Sygnały elektryczne. Wielkości charakteryzujące sygnały okresowe

Sygnały elektryczne.
Wielkości charakteryzujące
sygnały okresowe. Obwody prądu
sinusoidalnie zmiennego.
Elektrotechnika 1
Wykład 4
Sygnały zdeterminowane
Sygnały zmienne
Sygnały
przypadkowe
(losowe)
Sygnały okresowe
Sygnały przemienne
Sygnały sinusoidalne
Sygnały ciągłe
Sygnały dyskretne
0,8
0,3
-0,2 0
-0,7
-1,2
32
63
95 126 158 189 221 252 284 315 347
u (t ) = 10 ⋅ e−t − 5, t ≥ 0
u(t)
6
4
2
t
0
0
1
2
3
4
5
-2
-4
-6
Sygnał sinusoidalny
Fm
0,8
T
0,3
-0,2 0
32
φ
63
t
95 126 158 189 221 252 284 315 347
-Fm
-0,7
 2π

f (t ) = Fm ⋅ sin 
t + ϕ ,
 T

-1,2
f(t)
2π
= ω = 2π ⋅ f
T
Pochodna sygnału sinusoidalnego
∆f
∆t → 0 ∆t
0,8
f ' (t ) = lim
0,3
-0,2 0
32
63
95 126 158 189 221 252 284 315 347
t
-0,7
-1,2
f (t ) = Fm ⋅ sin (ω t + ϕ ),
2π
= ω = 2π ⋅ f
T
f(ωt)
1,0
f’(ωt)
0,8
0,6
0,4
ωt
0,2
0,0
-0,2
0
60
120
180
240
300
360
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0
(
f ' (ω t ) = [Fm sin (ω t + ϕ )]' = Fm cos (ω t + ϕ ) = Fm sin ω t + ϕ + 90 o
f(t)
f’(t)
0,8
0,3
-0,2 0
32
63
95 126 158 189 221 252 284 315 347
t
-0,7
-1,2
f ' (t ) = [Fm sin (ω t + ϕ )]' = ω Fm cos (ω t + ϕ )
Rezystor w obwodzie prądu sinusoidalnego
i (t ) = I max sin(ωt + ψ i )
uR(t)
u R (t ) = R ⋅ i(t ) = R ⋅ I max sin(ωt + ψ I ) =
= U m sin(ωt + ψ U )
i(t)
R
U m = R ⋅ I max , ψ U = ψ I
)
Cewka indukcyjna w obwodzie prądu sinusoidalnego
uL(t)
i(t)
i(t ) = I max sin(ωt + ψ I )
L
u L (t ) = L
di(t )
d
= L ⋅ [I max sin(ωt + ψ I )] =
dt
dt
= L ⋅ ωI max cos(ωt + ψ I ) = ωL ⋅ I max sin(ωt + ψ I + 90 o ) =
= U m sin(ωt + ψ U )
U m = ωL ⋅ I max = X L ⋅ I max , ψ U = ψ I + 90o
Cewka indukcyjna w obwodzie prądu sinusoidalnego
i(t)
uL(t)
0,8
0,3
-0,2 0
32
63
95 126 158 189 221 252 284 315 347
t
-0,7
-1,2
Kondensator w obwodzie prądu sinusoidalnego
uC(t)
i(t)
uC (t ) = U m sin(ωt + ψ U )
C
du (t )
d
iC (t ) = C C
= C ⋅ [U m sin(ωt + ψ U )] =
dt
dt
= C ⋅ ωU m cos(ωt + ψ U ) = ωC ⋅ U m sin(ωt + ψ U + 90o ) =
= I max sin(ωt + ψ I )
I max = ωC ⋅ U m , U m =
