku, mają długości
boków wyrażające się liczbami naturalnymi. Wiedząc, że |BC| = |CD| oraz, że zakreskowana
figura ma pole 41 cm2, oblicz pola tych kwadratów.
A
B
C
D
Zadanie 4
Masz do dyspozycji komplet 12 części (kamieni) łamigłówki pentomino. Każdy kamień
składa się z 5 jednakowych kwadracików:
Komplet ten podziel na trzy zestawy po cztery kamienie i z każdego z tych zestawów ułóż tę
samą figurę.
Klasa III
Zadanie 1
W Pikolandii miasta Pi, Fi, Ro i Ni leżą w wierzchołkach czworokąta. Stolica Pikolandii –
Piko znajduje się w środku czworokąta, na przecięciu jego przekątnych. Każde miasto jest
połączone z innym prostoliniową autostradą o całkowitej liczbie kilopików i każda autostrada
ma inną długość. Co roku organizowany jest w Pikolandii wyścig kwadratów. Trasa wyścigu
liczy 100 kilopików i przebiega na dwóch autostradach łączących trzy miasta. Jakie są
długości wszystkich autostrad w Pikolandii?
Zadanie 2
Na trzech prostych k, l, m parami skośnych, wzajemnie prostopadłych i odległych od siebie
o 12 cm (dot. odległości każdych dwóch z tych prostych), wybrano po jednym punkcie K, L
i M. Oblicz pole trójkąta KLM wiedząc, że jest on najmniejszym możliwym trójkątem
równobocznym.
Zadanie 3
Jacek napisał na tablicy dwa różne ułamki, o licznikach i mianownikach dodatnich, przy
czym licznik każdego z nich jest o 1 mniejszy od mianownika. Wiedząc, że iloczyn tych
3
4
ułamków jest mniejszy od , a suma jest mniejsza od , określ jakie ułamki napisał Jacek.
4
3
Zadanie 4
Podaj wymiary trójkątów o długościach boków wyrażających się liczbami całkowitymi, dla
których zachodzi równość pola i obwodu co do wartości liczbowej. Odpowiedź uzasadnij.
Opracowanie: Jan Domaszewicz, Marek Kawałko, Katarzyna Żak
Informacje o przebiegu konkursu można znaleźć w Internecie pod adresem: www.ssodelta.edu.pl