część 2 - Politechnika Wrocławska

Politechnika Wrocławska
Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych
Materiał ilustracyjny
do przedmiotu
ELEKTROTECHNIKA
(Cz. 2)
Prowadzący:
Dr inż. Piotr Zieliński (I-29, A10 p.408, tel. 320-32 29)
Wrocław 2005/6
PRĄD ZMIENNY
Klasyfikacja prądów zmiennych
Prąd zmienny
jednokierunkowy
okresowy
pulsujący
nieokresowy
dwukierunkowy
okresowy
nieokresowy
przemienny
sinusoidalnie zmienny
odkształcony
INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA
Prawo indukcji elektromagnetycznej
Jeżeli wartość strumienia magnetycznego sprzężonego z obwodem
elektrycznym zmienia się w czasie, to w obwodzie tym indukuje się
siła elektromotoryczna o wartości:
dΦ / dt>0
e
e
Φ
dφ
e=
dt
Reguła Lenza
Zwrot indukowanej sem jest taki, że prąd płynący pod jej
wpływem przeciwstawia się zachodzącym zmianom strumienia.
Strumień magnetyczny sprzężony
dΦ / dt>0
e
Φ
e
gdzie: z - liczba zwojów
ψ - sprzężenie magnetyczne
ψ = zφ
dφ dψ
=
e=z
dt
dt
Samoindukcja
dΦ/ dt >0
dψ
e=
dt
Φ
i
di / dt >0
def
L=
e
ψ
ψ ∝i
ψ =Li
Współczynnik proporcjonalności L jest
nazywany współczynnikiem
indukcyjności własnej lub indukcyjnością.
i
[L]=1H (henr)
di
e=L
dt
Współczynnik samoindukcji
ψ
zΦ
L= =
i
i
Podstawienie w miejsce Φ
zależności wynikającej z prawa
Ohma dla obwodu magnetycznego....
.... daje wzór ilustrujący, jak indukcyjność
danego obiektu zależy od jego parametrów
konstrukcyjnych.
iz
Φ=
R
2
z
L=
R
Samoindukcja – zasady strzałkowania
i1
L
e1
di1
e1 = − L
dt
i2
L
e2
di2
e2 = L
dt
Zjawisko indukcji wzajemnej
(transformacja)
Φ12
i1
Φ21
Φ1r
e1
Φ2r
i2
e2
e1 = e11 + e21
di2
di1
+ L21
e1 = L1
dt
dt
e2 = e22 + e12
i1
L12
e1
i2
e2
L1
L2
di1
di2
+ L12
e2 = L2
dt
dt
Współczynnik
indukcji wzajemnej
L12 = L21
l
Siła elektromotoryczna ruchu
B
e
v
e
e = l [v × B]
dx
Reguła prawej dłoni
Jeżeli prawą dłoń umieścimy w polu
magnetycznym tak by linie sił pola były
skierowane ku dłoni a odgięty kciuk
wskazywał kierunek ruchu przewodnika to
wyciągnięte palce wskażą kierunek
indukowanej sem.
Jeśli B,l,v są wzajemnie prostopadłe to:
e = Bl v
Energia pola magnetycznego
i,ψ
Φ
I
t
i
0
di
e=L
dt
dW = e i dt
i
W = ∫ L i di
0
T
i2
W =L
2
W=
ψi
2
L=
ψ
i
Prąd zmienny sinusoidalny
(przemienny)
ω
Wytwarzanie napięcia sinusoidalnego
ω
ω
e
e
α
e
B
B
dφ
d
e=−
= − ( Bld cos α )
dt
dt
α = ω t ; Em = ω Bld
d
e = Em sin ω t
Parametry przebiegu sinusoidalnego
e
Em
ωt
e = Em sin(ω t + ψ )
ψ
T
Pulsacja -
Okres -
2π
ω=
= 2π f
T
1
T=
f
Em – wartość maksymalna
f – częstotliwość
ψ – faza początkowa
Przedstawianie przebiegów sinusoidalnych
za pomocą wirujących wektorów
ω
b
C
A
c
a
ωt
B
Sumowanie przebiegów sinusoidalnych
Wartość skuteczna prądu zmiennego
i ( Isk )
R
Wartość skuteczna prądu zmiennego okresowego jest równa wartości prądu
stałego, który płynąc w ciągu jednego okresu przez taką samą rezystancję co
prąd zmienny wywołuje taki sam skutek cieplny.
