Wzory na całki powierzchniowe

Wzory na całki powierzchniowe:
CAŁKI POWIERZCHNIOWE NIEZORIENTOWANE
WZORY NA PRZEJŚCIE NA CAŁKĘ PODWÓJNĄ
Powierzchnia S w postaci jawnej z  f  x, y  :
Powierzchnia S w postaci parametrycznej:
ZASTOSOWANIA FIZYCZNE
F  x, y, z  -gęstość
 F  x, y, z  ds jest masą powierzchni S.
Jeżeli F  x, y, z  jest gęstością powierzchniową S, to całka
S
Jeżeli F  x, y, z  jest gęstością ładunku elektrycznego, to całka
 F  x, y, z  ds przedstawia cały
S
ładunek.
Momenty statyczne płata S względem płaszczyzn x0y, y0z, z0x:
M xy   zF  x, y, z  ds, M yz   xF  x, y, z  ds, M zx   yF  x, y, z  ds
S
S
 M yz M zx M xy 
,
,
Współrzędne środka ciężkości: 

 M M M 
eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński
www.etrapez.pl
Tel. 603 088 274
S
ZASTOSOWANIA FIZYCZNE – CD.
Momenty bezwładności płata S względem płaszczyzn x0y, y0z, z0x:
I xy   z 2 F  x, y, z  ds, I yz   x 2 F  x, y, z  ds, I zx   y 2 F  x, y, z  ds
S
S
S
Momenty bezwładności płata S względem osi współrzędnych 0x, 0y, 0z:
I x    y 2  z 2  F  x, y, z  ds, I y    z 2  x 2  F  x, y, z  ds, I z    x 2  y 2  F  x, y, z  ds
S
S
S
Moment bezwładności płata S względem początku układu współrzędnych:
I 0    x 2  y 2  z 2  F  x, y, z  ds
S
eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński
www.etrapez.pl
Tel. 603 088 274
CAŁKI POWIERZCHNIOWE ZORIENTOWANE
Q  x, h  x, z  , z  dzdx   R  x, y, f  x, y   dxdy
 P  x, y, z  dydz  Q  x, y, z  dzdx  R  x, y, z  dxdy  D P  g  y, z  , y, z  dydz  
D
D
S
1
 P  x, y, z  dydz  Q  x, y, z  dzdx  R  x, y, z  dxdy 
S
2
3
 D  y, z 
D  z, x 
D  x, y  
P

Q

R

  D  u, v  D u, v  D u, v   dudv


TWIERDZENIE GAUSSA – OSTROGRADSKIEGO
Jeżeli powierzchnia S jest powierzchnią zamkniętą (ogranicza jakąś bryłę V), zorientowaną
zewnętrznie:
 P
Q
R 
 P  x, y, z  dydz  Q  x, y, z  dzdx  R  x, y, z  dxdy    x  y  z dxdydz
S
eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński
www.etrapez.pl
Tel. 603 088 274
V