Definicja odchylenie standardowe odchylenie

Kurs Prawdopodobieństwo
Wzory
Elementy kombinatoryki
„Klasyczna” definicja prawdopodobieństwa
P  A 
gdzie:
A - liczba zdarzeń sprzyjających A
 - liczba wszystkich zdarzeń
eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński
www.etrapez.pl
Tel. 603 088 274


Prawdopodobieństwo – definicja Kołmogorowa
 - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych
S – „sigma-ciało” na zbiorze  , czyli zbiór jego podzbiorów spełniający warunki:
1)   S
2)  S    S

3) 1 , 2 , 3 ,...  S  1  2  3  ...  U n  S
n 1
P – funkcja o argumentach ze zbioru S i wartościach będących liczbami rzeczywistymi, spełniająca
warunki („aksjomaty”):
1.
 P    0
S
2. P     1
3. P  1  2  3  ...  P  1   P  2   P  3   ... - dla zdarzeń parami rozłącznych, tzn.
  
i
j
  dla i  j 
Wartości funkcji P  A możemy nazywać „prawdopodobieństwem”
Własności prawdopodobieństwa
1. P     0,1 
2. P    0
3.     P     P   
4. P     1  P   
5.     P   \    P     P   
6. P     P     P     P    
Niezależność zdarzeń
Zdarzenia A i B są niezależne, gdy:
P      P     P  
Prawdopodobieństwo warunkowe
Prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B
oznaczamy jako P   |   i liczymy ze wzoru:
eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński
www.etrapez.pl
Tel. 603 088 274
P   |  
P    
P  
Prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa
Zakładając, że i  j    dla i  j  i P  1   P  2   ...  P  n   1 :
Prawdopodobieństwo całkowite
P     P  1  P   1   P  2  P   2   ...  P  n  P   n 
Wzór Bayesa
P  i   
P  i  P   i 
P  
Schemat Bernoulliego
Prawdopodobieństwo zajścia k „sukcesów” w n niezależnych i identycznych doświadczeniach, z
których każde może zakończyć się tylko na dwa sposoby (z prawdopodobieństwami p dla
„sukcesu” i q dla „porażki”) wynosi:
n
P  S  k     p k q nk
k 
eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński
www.etrapez.pl
Tel. 603 088 274
Zmienne losowe
Dyskretne zmienne losowe
Rozkład
p
i
1
Dystrybuanta
F  x  P  X  x
Wartość oczekiwana
EX   xi pi
Mediana x0,5 , Me
Wartość zmiennej losowej, dla której skumulowane prawdopodobieństwa „przekraczają”
1
2
Dominanta, moda D
Wartość zmiennej losowej osiągana z największym prawdopodobieństwem
Kwantyl rzędu p x p
Wartość zmiennej losowej, dla której skumulowane prawdopodobieństwa „przekraczają” p
Wariancja D 2  X  ,  2
D2  X     xi  EX  pi , D2  X   EX n   EX 
2
n
Odchylenie standardowe D  X  , 
D  X   D2  X 
Współczynnik zmienności V
V
D X 
EX 
eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński
www.etrapez.pl
Tel. 603 088 274
Moment zwykły n-tego rzędu EX n ,  n
EX n   xin pi
Moment centralny n-tego rzędu  n
n    xi  EX  pi
n
Współczynnik asymetrii
1 
3
 D  X 
3
Współczynnik koncentracji
K
4
 D  X 
4
Przykłady rozkładów dyskretnych zmiennych losowych
Rozkład Bernoulliego
W rozkładzie Bernoulliego prawdopodobieństwa określane są ze wzoru:
n
P  X  k     p k q nk
k 
EX  np
D2  X   npq
Rozkład Poissona
W rozkładzie Poissona prawdopodobieństwa określane są ze wzoru:
P X  k 
k
k!
e 
EX  
D2  X   
Dla dużych n i małych p rozkład Bernoulliego można zastępować rozkładem Poissona
eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński
www.etrapez.pl
Tel. 603 088 274
Rozkład hipergeometryczny
W rozkładzie hipergeometrycznym prawdopodobieństwa określane są ze wzoru:
 M  N  M 
 

k  n  k 

P X  k 
N
 
n
Gdzie N to ilość wszystkich elementów w populacji, M to ilość wszystkich elementów w populacji
o określonej cesze, n to ilość elementów w próbce, k to ilość elementów w próbce o określonej
cesze
EX 
M n
N
D2 X  n 
M  M  N n
1  
N
N  N 1
Dla dużych N i M, oraz
M
 p rozkład Bernoulliego można zastępować rozkładem
N
hipergeometrycznym.
eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński
www.etrapez.pl
Tel. 603 088 274
Ciągłe zmienne losowe
Funkcja gęstości
f  x
b
P  a  X  b    f  x  dx
a

