Stany nieustalone

Zadanie 1.
Wyznaczyć przebieg prądu i(t) w obwodzie pokazanym na rysunku w stanie nieustalonym, jaki powstanie po
zamknięciu wyłącznika w chwili t=0. Parametry obwodu są następujące :
E=100V,L=10H,C=10-9F.
L
W
i(t)
E
C
Warunki początkowe są zerowe.
Impedancja operatorowa obwodu widziana od strony źródła
1
s 2 LC + 1
Z ( s ) = sL +
=
sC
sC
E s
E( s)
EC
= 2
= 2
Z ( s ) s LC + 1 s LC + 1
sC
Do obliczenia transformaty odwrotnej prądu I(s) skorzystamy ze wzoru Heaviside’a.
P( s )
E( s)
 E( s) 
s t
st
s t
F ( s) =
≡ I ( s) =
i( t ) = Z − 1 
 = A1 e + A2 e + ... + An e
Q( s )
Z ( s)
(
)
Z
s


I ( s) =
prąd operatorowy w obwodzie
1
ponieważ

Z ( s ) = s 2 LC + 1 =  s −


czyli pierwiastki mianownika wynoszą
s1, 2 = ± −
Stąd prąd nieustalony w obwodzie
i ( t ) = A1 e
j
n
2
−
1
LC

 s+


−
1
LC




1
1
= ± j
LC
LC
1
t
LC
+ A2 e
1
t
LC
− j
gdzie
A1 =
i( t ) =
EC
(s −
)(
j 1 LC s + j 1 LC
EC
2 j 1 LC
ej
1 LC t
)
=
s = j 1 LC
EC
+
− 2 j 1 LC
e− j
EC
2 j 1 LC
A2 =
EC
(s −
)(
j 1 LC s + j 1 LC
)
EC
=
− 2 j 1 LC
s = − j 1 LC
1 LC t
ostatecznie przebieg prądu przyjmuje postać
i( t ) = E
e
j
1
t
LC
−e
− j
2j L C
1
t
LC
=

sin 
LC

E

t  = 0,1 sin 10 6 t A
LC 
1
Zadanie 2.
Wyznaczyć funkcję prądu i(t) dla t>0 po otwarciu wyłącznika w obwodzie przedstawionym na rysunku , jeżeli
R1 +R2< 2 L / C . Napięcie zasilające jest stałe. Obliczyć prąd nieustalony dla następujących parametrów obwodu:
R1= R2=102Ω, L=10-1H,C=2⋅10-6F,E=100V.
t=0
E
Równanie różniczkowe dla obwodu po otwarciu wyłącznika ma postać
t
di
1
L + ( R 2 + R1 ) i +
i dt − U 0 = 0
dt
C 0
∫
gdzie
U 0 = u c (0 − ) = u c (0 + ) = E
Po transformacji równanie przybiera postać
L sI ( s ) − i ( 0 + ) + RI ( s ) +
[
]
1
E
I ( s) −
= 0
Cs
s
i(t)
R1
R2
L
C
U0
gdzie:
i ( 0 + ) = i( 0 − ) =
R=R1+R2
EL
1
E
+ RI ( s ) +
I ( s) −
= 0
R2
Cs
s
LsI ( s ) −
E EL
 1

+
= I ( s )
+ Ls + R 
s R2
Cs


R 2 + Ls
E
I ( s) =
R 2 L ( s − s1 )( s − s 2 )
zatem prąd operatorowy
I ( s) =
⇒
E
R2
E s + EL R 2
E ( R 2 + Ls )
=
Ls + R ) R 2 L( s 2 + R L s + 1 CL )
(1 Cs +
a ponieważ pierwiastki wynoszą
s2 +
s1, 2 =
2
4
CR 2 − 4 L
 R
∆ =   −
=
CL
L2 C
 L
CR 2 − 4 L 
R
CR 2 − 4 L
= −
±
2
2L
L C 
4 L2 C
R
1
s+
= 0
L
CL
1  R
− ±
2  L
4 L − CR 2
4 L2 C
Więc stosując twierdzenie o rozkładzie wyznaczamy przebieg prądu dla t>0
R 2 + Ls
R 2 + Ls
E
E
E R 2 + Ls1 s t
E R 2 + Ls 2 s t
i( t ) =
es t +
es t =
e +
e =
R 2 L ( s − s1 )( s − s 2 ) s = s
R 2 L ( s − s1 )( s − s 2 ) s = s
R 2 L ( s1 − s 2 )
R 2 L ( s 2 − s1 )
s = − α ± jω
ω
0
0
=
1
=
E  R 2 + L ( − α + jω

( 2 jω 0 )
R2 L 
=
E
R 2 L 2 jω
=
=
=
=
=
E
R 2 L 2 jω
E
R 2 L 2 jω
[( R
)
1
e ( − α + jω
− Lα + jLω
2
0
0
)t
R 2 + L ( − α − jω
( 2 jω 0 )
−
) e ( − α + jω
0
)t
0
)
1
2
2
e ( − α − jω
0
)t

 =

− ( R 2 − Lα − jLω
0
) e ( − α − jω
− ( R 2 − Lα − jLω
0
) e − jω
0
)t
]=
0
[
]=
e − α t ( R 2 − Lα + jLω
0
) e jω
e − α t [ ( R 2 − Lα + jLω
0
)( cos ω 0 t +
j sin ω 0 t ) − ( R 2 − Lα − jLω
0
) ( cos( − ω 0 t ) +
e − α t [ ( R 2 − Lα + jLω
0
)( cos ω 0 t +
j sin ω 0 t ) − ( R 2 − Lα − jLω
0
) ( cos ω 0 t +
0t
0t
0
j sin ( − ω 0 t ) ) ] =
0
E
R 2 L 2 jω
0
E
R 2 L 2 jω
0
E
R 2 L2ω
0
2
e − α t [ ( j 2 Lω
e − α t [ ( 2 Lω
0
0
)( cos ω 0 t ) + ( R2 −
)( cos ω 0 t ) + ( R2 −
Lα + jLω
Lα + jLω
0
0
) j sin ω 0 t − ( R2 −
) sin ω 0 t + ( R 2 −
Lα − jLω
Lα − jLω
0
0
j sin ( − ω 0 t ) ) ] =
) j sin ( − ω 0 t ) ] =
) sin (ω 0 t ) ] =
0
E
E
e − α t [ ( 2 Lω 0 )( cos ω 0 t ) + 2( R 2 − Lα ) sin ω 0 t ] =
e − α t [ ( Lω 0 )( cos ω 0 t ) + ( R 2 − Lα ) sin ω 0 t ]
R 2 L2ω 0
R 2 Lω 0
dla podanych w zadaniu parametrów obwodu prąd i(t) wynosi
E
100
i( t ) =
e − α t [ Lω 0 ⋅ cos ω 0 t + ( R 2 − Lα ) ⋅ sin ω 0 t ] =
e − 1000t [ 200 cos 2000t + 0] = 1e − 1000t cos( 200t )
R 2 Lω 0
10 ⋅ 2000
=