Edudu.pl - Okrąg opisany na wielokącie (trójkąt)

Ściąga eksperta
Okrąg opisany na wielokącie (trójkąt)
Ten okrąg po lewej stronie jest opisany na pięciokącie, natomiast okrąg po prawej nie jest opisany na czworokącie (jeden z jego wierzchołków
nie leży na okręgu).
Na tym przykładzie łatwo stwierdzić kiedy możesz powiedzieć, że okrąg jest opisany na wielokącie. Oto inne przykłady okręgów opisanych na
wielokątach:
Jeśli figura jest wpisana w okrąg, to okrąg jest opisany na tej figurze.
Środek okręgu jest równo oddalony od wierzchołków figury wpisanej w ten okrąg.
Z lekcji o symetralnej wiadomo, że zbiór punktów równo odległych od 2 punktów np A i B to symetralna odcinka AB. Więc środek okręgu
opisanego na wielokącie można znaleźć rysując symetralne boków tego wielokąta.
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Strona 1/6
Ściąga eksperta
Wnioskując: wielokąt można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy symetralne jego boków przetną się w jednym punkcie.
Z właściwości trójkąta wynika, że symetralne boków trójkąta przecinają się zawsze w tym samym miejscu, więc na każdym trójkącie można
opisać okrąg.
Konstrukcja okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym.
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Strona 2/6
Ściąga eksperta
Wiadomo, że symetralne boków trójkąta przecinają się w 1 miejscu. Wystarczy więc, skonstruować 2
symetralne. Najpierw tworzymy symetralną boku AB.
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Strona 3/6
Ściąga eksperta
Następnie boku BC.
Punkt przecięcia symetralnych jest środkiem okręgu.
Stawiamy w nim nóżkę cyrkla i odmierzamy odległość do najbliższego wierzchołka. Następnie rysujemy okrąg.
Podobnie konstrujemy każdy okrąg opisany na wielokącie. Jeśli jednak nie jesteśmy pewni czy taki okrąg da się skonstruować, należy
narysować symetralne wszystkich boków. Jeśli przetną się w 1 punkcie, śmiało możemy rysować okrąg. Można to zrobić dla każdego trójkąta,
prostokąta oraz wielokąta foremnego.
Dla trójkąta prostokątnego.
Trójkąt oparty na średnicy okręgu jest prostokątny.
Aby więc skonstruować okrąg opisany na trójkącie prostokątnym wystarczy znaleźć środek najdłuższego boku. Będzie to środek okręgu a
połowa najdłuższego boku to promień okręgu.
Dla trójkąta rozwartokątnego wykonujemy konstrukcję jak dla ostrokątnego tylko środek okręgu leży poza trójkątem.
Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy 2/3 wysokości tego trójkąta. oznaczenia:
a – bok trójkąta
h – wysokość trójkąta
R – promień okręgu opisanego na trójkącie
W trójkącie równobocznym zachodzi następujący wzór:
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Strona 4/6
Ściąga eksperta
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Strona 5/6
Ściąga eksperta
(wzór ten można uzasadnić stosując np. twierdzenie Pitagorasa)
WŁASNOŚĆ: Wysokości w trójkącie równobocznym przecinają się w punkcie, który dzieli je w stosunku 2:1.
R=2/3 h czyli ostatecznie R równa się
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
Strona 6/6