W przypadku przebiegu sinusoidalnego
T
2
2
i
R
dt
=
I
sk RT
∫
2π
i = I m sin
t
T
0
T
1 2
I sk =
i dt
∫
T0
def
Zatem
Im
I sk = I =
2
Rezystancja obwodzie prądu przemiennego
u R = iR R
iR ;IR
iR = 2 I R sin ω t
R
u R = 2 I R R sin ω t
uR ;UR
uR
iR
uR
p
iR
P = Psr
UR = IR R
t
u R = 2U R sin ω t
p = u R iR = 2U R I R sin 2 ωt
UR
IR
2
U
P = U R I R = I R2 R = R
R
Prąd płynący przez rezystancję R jest w fazie względem napięcia na
tym elemencie.
Indukcyjność w obw. prądu przemiennego
iL = 2 I L sin ω t
XL
iL ;IL
uL ; UL
uL
iL
p
u L = 2 I L ω L sin(ω t + π2 )
uL
iL
diL
uL = L
dt
p
t
def
XL = ω L
- reaktancja ind. [Ω]
UL = IL X L
UL
f
IL
u L = 2U L sin(ω t + π2 )
Prąd płynący przez indukcyjność L jest opóźniony względem
napięcia na tym elemencie o kąt f= 90o
Moc odbiornika indukcyjnego
XL
iL ;IL
iL = 2 I L sin ω t
uL ; UL
uL
iL
p
u L = 2U L sin(ω t + π2 )
uL
iL
p = u L iL = U L I L sin 2ωt
p
t
Moc czynna -
P = Pśr = 0
UL
f
IL
2
U
2
QL = U L I L = I L X L = L
XL
def
Moc bierna -
Pojemność w obw. prądu przemiennego
C
IC
uC = 2U C sin ω t
UC
iC = 2U Cω C sin(ω t + π2 )
uC
iC
dq d (C u )
iC =
=
dt
dt
uC
IC = U C ω C
iC
p
IC
φ
UC
t
1
XC =
ωC
def
- reaktancja poj. (Ω)
UC
IC =
XC
iC = 2 I c sin(ω t + π2 )
Prąd płynący przez pojemność C wyprzedza napięcie na tym
elemencie o kąt f= 90o
Moc odbiornika pojemnościowego
uC = 2U C sin ω t
C
IC
iC = 2 I c sin(ω t + π2 )
UC
uC
iC
uC
p = uC iC = U C I C sin 2ωt
iC
p
t
Moc czynna -
P = Pśr = 0
IC
φ
UC
Moc bierna -
2
C
U
QC = U C I C = I X C =
XC
def
2
C
Szeregowe połączenie elementów R,L,C
R
I
UL
UR
u u
R
C
L
U = U R2 + (U L − U C ) 2
UC
U
U
Z =
I
def
uL
uC
Z = R 2 + ( X L − X C )2
ωt
i
- impedancja (Ω)
Z = R2 + X 2
UL
U
φ
φ
I
UC
Z
UR
X
R
Reaktancja
zastępcza
X = XL − XC
R
X
ϕ = arc (cos ) = arc (tg )
Z
R
Rezonans napięć
UR
XC
XL
R
I
UL
U
1
2π f L =
2π f C
UC
Częstotliwość
rezonansowa
UL
U
UR
I
XL = XC
U = UR
Z=R
UC
fr =
1
2π LC
U
I=
R
UL
Q=
UR
def
Dobroć obwodu rezonansowego
Równoległe połączenie elementów R,L,C
I
