Kółeczko z Cevy i Menelaosa 28 stycznia 2010 Twierdzenie o

Kółeczko z Cevy i Menelaosa
28 stycznia 2010
Twierdzenie o dwusiecznej. Niech AD będzie dwusieczną w trójkącie ABC. Wtedy AB
=
AC
BD
.
CD
Twierdzenie Cevy. Niech punkty A1 , B1 , C1 leżą odpowiednio na bokach BC, AC, AB trójkąta ABC. Wtedy proste AA1 , BB1 , CC1 przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy,
AC1 BA1 CB1
gdy BC
· CA1 · AB1 = 1.
1
Twierdzenie Menelaosa. Niech punkty B1 , C1 leżą odpowiednio na bokach AC, AB trójkąta
ABC, a punkt A1 na przedłużeniu boku AB. Wtedy punkty A1 , B1 , C1 są współliniowe wtedy
AC1 BA1 CB1
· CA1 · AB1 = 1.
i tylko wtedy, gdy BC
1
Twierdzenie sinusów. W trójkącie ABC zachodzi
sin ∠A
BC
=
sin ∠B
CA
=
sin ∠C
.
AB
Pole trójkąta. Pole trójkąta ABC jest równe 21 AB · AC · sin ∠A.
Trygonometryczne twierdzenie Cevy. Niech punkty A1 , B1 , C1 leżą odpowiednio na bokach BC, AC, AB trójkąta ABC. Wtedy proste AX, BY, CZ przecinają się w jednym punkcie
sin ∠ACC1 sin ∠BAA1 sin ∠CBB1
·
·
= 1.
wtedy i tylko wtedy, gdy sin
∠BCC1 sin ∠CAA1 sin ∠ABB1
Ogólniejsze wersje twierdzeń Cevy i Menelaosa. Niech punkty A1 , B1 , C1 leżą odpoAC1 BA1 CB1
wiednio na prostych BC, AC, AB. Niech R = BC
· CA1 · AB1 = 1. Teraz:
1
• jeśli R = 1 oraz parzysta liczba spośród punktów A1 , B1 , C1 należy do boków trójkąta
ABC, to proste AA1 , BB1 , CC1 przecinają się w jednym punkcie (tw. Cevy);
• jeśli R = 1 oraz nieparzysta liczba spośród punktów A1 , B1 , C1 należy do boków trójkąta
ABC, to punkty A1 , B1 , C1 są współliniowe (tw. Menelaosa).
1. Udowodnij, że w trójkącie ostrokątnym w jednym punkcie przecinają się: środkowe;
dwusieczne; wysokości.
2. Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do jego boków BC, AC, AB odpowiednio w
punktach D, E, F . Udowodnij, że proste AD, BE, CF przecinają się w jednym punkcie.
3. Punkt P leży wewnątrz trójkąta ostrokątnego ABC. Proste AP, BP, CP przecinają
boki tego trójkąta odpowiednio w punktach D, E, F . Proste DE i DF przecinają prostą
przechodzącą przez A i równoległą do BC odpowiednio w punktach X i Y . Udowodnij,
że AX = AY .
4. AD jest dwusieczną w trójkącie ABC, a jej symetralna przecina prostą BC w punkcie
2
F . Udowodnij, że BE
= AB
.
CE
AC 2
5. Punkt P leży wewnątrz trójkąta ostrokątnego ABC. Proste AP, BP, CP przecinają
boki tego trójkąta odpowiednio w punktach D, E, F . Udowodnij, że proste przechodzące przez środki boków BC, CA, AB równoległe odpowiednio do AP, BP, CP , przecinają się w jednym punkcie.
6. Punkt P leży wewnątrz trójkąta ostrokątnego ABC. Proste AP, BP, CP przecinają
boki tego trójkąta odpowiednio w punktach D, E, F . Udowodnij, że proste łączące
środki boków BC, CA, AB odpowiednio ze środkami AD, BE, CF , przecinają się w
jednym punkcie.
7. Niech α, β, γ będą dowolnymi kątami takimi, że suma każdych dwóch z nich jest mniejsza niż π. Na zewnątrz trójkąta ABC skonstruowano trójkąty A1 BC, AB1 C, ABC1 tak,
że ich kąty przy wierzchołkach A, B, C mają odpowiednio miarę α, β, γ. Udowodnij, że
proste AA1 , BB1 , CC1 przecinają się w jednym punkcie.
