funkcja przenoszenia

OPTYCZNY UKŁAD ODWZOROWUJĄCY JAKO FILTR LINIOWY
Marek Zając
Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej
Rozważmy działanie pewnego układu fizycznego przekształcającego sygnał wejściowy
(funkcję wejściową) f(x,y) na sygnał wyjściowy (funkcję wyjściową) g(x',y') - por. Rys. 1.
Może to być dowolnego typu urządzenie optyczne, elektroniczne lub t.p.
y
y'
x'
x
L
we
f(x,y)
wy
Układ
Rys. 1
g(x',y')
Transformujące działanie układu
Działanie tego układu jest opisane przez operator L. Funkcja wyjściowa g powstaje w wyniku
działania tego operatora na funkcję wejściową f. Funkcję f nazwiemy przedmiotem zaś g jego obrazem dawanym przez układ L.
g( x' , y' ) = L{ f ( x , y )}
(1)
Załóżmy, że nasz układ jest liniowy i stacjonarny. Warunek liniowości oznacza:
L{a ⋅ f a ( x , y ) + b ⋅ f b ( x , y )} = a ⋅ L{ f a ( x , y )} + b ⋅ L{ f b ( x , y )}
(2)
zaś warunek stacjonarności:
L{ f ( x − x 0 , y − y 0 )} = g ( x' − x' 0 , y' − y' 0 )
(3)
Dalsze rozważania poprowadzimy dla przypadku jednowymiarowego.
Testowanie układu punktem.
Dla zanalizowania jak działa dany układ przeprowadzimy jego testowane, czyli
zanalizujemy obraz dawany przez określony, testowy przedmiot. Niech sygnałem wejściowym
będzie dystrybucja delta Diraca δ(x). Jej obraz oznaczony h(x') nazywa się odpowiedzią
impulsową lub punktową funkcja rozmycia (PSF). Ta ostatnia nazwa stosowana jest w optyce
i oznacza, że funkcja h(x') opisuje po prostu obraz świecącego punktu.
L{δ( x )} = h( x' )
(4)
Warunek stacjonarności oznacza, że:
L{δ( x − x 0 )} = h( x' − x' 0 )
(5)
 M. Zając, 1997
Jeśli przedmiotem jest funkcja f(x) to wykorzystując próbkującą właściwość dystrybucji δ
można napisać:
f ( x ) = ∫ f ( ξ ) ⋅ δ( ξ − x )dξ
(6)
a więc (wykorzystując właściwość liniowości operatora L):
{
}
L{ f ( x )} = L ∫ f ( ξ ) ⋅ δ( ξ − x )dξ =
= ∫ f ( ξ ) ⋅ L{δ( ξ − x )}dξ =
(7)
= ∫ f ( ξ ) ⋅ h( ξ − x' ) ⋅dξ =
= f ( x' ) ⊗ h( x' )
Wynik ten można zinterpretować następująco: Obraz rozciągłego przedmiotu jest splotem
samego przedmiotu z punktową funkcją rozmycia (Rys. 2).
Rys. 2 Obraz jako splot przedmiotu z punktową funkcją rozmycia
Testowanie układu funkcją harmoniczną
Innym sposobem testowania jest użycie jako przedmiotu funkcji harmonicznej exp{iωx}.
Obrza takiej funkcji harmonicznej jest też funkcja harmoniczną o tej samej częstości
przestrzennej ω:
{
}
L{exp{ iωx }} = L ∫ exp{ iωξ } ⋅ δ( ξ − x ) ⋅ dξ =
= ∫ exp{ iωξ } ⋅ h( ξ − x' ) ⋅ dξ
po zamianie zmiennych
L{exp{ iωx }} = ∫ exp{ iω( x − ζ )} ⋅ h( ζ ) ⋅ dζ =
= exp{ iωx } ⋅ ∫ exp{ −iωζ } ⋅ h( ζ ) ⋅ dζ =
= exp{ iωx } ⋅ H ( ω )
gdzie H(ω) jest transformatą Fouriera punktowej funkcji rozmycia h(x).
 M. Zając, 1997
(8)
Dla wyjaśnienia sensu fizycznego formuły (8) przypuśćmy, że przedmiot jest kosinusoidą
opisaną funkcją:
f ( x ) = 1 + cos( ωx ) = 1 + 12 exp{ iωx } + 12 exp{ −iωx }
(9)
Ważną charakterystyką takiej funkcji jest kontrast który według Michelsona definiuje się jako:
ϑ=
I max − I min
I max + I min
(10)
Obrazem tego przedmiotu jest zatem:
g ( x ) = H ( 0 ) + 12 H ( ω ) exp{ iωx } + 12 H ( −ω ) exp{ −iωx }
(11)
jeśli założymy, że H(ω) = |H(ω)|exp{iϕH}, oraz |H(ω)|=|H(-ω)| to:
g( x ) = H ( 0 ) +
1
2
H ( ω ) [exp{ i( ωx + ϕ H )} + exp{ −i( ωx + ϕ H )}] =
= H ( 0 ) + H ( ω ) cos( ωx + ϕ H )
(12)
Oznacza to, że obrazem kosinusoidy jest kosinusoida o tej samej częstości ω, ale o
zmienionym kontraście i o przesuniętej fazie.
ϑ=
Imax − Imin
Imax + Imin
ϑ' =
I ' max − I ' min
≠ϑ
I ' max + I ' min
 M. Zając, 1997
(13)
Punktowa funkcja rozmycia optycznego układu odwzorowującego
Niech będzie układ optyczny jak na rysunku
Π2
Π1
Π3
R
to
d2
d3
Rys. Układ odwzorowujący
Zakładamy,. że spełniony jest warunek odwzorowania:
1
1
1
+
=
d 2 d3 f
(14)
Niech przedmiotem będzie punkt świecący umieszczony w punkcie P'1:
t 0 (P1 ) = δ(P1 − P1' )
(15)
Dyfrakcja od płaszczyzny Π1 do Π2 jest opisana przez całkę Fresnela
 ik