I = I R2 + ( I L − I C ) 2
IC
IR
IL
U
L
R
C
admitancja (S)
iR
iL
i
iL
u
I 1
Y = =
U Z
def
Y = G 2 + ( BL − BC ) 2
ωt
B = BL − BC
IC
U
φ
φ
I
IL
G
IR
B
Y
Y = G2 + B2
G – konduktancja
B - susceptancja
Rezonans prądów (obwód idealny)
I
IL
U
XL
IC
XC
BL = BC ⇒ X L = X C
1
2π f L =
2π f C
Częstotliwość
rezonansowa
IC
fr =
1
2π LC
U
I=0
IL
I =0 ⇒ Z =∞
Rezonans prądów (obwód rzeczywisty)
I
IC
IR
IL
U
R
XL
IC
IR
U
I=IR
IL
BL = BC ⇒ X L = X C
XC
Częstotliwość
rezonansowa
fr =
1
2π LC
U
IL =
= U BL
XL
U
IC =
= U BC
XC
U
I = IR = = U G
R
Dobroć obwodu rezonansowego
IL
Q=
IR
Moc odbiornika prądu przemiennego
T
P = Pśr = ∫ ui dt
Z
I
0
U
u
i
p
u
Po podstawieniu u =
p
2U sin ωt
i
Psr
i = 2 I sin(ωt − ϕ )
t
0
ϕ
Icz
U
ϕ
Ib
I
ϕ
Moc czynna P = U I cz = U I cos ϕ
P
Q
S
Moc bierna
Q = UI b = U I sin ϕ
Moc pozorna
S = U I = P2 + Q2
Obliczanie obwodów prądu
sinusoidalnego przy użyciu rachunku
zespolonego
Liczby zespolone (postać algebraiczna)
W = Wx + jW y
Im
j = −1
Wx = Re(W )
W y = Im(W )
W
Wy
α
Re
Wx
W =W
W = Wx2 + W y2
W = W cos α + j W sin α
j 2 = −1
1
=−j
j
Liczby zespolone (postać wykładnicza)
W = We
jα
W =W
e
jα
Im
Wy
= cos α + j sin α
e
j π2
W
= j
e jα = cos 2 α + sin 2 α = 1
α
Re
Wx
Wielkości sinusoidalne na płaszczyźnie
zespolonej
Im
e
jα
= cos α + j sin α
ω
e jα = cos 2 α + sin 2 α = 1
Wektor o amplitudzie
I
α
Re
2 I wirujący na płaszczyźnie zespolonej z prędkością ω.
2 Ie j (ωt +α ) = 2 I cos(ωt + α ) + j 2 I sin(ωt + α )
Wartość chwilowa
i = Im( 2 Ie j (ωt +α ) ) = 2 I sin(ωt + α )
Skuteczna wartość zespolona
Ie
jα
=I
Obwody z elementami R,L,C
R
IR
UR = IR R
UR
UR
IR
U L = I L jX L
XL
IL
jX L = X L
UL
UL
φ
UL = IL XL
IL
XC
IC
UC
IC
φ
UC
U C = I C (− jX C )
− jX C = X C
UC = IC X C
Szeregowe łączenie R,L,C
UR
XC
XL
R
I
U
UL
UL
UC
U
φ
U = U R +U L +U C
U
Z =
I
def
UR
I
UC
zastępcza impedancja
zespolona
Z
φ
R
X
Z = R + jX L − jX C
Z = R 2 + ( X L − X C )2
Z = R+ XL + XC
Z = R+ X
Z = Ze
jϕ
R
X
ϕ = arc (cos ) = arc (tg )
Z
R
Równoległe łączenie R,L,C
I
I = IR + I L + I C
