23. Podstawowe wzory kombinatoryczne
Transkrypt
23. Podstawowe wzory kombinatoryczne
23. Podstawowe wzory kombinatoryczne Z={z1, ..., zn} - dowolny zbiór elementowy Def. Permutacją zbioru n-elementowego Z nazywamy ciąg długości n różnowartościowy złożony z elementów zbioru Z. Inaczej permutację możemy utożsamić z funkcjami różnowartościowymi f:{1,...,n} → Z Tw. Jeżeli Pn oznacza liczbę permutacji zbioru n-elementowego Z, to Pn=n! Tw. (o mnożeniu) Jeżeli ̿i oznacza liczbę elementów w zbiorze Ai oraz ̿1=n1 < ̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿ k= n1 ... nk , ̿2=n2 < ,..., ̿k=nk< , to Def. Wariancją bez powtórzeń nazywamy każdy ciąg elementowy (k n) różnowartościowy elementów ze zbioru n-elementowego Z. Inaczej wariancję k-elementową możemy utożsamić z funkcjami różnowartościowymi f:{1,...,k} → Z Tw. Jeżeli =( oznaczymy liczbę wariancji k-elementową (k n) ze zbioru n-el. Z , to ) Przykład: 1) Mamy 10 książek i 10 miejsc na półce. Na ile sposobów możemy ustawić książki? P10=10! 2) Mamy 10 książek i półkę na 5 książek. Na ile sposobów możemy wybrać i ustawić książki na półce? =( ) = =10 9 8 7 6 Def. Wariancją z powtórzeniami k-el. ze zbioru n-el. Z nazywamy każdy ciąg k-el ze zbioru n-el. Z. Inaczej wariancję z powtórzeniami możemy utożsamić z funkcją f:{1,...,k} → Z Tw. Jeżeli liczbę wariancji z powtórzeniami k-el. ze zbioru n-el. Z oznaczamy =nk , to Przykład: 1) W sklepie jest do wyboru 5 tabletów. Kupuje je kolejno 10 klientów. Na ile sposobów możemy to zrobić? = 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5=510 Def. Kombinacją k-elementową (k n) ze zbioru n-elementowego nazywamy dowolny podzbiór k-el. ze zbioru n-el. Z. Tw. Jeżeli liczbę kombinacji k-el. (k n) ze zbioru n-el. Z oznaczymy = ( )= ( ,to ) Przykład: Biblioteka zawiera 10 książek, jadąc na wakacje chcemy zabrać 5 spośród nich. Na ile sposobów możemy to zrobić? = ( )== ( = ) = MODEL BOSEGO-EINSTEINA (fotony) Rozważmy na ile sposobów możemy rozmieścić n-identycznych przedmiotów w k-szufladach Przykład: 1) Mamy 5 delicji i 4 dzieci. Na ile sposobów możemy podzielić delicje? Rozważając k-szuflad wystarczy obserwować (k-1) przegródek między nimi. Identyczne przedmioty utożsamię z zerami, a przegródki z jedynkami. Mamy ciągi 0-1 długości n+(k-1) złożone z n- zer i (k-1) jedynek, jest ich: ( ) ( ) =( ) Tak więc n-identycznych przedmiotów w k-szufladach możemy rozmieścić na ( rozróżnialnych sposobów. {(x1, ...,xk): ∑ i=n , 0≤ xi ≤n } 2) Na ile sposobów 10 delicji rozdzielimy na czworo dzieci? n=10, k=4 Ω={(x1,x2,x3,x4) : 0≤ xi ≤10 ; ∑ ( ( ) )= ( )= i=10 } )