 f  x  dx  1

Dystrybuanta
F  x  P  X  x 
x
 f t  dt

Wartość oczekiwana

EX 
 xf  x  dx

Mediana x0,5 , Me
Wartość x0,5 , dla której F  x0,5   0,5
Dominanta, moda D
Maksimum globalne funkcji gęstości f  x 
Kwantyl rzędu p x p
Wartość x p , dla której F  x p   p
Wariancja D 2  X  ,  2
D2  X  

  x  EX  f  x  dx , D  X   EX   EX 
2
2
n

Odchylenie standardowe D  X  , 
D  X   D2  X 
eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński
www.etrapez.pl
Tel. 603 088 274
n
Współczynnik zmienności V
V
D X 
EX 
Moment zwykły n-tego rzędu EX n ,  n

 x f  x  dx
EX n  EX 
n

Moment centralny n-tego rzędu  n
n 

  x  EX  f  x  dx
n

Współczynnik asymetrii
1 
3
 D  X 
3
Współczynnik koncentracji
K
4
 D  X 
4
Przykłady rozkładów ciągłych zmiennych losowych
Rozkład normalny
W rozkładzie normalnym prawdopodobieństwa określane są z funkcji gęstości o wzorze:
1
f  x 
e
 2
 x  m 
2
2
2
EX  m
D2  X    2
Standaryzacja rozkładu normalnego:
Z
X m

eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński
www.etrapez.pl
Tel. 603 088 274
Rozkład jednostajny
W rozkładzie jednostajnym prawdopodobieństwa określane są z funkcji gęstości o wzorze:
 1
w przedziale x  a, b

f  x  b  a

dla pozostalych x
0
Rozkład wykładniczy
W rozkładzie wykładniczym prawdopodobieństwa określane są z funkcji gęstości o wzorze:
 1  x
 e dla x  0
f  x  
0
dla x  0

EX  
D2  X   
eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński
www.etrapez.pl
Tel. 603 088 274
Zmienne losowe dwuwymiarowe
Dyskretne zmienne losowe dwuwymiarowe
Rozkład
Rozkłady brzegowe
 p , p
i.
i
.j
j
Prawdopodobieństwo warunkowe


P X  xi Y  y j 
pij
p. j
, P Y  y j X  xi  
pij
pi.
Niezależność zmiennych losowych
Dwie zmienne losowe X i Y nazywamy niezależnymi, gdy:
 P  X  xi , Y  y j   P  X  xi   P Y  y j 
i, j
Dystrybuanta
F  x, y   P  X  x, Y  y     pij
xi  x y j  y
Wartości oczekiwane
Wartości oczekiwane EX , EY liczymy z rozkładów brzegowych
Wariancje
Wariancje D 2  X  D 2 Y  , liczymy z rozkładów brzegowych.
eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński
www.etrapez.pl
Tel. 603 088 274
Kowariancja
C  X , Y     xi  E  X    y j  E Y   pij
i
j
Współczynnik korelacji

C  X ,Y 
D  X   D Y 
Jeśli   0 zmienne losowe nazywamy „nieskorelowanymi”. Nie oznacza to jednak, że są
niezależne. Jeśli jednak zmienne losowe są niezależne, to na pewno   0 .
eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński
www.etrapez.pl
Tel. 603 088 274
Ciągłe zmienne losowe dwuwymiarowe
Funkcja gęstości
f  x, y 
b d
P  a  X  b, c  Y  d     f  x, y  dydx
a c
 
  f  x, y  dydx  1
 
Rozkłady brzegowe

f1  x  


f  x, y  dy , f 2  y  

 f  x, y  dx

Rozkłady warunkowe
f X Y 
f  x, y 
f2  y 
, f Y X  
f  x, y 
f1  x 
Niezależność zmiennych losowych
Dwie zmienne losowe X i Y nazywamy niezależnymi, gdy dla dowolnych x i y:
f  x, y   f1  x   f 2  y 
Dystrybuanta
F  x, y   P  X  x, Y  y  
x
y
  f u, v  dudv
 
Wartości oczekiwane
EX  

 xf  x  dx
1

E Y  

 yf  y  dy
2

eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński
www.etrapez.pl
Tel. 603 088 274
Wariancje
D2  X  

  x  EX  f  x  dx
2
1

D 2 Y  

  y  EY 
2
f 2  y  dx

Kowariancja
C  X ,Y  
 
   x  E  X    y  E Y   f  x, y  dxdy
 
Współczynnik korelacji

C  X ,Y 
D  X   D Y 
Jeśli   0 zmienne losowe nazywamy „nieskorelowanymi”. Nie oznacza to jednak, że są
niezależne. Jeśli jednak zmienne losowe są niezależne, to na pewno   0 .
eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński
www.etrapez.pl
Tel. 603 088 274