(P1 − P2 )1 dP1
U − (P2 ) = ∫ δ(P1 − P'1 ) exp 
(16)
 2d 2

W tej płaszczyźnie jest soczewka ograniczona przez swą źrenicę, a więc opisana funkcją
− ik 2 
t f (P2 ) = R(P2 ) exp 
P2 
2f

(17)
Następnie uwzględniamy dyfrakcję do płaszczyzny Π2. Rozkład amplitudy w tej płaszczyźnie
jest obrazem punktowego przedmiotu umieszczonego w płaszczyźnie Π1, a więc jest to
punktowa funkcja rozmycia
U (P3 ) = h(P1 , P3 )
(18)
 ik

 ik

ik 2 
(P1 − P2 )2  exp−
(P2 − P3 )2 dP1 dP2 =
h(P1 , P3 ) = ∫∫ δ(P1 − P©1 ) exp 
P2  R(P2 ) exp 

2f

 2d 2

 2d 3



 ik

− ik 2 
= ∫ R(P2 ) exp 
P2  exp 
(P1 − P2 )2  exp ik (P2 − P3 )2 dP2 =
 2f

 2d 2

 2d 3

2

 ik 2  1 1
 P1 P3  
1 
= ∫ R(P2 ) exp  P2  − +
+  exp − ikP2  +  dP2
2
f
d
d 3 
2


 d 2 d 3  

 M. Zając, 1997
(19)
ale, jak zakładaliśmy (16), płaszczyzna Π2 jest sprzężona optycznie z płaszczyzną Π1, a więc
eksponenta zawierająca P22 równa się jedności i ostatecznie punktowa funkcja rozmycia
wyraża się przez transformatę funkcji źrenicowej
 − ik
 P P 
h(P1 , P3 ) = ∫ R (P2 ) exp 
2 P2  1 + 3 dP2
 d 2 d 3 
 2
(20)
Jest to amplitudowa funkcja rozmycia.
Z postaci równaniea (20) widać, że przy naszych założeniach (paraksjalność) punktowa
d
funkcja rozmycia jest stacjonarna. Po zamianie zmiennych P' 3 = − P3 2 otrzymujemy
d3
bowiem:
 − 2πi