IC
IR
U
R
IL
XL
XC
I = I R2 + ( I L − I C ) 2
admitancja zespolona
IC
IR
U
I 1
Y= =
U Z
φ
Y = G − jBL + jBC )
I
B = BL − BC
IL
G
φ
B
Y
Y = G2 + B2
Szeregowe łączenie impedancji
I
Z1
Z2
U1
U2
Z3
U3
U
U = U1 +U 2 +U 3
U U1 U 2 U 3
=
+
+
I
I
I
I
zastępcza impedancja
zespolona
Z z = Z1 + Z 2 + Z 3 + ⋅⋅⋅
Równoległe łączenie impedancji
I
I1
Z1
I2
Z2
I = I1 + I 2 + I 3
I3
Z3
U
I I1 I 2 I 3
= + +
U U U U
1
1
1
1
=
+
+
+ ⋅⋅⋅
Zz Z1 Z 2 Z 3
zastępcza admitancja
zespolona
Y z = Y 1 + Y 2 + Y 3 + ⋅⋅⋅
Układy prądu trójfazowego
Napięcie trójfazowe (wytwarzanie)
Uc
120o
ω
Ua
120o
120o
Ub
B
ua
ub
Ua = Ub = Uc = U
Ua =U
uc
ωt
Ub =U e
− j 23π
=a U
j 23π
= aU
Uc =U e
przy czym:
a=e
j 23π
2
Układ trójfazowy jako zespół 3.symetrycznych obwodów jednofazowych
Zf
IA
UA
U AB
IB
UBC
UB
U CA
IC
IB
UB
UA
f
Zf
UB
Zf
IC
UA
f
f
IA
UC
UC
UC
Zf
IA
UA
UAB
IB
UBC
UB
UCA
IC
UAB
IB
UBC
UB
UC
UCA
IC
UB
UC
f
f
IA
UC
Zf
UA
IC
UA
f
Zf
UC
IA
UA
Zf
UB
I0=0
UC
UA
IB
UB
Zf
Zf
I0 = I A + IB + IC
W układzie symetrycznym:
I0 = 0
Układ czteroprzewodowy
IA
UA
UB
UAB
IB
UBC
UCA IC
UC
IO
U A = U B = UC = U f
napięcia fazowe
U AB = U BC = U CA = U
napięcia przewodowe (międzyfazowe)
Układ połączeń w gwiazdę
Z
IA
UAB
UA
UA
IB
UBC
UB
UCA
UB
IC
UC
30 o
IB
UB
UAB
IC
UCA
-UB
φ
30
U BC = U B − U C
U CA = U C − U A
UA
IA
o
I p =I f
-UB
U AB = U A − U B
30 o
φ
φ
I p =I f
Z
UC
UC
-UA
Z
UBC
U p = 3U f
Układ połączeń w trójkąt
-ICB
IA
A
A
UAB
UAB
B
IBC
UBC
UCA
30 o
Zf
UCA
Zf
UBC
ICA
IC
C
Up =U f
I A = I AB − I CA
I B = I BC − I AB
I C = I CA − I BC
IC
ICA
IAB
Zf
IB B
UCA
φ
UAB
IB
φ
30 o
-IAB
φ
C
30 o
IAB
IBC
UBC
IA
Up =U f
I p = 3I f
-ICA
Moc w układzie 3-fazowym
Gwiazda
UAB
IB
B
UBC
Zf
IA
A
UCA
C
IC
Trójkąt
IA
A
UAB
UA
UB
Zf
IBC
UBC
UCA
C
UC
IAB
Zf
IB B
B
Zf
A
UAB
Zf
UCA
Zf
UBC
ICA
IC
C
P3 f = PA + PB + PC = 3P1 f
P3 f = PA + PB + PC = 3P1 f
U
P1 f = U f I f cos ϕ =
I cos ϕ
3
I
P1 f = U f I f cos ϕ = U
cos ϕ
3
Pgwiaz = 3U I cos ϕ
Analogicznie:
S3 f = 3U I
Ptrójk =
oraz
3 U I cos ϕ
Q3 f = 3U I sin ϕ