1
⋅ I max = X C ⋅ I max , ψ I = ψ U + 90o
ωC
uc(t)
ic(t)
0,8
0,3
-0,2 0
32
63
t
95 126 158 189 221 252 284 315 347
-0,7
-1,2
i(t)
i(tk)=ik
Wartość skuteczna
0,8
0,3
-0,2 0
t
32 63 95 126 158 189 221 252 284 315 347
∆t=T
tk-1
-0,7
tk
-1,2k=tk-tk-1
∆t
Wartość skuteczna
i (t ) = I max sin(ωt + ψ I )
I = const
i(t)
I
R
∧
k >0
R
∆t k = t k − t k −1 = const
P = UR ⋅ I = R ⋅ I 2
wk = P ⋅ ∆t k = R ⋅ ik2 ⋅ t k
w = P ⋅ ∆t = R ⋅ I 2 ⋅ ∆t
∆t
w = lim
∑ R ⋅ ik2 ⋅ tk
t k →0 k
∆t = T
w = R ⋅ I 2 ⋅T
i(t)
i(tk)=ik0,8
I sk = 0,707 I max
0,3
t
0
32
63
95
126
158
189
221
252
284
315
347
-0,2
tk
-0,7
∆t=T
-1,2
T
T
tk →0 k
0
w = lim ∑ R ⋅ ik2 ⋅ tk ≈ ∫ R i 2 (t ) ⋅ dt = R ⋅ I 2 ⋅ T
I2 =
I max
1T 2
1T 2
∫ i (t )dt , I sk = I =
∫ i (t )dt =
T0
T0
2
Podsumowanie
iR(t)
uR(t)
iL(t)
R
u R (t ) = R ⋅ iR (t )
U Rm = R ⋅ I R max
ψU = ψ I
uC(t)
uL(t)
iC(t)
L
di (t )
u L (t ) = L L
dt
U Lm = X L ⋅ I L max
C
du (t )
iC (t ) = C C
dt
U Cm = X C ⋅ I C max
ψ U L = ψ I L + 90o
ψ I C = ψ U C + 90o
U sk =
U R = R ⋅ IR,
Um
2
, I sk =
UL = X L ⋅ IL,
I max
2
U C = X C ⋅ IC
Moc chwilowa p(t)=u(t)·i(t)
i (t)
u (t)
Obc
Moc czynna, bierna i pozorna
ϕu = 0, i( t ) = I max sin( ωt _ ϕi ) ⇒
p(t ) = u (t ) ⋅ i (t ) = U sk ⋅ I sk cos ϕ − U sk ⋅ I sk cos(2ωt − ϕ )
P = U sk ⋅ I sk cos ϕ , W [ wat ]
Q = U sk ⋅ I sk sin ϕ , V ⋅ Ar [var]
S = U sk ⋅ I sk ,
V ⋅ A [ woltamper ]
p(t ) = u (t ) ⋅ i (t ) = P − S cos( 2ωt − ϕ )
pmax (t ) = P + S ,
pmin (t ) = P − S
Moc czynna i bierna na R, L, C
iR(t)
uR(t)
iL(t)
uL(t)
R
uC(t)
iC(t)
C
L
uR (t ) = R ⋅ iR (t )
diL (t )
dt
= ϕ I L + 90o
duC (t )
dt
= ϕU C + 90o
u L (t ) = L
iC (t ) = C
P = URIR
ϕU L
ϕIC
Q = 0 bo sin 0o = 0
S=P
ϕ = ϕU L − ϕ I L = 90o
ϕU = ϕI ⇒ ϕ = 0
P=0
Q = U Lsk I Lsk = S
ϕ = −90o
P=0
Q = −U Csk I Csk < 0
S = −Q
Współczynnik mocy
P = Usk ⋅ Isk cosϕ, Q = Usk ⋅ Isk sinϕ, S = Usk ⋅ I sk
2
2
cos ϕ + sin ϕ =1
[Usk ⋅ Isk cosϕ]2 + [Usk ⋅ Isk sinϕ]2 = (Usk ⋅ Isk )2 (cos2ϕ + sin2ϕ)
P2 + Q2 = S 2 , S = P2 + Q2
P = S ⋅ cosϕ
cosϕ =
P
, ϕ = ϕU − ϕI , 0 ≤ cosϕ ≤ 1
S