Empiryczne rozkłady prawdopodobieństwa Rozkład empiryczny to

Empiryczne rozkłady prawdopodobieństwa
Rozkład empiryczny to uzyskany na podstawie badania statystycznego opis wartości przyjmowanych przez cechę statystyczną przy pomocy częstości ich występowania. Rozkład
empiryczny z reguły jest prezentowany jako szereg rozdzielczy (punktowy lub przedziałowy). Informacje o próbce daje nam również histogram, wykres kołowy, słupkowy,
pudełkowy itp.
Def. Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą z rozkładu o dystrybuancie F . Wówczas dystrybuantą empiryczną nazywamy funkcję
n
1X
1[Xi ,∞) (x).
F̂n (x) =
n i=1
Tw. Gliwienki-Cantellego (Podstawowe Twierdzenie Statystyki Matematycznej)
Niech
Dn = sup |F̂n (x) − F (x)|.
−∞<x<∞
Jeżeli próba X1 , . . . , Xn pochodzi z rozkładu o dystrybuancie F , to
n→∞
Dn −→ 0
z prawdopodobieństwem 1.
Def. Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą z nieznanego rozkładu zmiennej X, zaś A ⊂ R.
Wówczas przybliżeniem nieznanej liczby pA = P (X ∈ A) jest prawdopodobieństwo
empiryczne
n
P
1A (Xi )
i=1
.
p̂A =
n
Def. Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą losową. Niech X1:n ≤ X2:n ≤ . . . ≤ Xn:n będzie
ciągiem liczb X1 (ω), . . . , Xn (ω) uporządkowanym w kolejności niemalejącej. Wówczas
Xi:n , i = 1, . . . , n, nazywamy i-tą statystyką pozycyjną (porządkową).
Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych
Oznaczenia:
x1 , . . . , xn – wartości obserwacji (realizacje próby X1 (ω), . . . , Xn (ω)),
n – liczba obserwacji (wielkość próby),
x1:1 , . . . , xn:n – statystyki pozycyjne z próby.
Średnia arytmetyczna z próbki:
n
1X
x̄ =
xi ,
n i=1
1
jest wartością oczekiwaną rozkładu empirycznego.
Wariancja próbkowa dana jest wzorem:
n
n
1X
1X 2
ŝ =
(xi − x̄)2 =
xi − x̄2 ,
n i=1
n i=1
2
jest wariancją rozkładu empirycznego.
Odchylenie standardowe z próbki (ŝ) to pierwiastek z wariancji próbkowej, jest ono
odchyleniem standardowym rozkładu empirycznego.
Ogólnie, wyróżniamy następujące typy momentów z próbki:
• zwykłe âk =
n
1P
xki , są odpowiednikiem momentów ak = EX k ,
n i=1
• centralne m̂k =
n
1P
(xi − x̄)k , są odpowiednikiem momentów mk = E(X − EX)k ,
n i=1
• absolutne Âk =
n
1P
|xi |k , są odpowiednikiem momentów Ak = E|X|k ,
n i=1
• centralne momenty absolutne M̂k =
n
1P
|xi − x̄|k , są odpowiednikiem momentów
n i=1
Mk = E|X − EX|k .
Kwantylem rzędu p, gdzie 0 ≤ p ≤ 1, rozkładu zmiennej losowej X nazywamy
wartość xp , dla której spełnione są nierówności
P (X ≤ xp ) ≥ p i P (X ≥ xp ) ≥ 1 − p,
lub równoważnie:
P (X < xp ) = F (xp −) ≤ p ≤ F (xp ) = P (X ≤ xp ).
Taka liczba xp zawsze istnieje, ale nie musi być wyznaczona jednoznacznie. Jeżeli istnieje
dokładnie jedna liczba xp taka, że P (X ≤ xp ) = F (xp ) = p, to xp jest p-tym kwantylem.
Podobnie jest w przypadku, gdy F (xp −) < p < F (xp ). Jeżeli jednak F (a) = F (b) = p, to
każda z liczb z przedziału [a, b] jest p-tym kwantylem. W przypadku rozkładów absolutnie
ciągłych (gdzie F (xp −) = F (xp )) definicja kwantyla się upraszcza:
P (X ≤ xp ) = F (xp ) = p,
czyli xp = F −1 (p).
Liczbę x̂p nazywamy kwantylem empirycznym rzędu p, jeżeli
F̂n (x̂p −) ≤ p ≤ F̂n (x̂p )
W przypadku rozkładów dyskretnych sytuacja nie jest jednoznaczna, a rozkład empiryczny zawsze jest dyskretny. Oczywiście, statystyka pozycyjna Xdnpe:n jest kwantylem
2
empirycznym rzędu p, ale nie jedynym. Najlepiej widać to na przykładzie mediany
próbkowej (kwantyla rzędu 1/2), którą przyjęło się definiować następująco:

n − nieparzyste,
 x n+1
:n ,
2
ˆ
med =
 1 n
n
x
+
x
, n − parzyste.
:n
+1:n
2
2
2
Formalnie, jeśli rozmiar próbki n jest liczbą nieparzystą, to medianą z próbki jest statystyka pozycyjna o numerze (n + 1)/2. Jeżeli jednak rozmiar próbki n jest liczbą parzystą,
to medianą próbkową jest każda z liczb z przedziału [X n2 :n , X n2 +1:n ]. Środek przedziału
podaje się po to, aby uniknąć niejednoznaczności.
Kwantyle rzędu 1/4, 1/2, 3/4 są inaczej nazywane kwartylami. Przy pewnym uproszczeniu można powiedzieć, że kwartyle dzielą uporządkowane dane statystyczne na cztery
równe części. Drugi kwartyl pokrywa się z medianą. Mediana dzieli uporządkowane dane
na dwie części. Mediana pierwszej z nich to dolny kwartyl (pierwszy kwartyl), a drugiej to górny kwartyl (trzeci kwartyl). Różnica między górnym i dolnym kwartylem to
rozstęp międzykwartylowy.
Kwantyle rzędu 1/10, 2/10,..., 9/10 to inaczej decyle. Kwantyle rzędu 1/100, 2/100,...,
99/100 to inaczej percentyle.
Dominanta (moda) to wartość, która w danych występuje najczęściej i nie jest wartością skrajną (tzn. minimalną lub maksymalną). Jeżeli w zestawie danych występuje
kilka wartości z tą samą, najwyższą częstotliwością, to każda z tych wartości jest modą;
w zestawie danych może również moda nie występować.
3