Zestawy zadań dla uczniów zdających maturę z matematyki

Zestawy zadań dla uczniów zdających maturę z matematyki-poziom podstawowy
STEREOMETRIA
1. Jedna ze ścian prostopadłościanu ma wymiary 4 cm i 6 cm, a pole powierzchni
całkowitej tego prostopadłościanu jest równe 108 cm2. Oblicz objętość tego
prostopadłościanu.
2. Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat. Oblicz długość boku tego kwadratu
wiedząc, że krawędź boczna prostopadłościanu ma długość 4 cm, a objętość jest
równa 100 cm3.
3. Z prostokątnego kartonu o wymiarach 8 cm i 15 cm odcięto w czterech rogach
1
kwadraty o boku 2 cm. Z pozostałej części kartonu sklejono otwarte pudełko.
2
Oblicz jego objętość.
4. Długości krawędzi prostopadłościanu są do siebie w stosunku 2:3:4. Przekątna
prostopadłościanu ma długość 116 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego
prostopadłościanu.
5. Pole powierzchni sześcianu wynosi 72 cm2. Oblicz długość przekątnej i objętość
sześcianu.
6. Oblicz pole powierzchni i objętość sześcianu o przekątnej długości 4 cm.
7. Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe
160 cm2, a jego objętość 320 cm3. Oblicz długość krawędzi podstawy i krawędzi
bocznej tego graniastosłupa.
8. Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o przekątnej podstawy
długości 5 2 cm wiedząc, że pole jego powierzchni całkowitej wynosi 276 cm3.
9. Krawędzie podstawy prostopadłościanu mają długości 2 cm i 4 cm, a jego krawędź
boczna ma długość 8 cm. Oblicz długość przekątnej prostopadłościanu.
10. Długość przekątnej sześcianu jest o 1 cm większa od długości jego krawędzi. Oblicz
pole powierzchni i objętość tego sześcianu.
11. Długość przekątnej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest o 8 cm większa
od długości przekątnej podstawy, a o 3 cm większa od długości jego krawędzi
bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
12. Oblicz objętość graniastosłupa prostego, którego podstawą jest romb o przekątnych
długości 2cm i 4 cm i którego wysokość jest trzy razy dłuższa od boku rombu.
13. Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego, którego podstawą jest
romb o przekątnych długości 6 cm i 8 cm, a przekątna ściany bocznej ma długość
11 cm.
14. Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 3
cm, a jego pole powierzchni bocznej 27 cm2. Oblicz objętość graniastosłupa.
15. Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny ABC, w którym
AC = BC = 20cm, AB = 14cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa,
jeśli jego krawędź boczna ma długość 26 cm.
16. Wysokość podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 3 3 cm.
Oblicz objętość tego graniastosłupa wiedząc, że krawędź boczna jest trzykrotnie
dłuższa od krawędzi podstawy tego graniastosłupa.
17. Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o boku długości 3 cm. Przekątna
prostopadłościanu tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt 60o. Oblicz objętość
prostopadłościanu.
18. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna ściany bocznej ma długość
4 cm i tworzy z przekątną podstawy poprowadzoną z tego samego wierzchołka kąt o
mierze 60o. Wyznacz objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.
Opracowała: Iwona Kowalik
1
Zestawy zadań dla uczniów zdających maturę z matematyki-poziom podstawowy
19. Jedna z krawędzi podstawy prostopadłościanu ma długość 5 cm. Przekątna
prostopadłościanu o długości 6 cm tworzy z krawędzią boczną kat o mierze 30o.
Oblicz objętość prostopadłościanu.
20. W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma 5 dm. Przekątna
ściany bocznej tworzy z sąsiednią ścianą boczną kąt 60o. Oblicz objętość i pole
powierzchni całkowitej graniastosłupa.
21. W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym przekątna ściany bocznej ma długość
2 cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30o. Oblicz pole
powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa.
22. W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym krawędź podstawy ma długość 2 cm,
a krawędź boczna 5 cm. Oblicz objętość graniastosłupa.
23. Każda krawędź ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 4 cm. Oblicz
objętość i pole powierzchni bocznej ostrosłupa.
24. W czworościanie foremnym wszystkie krawędzie mają długość 5 cm. Oblicz pole
powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa.
25. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość 4 cm,
a krawędź boczna ma długość 3 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość
ostrosłupa.
26. Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe
544 cm2, a pole powierzchni całkowitej 800 cm2. Oblicz objętość ostrosłupa.
27. Wszystkie krawędzie ostrosłupa prawidłowego trójkątnego mają tę samą długość,
a pole powierzchni całkowitej ostrosłupa równa się 4 3 cm2. Oblicz objętość
ostrosłupa.
28. Ostrosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzną zawierającą wysokość
i krawędź boczną ostrosłupa. Przekrojem jest trójkąt równoboczny o polu 8 3 cm2.
Oblicz objętość ostrosłupa.
