Pobierz PDF

Ściąga eksperta
Wokół trójkąta równobocznego
Trójkąt równoboczny o boku długości a; wysokość oznaczmy literą h; jej długość obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:
h2 + (a/2)2 = a2
h2 + a²/4 = a2
h2 = a2 - a²/4
h2 = 3a²/4
h = a ∙ √3/2
Długości wysokości trójkąta równobocznego o boku długości a > 0 jest równa:
h = a∙√3/2
Możemy policzyć zatem pole rozważanego trójkąta:
P = 1/2 ∙ a ∙ h = 1/2 ∙ a ∙ a∙√3/2 = a²∙√3/4
w każdy trójkąt równoboczny możemy wpisać okrąg
na każdym trójkącie równobocznym możemy opisać okrąg
środek okręgu opisanego na trójkącie to punkt przecięcia się symetralnych boków
środek okręgu wpisanego w dowolny trójkąt to punkt przecięcia dwusiecznych kątów
w trójkącie równobocznym symetralne boków, dwusieczne katów, jak i wysokości przecinają się w jednym punkcie
punkt przecięcia wysokości stanowi zarówno środek okręgu opisanego na tym trójkącie, jak i środek okręgu wpisanego w ten trójkąt
punkt ten dzieli każdą wysokość trójkąta w stosunku 2 : 1
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Strona 1/8
Ściąga eksperta
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Strona 2/8
Ściąga eksperta
wysokość została podzielona na trzy równe części, dwie z tych trzech części tworzą długość promienia okręgu opisanego na tym
trójkącie: R = 2/3 ∙ h = 2/3 ∙ a∙√3/2 = a∙√3/3
jedna z tych trzech części to długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt:
r = 1/3 ∙ h = 1/3 ∙ a∙√3/2 = a∙√3/6
Zadanie 1.
Uzupełnij tabelę:
w wierszu oznaczonym liczbą porządkową 1 tej tabeli podana jest długość boku trójkąta równobocznego równa 10 cm. Z przytoczonych
wzorów mogę obliczyć:
h = a√3/2 = 10√3/2 = 5√3cm
1. wysokość
2. długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku a = 10 cm:
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
R = 2/3 ∙ h = 2/3 ∙ 5√3 = 10√3/3
Strona 3/8
Ściąga eksperta
cm
3. długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a=10 cm
r = 1/3 ∙ h = 1/3 ∙ 5√3 = 5√3/3 cm
4. pole trójkąta równobocznego:
P = a²∙√3/4 = 10²√3/4 = 25√3 cm2
Rozwiązanie:
możemy uzupełnić pierwszy wiersz tabeli:
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Strona 4/8
Ściąga eksperta
w drugim wierszu tabeli znamy długość wysokości trójkąta równobocznego równej 9√3; powiedzieliśmy, że musimy tą wysokość
dzielić na trzy równe części
stąd:
(9√3 : 3 = 3√3) i dwie z tych trzech części to długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie
R = 2 ∙ 3√3 = 6√3, natomiast długość promienia okręgu wpisanego to r = 3√3
ponieważ dana jest wysokość
h = 9√3, to ze wzoru h=a√3/2 obliczymy długość boku:
9√3 = a√3/2
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Strona 5/8
Ściąga eksperta
18√3 = a√3
a = 18
pole:
P = a²∙√3/4 = 18²√3/4 = 81√3
drugi wiersz tabeli przedstawia się następująco:
długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym równa 4 dm
długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt wynosi 2 dm (dwa razy mniejsza od promienia okręgu opisanego)
wysokość jest sumą długości promieni stąd h = 6 dm
h=a√3/2 = 6, obliczymy długość boku: rozwiązując równanie a√3 = 12 ⇒ a = 12/√3 = 12√3/3 = 4√3 dm
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Strona 6/8
Ściąga eksperta
pole tego trójkąta równobocznego: P = a²∙√3/4 = (4√3)² ∙√3/4 = 12√3 dm2
w czwartym wierszu tabeli mieliśmy podaną tym razem długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny, równą 5√2; długość
promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest dwa razy dłuższa, czyli wynosi 10√2; wysokość jest sumą długości tych promieni:
h = R + r = 10√2 + 5√2 = 15√2
obliczamy długość boku:
h = a√3/2 = 15√2 ⇒ a√3 = 30√2 ⇒ a = 30√2/√3 = 10√6
P = a² ∙√3/4 = (10√6)²∙√3/4 = 150√3
w ostatnim wierszu podane mamy pole trójkąta równobocznego - równe 4√3, więc rozwiązując równanie
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
a²∙√3/4 = 4√3
Strona 7/8
Ściąga eksperta
obliczamy długość a - długosc boku:
a² ∙√3/4 = 4√3 ⇒ a2 = 16 ⇒ a = 4
h = a√3/2 = 4√3/2 = 2√3
R = 2/3 ∙ h = 2/3 ∙2√3 = 4√3/3
r = 1/3 ∙ h = 1/3 ∙2√3 = 2√3/3
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
Strona 8/8