Kółeczko z Cevy i Menelaosa
28 stycznia 2010
8. Udowodnij powyższe dla trójkątów skonstruowanych wewnątrz trójkąta ABC.
9. Okrąg o środku O wpisany w trójkąt ABC jest styczny do jego boków BC, AC, AB
odpowiednio w punktach D, E, F . Na półprostych OA1 , OB1 , OC1 odłożono jednakowe
odcinki OA2 , OB2 , OC2 . Udowodnij, że proste AA2 , BB2 , CC2 przecinają się w jednym
punkcie.
10. Punkt P leży wewnątrz trójkąta ostrokątnego ABC. Proste AP, BP, CP przecinają
AE
AF
boki tego trójkąta odpowiednio w punktach D, E, F . Udowodnij, że PAPD = CE
+ BF
(tw. Van Aubela).
11. Dane są trzy rozłączne zewnętrznie okręgi o1 , o2 , o3 o środkach odpowiednio O1 , O2 , O3 .
Dwie spośród stycznych do obu okręgów o2 i o3 przecinają się w punkcie A1 , leżącym
na odcinku O2 O3 . Analogicznie definiujemy punkty A2 i A3 . Udowodnij, że albo proste
O1 A1 , O2 A2 , O3 A3 przecinają się w jednym punkcie, albo punkty A1 , B1 , C1 są współliniowe.
12. Punkty D i E leżą odpowiednio na bokach BC i CA trójkąta ABC, przy czym BD =
AE. Odcinki AD i BE przecinają się w punkcie P . Dwusieczna kąta ACB przecina
PQ
PR
= BE
.
odcinki AD i BE odpowiednio w punktach Q i R. Udowodnij, że AD
13. Ferdek, Paździoch, Walduś i Boczek poruszają się każdy po swojej prostej ze stałymi
prędkościami. W każdej sytuacji, gdy dwóch z nich się spotyka, wypijają 2 napoje M F
w króciutkim czasie i jadą dalej. Udowodnij, że niemożliwe jest, aby zostało skonsumowanych dokładnie 10 napojów M F .
14. Na zewnątrz trójkąta ostrokątnego ABC zbudowano takie trójkąty równoramienne
ARB, BP C, CQA, że AR = BR, BP = CP, AQ = CQ. Pokazać, że proste AP, BQ, CR
przecinają się w jednym punkcie.
15. W trapezie ABCD, w którym BC > AD, na dłuższej podstawie AB obrano taki punkt
K, by KB = CD. Następnie przeprowadzono przez punkt B taką prostą, by przecinała
ona odcinki AD i KD w punktach odpowiednio E i F oraz by AE = KF . Na boku
BC oznaczono taki punkt S, że BS = AD. Udowodnij, że EC||F S.
16. Z wierzchołka C kąta prostego trójkąta ABC poprowadzono wysokość CK, a w trójkącie CKA poprowadzono dwusieczną CE. Prosta przechodząca przez punkt B równoległa do CE przecina prostą CK w punkcie F . Udowodnij, że prosta EF dzieli odcinek
AC na połowy.
17. Punkty A1 , A2 należą do boku BC trójkąta ABC, punkty B1 , B2 do boku AC, punkty
C1 , C2 do boku AB. Punkty A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 leżą na okręgu. Udowodnij, że jeśli
AA1 , BB1 , CC1 przecinają się w jednym punkcie, to AA2 , BB2 , CC2 także przecinają
się w jednym punkcie.
18. Dany jest trójkąt ABC. Punkty P, Q, R należą odpowiednio do prostych BC, AC, AB.
Odpowiednio punkty P1 , Q1 , R1 są ich obrazami względem środków odpowiednich odcinków (BC, AC, AB). Udowodnij, że jeśli punkty P, Q, R są współliniowe, to P1 , Q1 , R1
także są współliniowe. Udowodnij, że jeśli AP, BQ, CR przecinają się w jednym punkcie, to AP1 , BQ1 , CR1 także przecinają się w jednym punkcie.