(21)
h(P1 − P3 ) = ∫ R(P2 ) exp 
P2 (P1 − P' 3 )dP2
 λd 2

Funkcja przenoszenia optycznego układu odwzorowującego
Przepiszmy jeszcze raz równanie (7) opisujące odwzorowanie dowolnego przedmiotu f(x)
przez układ scharakteryzowany punktową funkcją rozmycia h(x):
g ( x' ) = f ( x' ) ⊗ h( x' )
(22)
Jeśli wszystkie funkcie występujące w tym równaniu mają transformaty Fouriera
(odpowiednio G(ω), F(ω) oraz H(ω)) to zastosowanie przekształcenia Fouriera do obu stron
tego równania i wykorzystanie twierdzenia o splocie doprowadzi do następującej zależności:
F{g (x )} = F{ f ( x) ⊗ h( x)} =
= F{ f ( x)} ⋅ F{h( x)} =
G (ω ) =
(23)
= F (ω ) ⋅ H (ω )
Funkcja H(ω) nazywa się funkcją przenoszenia dla układu L. Oznacza ona (podobnie jak przy
testowaniu kosinusoidą), że układ przenosi każdą składową fourierowską przedmiotu mnożąc
ją przez pewną funkcję częstości przestrzennych zwaną funkcją przenoszenia.
W przypadku optycznego układu odwzorowującego należy rozważyć czy wielkości f i g
oznaczają amplitudę, czy natężenie światła. Zależy to od stanu koherencji promieniowania.
Jeżeli przyjąć, że punktowa funkcja rozmycia opisuje amplitudę promieniowania i
wszystkie punkty przedmiotu świecą w sposób skorelowany ze sobą (mają np. takie same fazy
początkowe) to rozkład amplitudy w wypadkowym obrazie jest splotem amplitudowej
punktowej funkcji rozmycia z rozkładem amplitudy w przedmiocie.
U (P3 ) = t0 (P1 )h(P1 − P3 )dP1
∫
(24)
Rozkład natężenia w obrazie jest kwadratem tego ostatniego wyrażenia.
 M. Zając, 1997
I (P3 ) = U (P3 )U * (P3 ) = ∫ t 0 (P'1 )h(P'1 − P3 )dP'1 ∫ t 0* (P"1 )h * (P"1 − P3 )dP"1 =
= ∫ ∫ t 0* (P"1 )t 0 (P'1 )h * (P"1 − P3 )h(P'1 − P3 )dP"1 dP"1
(25)
Taki przypadek odnosi się do oświetlenia koherentnego. Nie ma prostej, splotowej , relacji
2
między przedmiotem I 0 (P1 ) = t 0 (P1 ) a obrazem I (P3 ) . Nie można zatem, ściśle biorąc,
mówić o funkcji przenoszenia dla oświetlenia koherentnego a punktowa funkcja rozmycia ma
ograniczony sens.
Jeśli przyjąć, że przedmiot składa się z niezależnych od siebie punktów świecących to
każdy z takich punktów tworzy obraz nieskorelowany z obrazem drugiego punktu. Dopiero
natężenia tych obrazów dodają się tworząc obraz wypadkowy. Takie odwzorowanie będziemy
nazywali niekoherentnym (czyli odwzorowaniem w oświetleniu niekoherentnym). Ponieważ
poszczególne punkty przedmiotu są nieskorelowane ze sobą zatem
t 0 (P'1 )t 0* (P"1 ) = I 0 (P'1 )δ(P'1 − P"1 )
(26)
Po podstawieniu (26) do (25) otrzymamy
I (P3 ) = ∫ ∫ I 0 (P'1 )δ(P'1 − P"1 )h* (P"1 − P3 )h(P'1 − P3 )dP'1 dP"1 =
= ∫ I 0 (P"1 )h* (P"1 − P3 )h(P'1 − P3 )dP"1
(27)
Oznacza to, że niekoherentna, czyli natężeniowa punktowa funkcja rozmycia jest kwadratem
wyrażenia (21), czyli ma postać:
h (P ) = h (P )
=
2
 − 2πi