29. Oblicz objętość ostrosłupa, którego podstawą jest trójkąt równoboczny o boku 6 cm,
a jedna ze ścian bocznych jest przystającym do podstawy trójkątem i jest do niej
prostopadła.
30. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędzie boczne długości 4 dm są
nachylone do podstawy pod katem 60o. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego
ostrosłupa.
31. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego,
którego krawędź podstawy ma długość 2 cm, a ściana boczna jest nachylona do
płaszczyzny podstawy pod katem 60o.
32. Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego, którego krawędź podstawy
ma długość 3 cm, a krawędź boczna wynosi 6 cm.
33. Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest nachylona do
płaszczyzny podstawy pod katem 60o, a krawędź podstawy ma długość 4 cm. Oblicz
pole powierzchni bocznej i objętość ostrosłupa.
34. Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego mając dane: pole powierzchni
bocznej 30 cm2 i długość krawędzi podstawy 4 cm.
35. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy ma długość 4 2 cm.
Kat płaski ściany bocznej przy wierzchołku ma miarę 60o. Oblicz objętość tego
ostrosłupa.
36. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kat pomiędzy ścianą boczną i płaszczyzną
podstawy ma miarę α . Oblicz objętość ostrosłupa, wiedząc, że krawędź jego
podstawy ma długość a.
Opracowała: Iwona Kowalik
2
Zestawy zadań dla uczniów zdających maturę z matematyki-poziom podstawowy
37. Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest dwa razy dłuższa od
krawędzi jego podstawy równej a . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
38. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o wysokości 6 cm ściany boczne są nachylone
do płaszczyzny podstawy pod kątem 60o. Oblicz objętość i pole powierzchni
całkowitej ostrosłupa.
39. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędzie boczne mają
długość b. Kąt płaski ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę 2α .
Oblicz objętość ostrosłupa.
40. Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi 36 3 cm2. Wysokość
ostrosłupa jest dwukrotnie dłuższa od wysokości jego podstawy. Oblicz objętość tego
ostrosłupa.
41. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej walca, którego przekrój osiowy jest
prostokątem o polu 48 i przekątnej długości 10.
42. Rozwinięcie powierzchni bocznej walca jest prostokątem o przekątnej długości d.
Przekątna ta tworzy z podstawą prostokąta kąt 30o. Oblicz objętość i pole
powierzchni całkowitej walca.
43. Promień podstawy walca jest równy 3 cm, a przekątna jego przekroju osiowego
tworzy z podstawą walca kąt o mierze 30o. Oblicz pole powierzchni całkowitej
i objętość walca.
44. Powierzchnia boczna walca po rozcięciu jest kwadratem o boku 5 cm. Oblicz pole
powierzchni całkowitej i objętość walca.
45. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość walca wpisanego w sześcian o krawędzi
długości a.
46. Z kawałka metalu w kształcie graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego
o krawędzi podstawy a wytoczono wałek o możliwie największej średnicy. Jaki
procent materiału wykorzystano by otrzymać ten wałek?
47. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej stożka, którego promień podstawy ma
długość 4 cm, a tworząca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30o.
48. Oblicz objętość stożka, którego przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym o boku
6 cm.
49. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej stożka, którego podstawa ma pole
24π cm2, a wysokość jest dwukrotnością średnicy podstawy.
50. Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka o tworzącej długości 5 cm i promieniu
podstawy 2 cm.
51. Tworząca stożka o długości l jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α .
Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość stożka.
52. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej stożka o wysokości długości h, jeśli kąt
rozwarcia w wierzchołku przekroju osiowego stożka ma miarę 2α .
53. Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 12 cm i 16 cm obraca się wokół
przeciwprostokątnej. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej powstałej bryły.
54. Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 cm i 4 cm obraca się wokół jednej
z przyprostokątnych. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej powstałej bryły.
Rozważ obie możliwości.
55. Trójkąt prostokątny, którego kat ostry ma miarę 60o, obraca się wokół prostej
zawierającej przyprostokątną długości 21 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej
i objętość otrzymanej bryły.
56. Rozwinięta pobocznica stożka jest wycinkiem koła o promieniu R i kącie środkowym
o mierze łukowej α . Oblicz objętość stożka.
57. Oblicz stosunek objętości kuli wpisanej w sześcian do objętości tego sześcianu.
Opracowała: Iwona Kowalik
3
Zestawy zadań dla uczniów zdających maturę z matematyki-poziom podstawowy
58. O ile zwiększyłaby się objętość i pole powierzchni całkowitej Ziemi, gdyby długość
równika zwiększyła się o 1 m. Przyjmij, że Ziemia jest kulą a równik ma długość
40 000 km.
59. Metalową kulę o promieniu 6 cm przetopiono na stożek, którego pole powierzchni
bocznej jest trzy razy większe od jego pola podstawy. Wyznacz długość wysokości
i promień stożka.
60. Na sześcianie o krawędzi długości 5 cm opisano kulę w ten sposób, że wierzchołki
sześcianu należą do powierzchni kuli. Oblicz objętość kuli.
Opracowała: Iwona Kowalik
4