= ∫ R (P2 ) exp 
P2 P dP2
 λd 2

 − 2πi
∫ ∫ R(P' )exp  λd P'
2
2
=
2
=

 2πi
P R * (P" 2 ) exp 
P" 2
d
λ
2


 − 2πi
∫ ∫ R(P' )R (P" ) exp λd P(P'
*
2
2
2
2
2

P dP' 2 dP" 2 =

(28)

− P" 2 )dP' 2 dP" 2

Wtedy rozkład natężenia w obrazie jest splotem rozkładu natężenia w przedmiocie i
natężeniowej punktowej funkcji rozmycia.
I (P3 ) = ∫ I 0 (P"1 )h (P1 − P3 )dP"1
(29)
zależność między obrazem a przedmiotem ma charakter splotu, a więc można mówić o
funkcji przenoszenia. Po transformacji Fouriera obu stron równania (29) otrzymujemy
I (ω ) = H(ω )I 0 (ω )
(30)
gdzie ω = P3 λd 2 , zaś natężeniowa funkcja przenoszenia jest transformatą Fouriera
natężęniowej punktowej funkcji rozmycia.
 M. Zając, 1997
H(ω) = ∫ h (P ) exp{− 2πiPω}dP
(31)
Uwzględniając (28) mamy
 − 2πi

H(ω) = ∫ ∫ ∫ R(P' 2 )R* (P" 2 ) exp 
P(P' 2 − P" 2 )dP' 2 dP" 2 exp{− 2πiPω}dP =
 λd 2


 P' − P" 2

= ∫ ∫ R(P' 2 )R* (P" 2 )∫ exp − 2πiP 2
+ ω dPdP' 2 dP" 2 =
 λd 2


 P' − P" 2

= ∫ ∫ R(P' 2 )R* (P" 2 )δ 2
+ ω dP' 2 dP" 2 =
 λd 2

≈ ∫ R(P' 2 )R * (P" 2 −λd 2 ω)dP' 2 =
ωλ d 2  * 
ωλ d 2 

= ∫ R P +
R  P −
dP
2  
2 

(32)
Funkcja przenoszenia dla układu niekoherentnego jest autosplotem funkcji źrenicowej.
 M. Zając, 1997
OPTYCZNA FUNKCJA PRZENOSZENIA
BEZABERRACYJNA FUNKCJA ŹRENICOWA
1 dla
P0 ( x , y ) = 
0 dla
( x, y )∈ Σ
( x, y )∉ Σ
UOGÓLNIONA (ABERRACYJNA) FUNKCJA ŹRENICOWA (z apodyzacją)
PW ( x , y ) = P0 ( x , y ) ⋅ Π ( x , y ) ⋅ exp{ikW ( x , y )}
PUNKTOWA FUNKCJA ROZMYCIA (PSF) (przy założeniu stacjonarności)
AMPLITUDOWA
 − ik
[ζ ( x − x') + η ( y − y')]dζdη
h( x − x' , y − y') = ∫∫ PW (ζ ,η )exp
 z

NATĘŻENIOWA
h( x − x' , y − y')
2
FUNKCJA PRZENOSZENIA
KOHERENTNA (OPTYCZNA FUNKCJA PRZENOSZENIA - OTF)
(
H (ω x , ω y ) = P − λzω x ,− λ zω y
)
NIEKOHERENTNA (FUNKCJA PRZENOSZENIA KONTRASTU / MODULACJI MTF/FPK)
(
H ω x ,ω y
)
λ zω y  ∗ 
λ zω y

λ zω x
λ zω x



−
⋅
+
+
P
,
P
,
ζ
η
ζ
η
−
∫∫ 

2
2 
2
2

=
2
∫∫ P (ζ ,η ) dζ dη
WŁAŚCIWOŚCI MTF
H(0,0 ) = 1
(
H(ω
)
(
H − ω x ,−ω y = H∗ ω x , ω y
x
)
)
, ω y ≤ H(0,0 )
nierówność Schwartza:
∫∫ f ⋅ g dx dy
2
≤ ∫∫ f dx dy ⋅ ∫∫ g dx dy
2
 M. Zając, 1997
2

dζ dη
