Wprowadzenie

Wprowadzenie
B¦dziemy rozwa»a¢ speªnialno±¢ formuª GF2 rozszerzonych o aksjomaty
równowa»no±ci postaci equiv (E1 , . . . , Ek ), przy dodatkowym zaªo»eniu, »e
symbole E1 , . . . Ek mog¡ by¢ u»ywane jedynie w stra»nikach.
Uzyskany wariant oznaczamy jako GF2 +EG (equivalnece guards).
Uwaga: dopuszczenie dowolnego u»ycia relacji równowa»no±ci (poza
stra»nikami) prowadzi do nierozstrzygalno±ci.
Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG
1 / 11
GF2+EG: brak wªasno±ci modelu sko«czonego
Twierdzenie 1
Istnieje formuªa GF2 z symbolami binarnymi E1 , E2 u»ywanymi jedynie w
stra»nikach, która jest speªnialna w modelach interpretuj¡cych E1 i E2 jako relacje
równowa»no±ci, ale ka»dy taki model jest niesko«czony.
∃x (Px ∧ Sx)
∀x (Px → ∃y (E1 xy ∧ x 6= y ∧ Qy ))
∀x (Qx → ∃y (E2 xy ∧ x 6= y ∧ Py ))
∀xy (E1 xy → ((Px ∧ Py ) → x = y ))
∀xy (E2 xy → ((Qx ∧ Qy ) → x = y ))
∀x (Sx → ¬∃y (E2 xy ∧ x 6= y ))
Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG
2 / 11
GF2+EG: brak wªasno±ci modelu sko«czonego
Twierdzenie 1
Istnieje formuªa GF2 z symbolami binarnymi E1 , E2 u»ywanymi jedynie w
stra»nikach, która jest speªnialna w modelach interpretuj¡cych E1 i E2 jako relacje
równowa»no±ci, ale ka»dy taki model jest niesko«czony.
∃x (Px ∧ Sx)
∀x (Px → ∃y (E1 xy ∧ x 6= y ∧ Qy ))
∀x (Qx → ∃y (E2 xy ∧ x 6= y ∧ Py ))
∀xy (E1 xy → ((Px ∧ Py ) → x = y ))
∀xy (E2 xy → ((Qx ∧ Qy ) → x = y ))
∀x (Sx → ¬∃y (E2 xy ∧ x 6= y ))
Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG
2 / 11
Posta¢ normalna dla GF2+EG
∃x (α(x) ∧ ψ(x))
∀xy (Ri xy → ψ(x, y ))
∀xy (Ei xy → ψ(x, y ))
∀x (α(x) → ∃y (Ei xy ∧ ψ(x, y )))
∀x (α(x) → ∃y (Ri xy ∧ ψ(x, y )))
∀x (α(x) → ∃y (Ri yx ∧ ψ(x, y )))
gdzie
u»ywamy jedynie symboli binarnych i unarnych
α(x) jest atomowa (by¢ mo»e postaci x = x ),
Ei to relacje, które maj¡ by¢ interpretowane jako równowa»no±ci,
Ri to relacje binarne, które nie musz¡ by¢ równowa»no±ciami
Ei nie wyst¦puj¡ w formuªach ψ(x, y ).
Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG
3 / 11
Posta¢ normalna dla GF2+EG
∃x (α(x) ∧ ψ(x))
∀xy (Ri xy → ψ(x, y ))
∀xy (Ei xy → ψ(x, y ))
∀x (α(x) → ∃y (Ei xy ∧ ψ(x, y )))
∀x (α(x) → ∃y (Ri xy ∧ ψ(x, y )))
∀x (α(x) → ∃y (Ri yx ∧ ψ(x, y )))
gdzie
u»ywamy jedynie symboli binarnych i unarnych
α(x) jest atomowa (by¢ mo»e postaci x = x ),
Ei to relacje, które maj¡ by¢ interpretowane jako równowa»no±ci,
Ri to relacje binarne, które nie musz¡ by¢ równowa»no±ciami
Ei nie wyst¦puj¡ w formuªach ψ(x, y ).
Dla uproszczenia zaªo»ymy, »e dwie ostatnie postacie koniunktów nie
wyst¦puj¡ (ich dodanie b¦dzie ¢wiczeniem).
Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG
3 / 11
GF2+EG: zwi¡zek z FO2
Speªnialno±¢ FO2 w postaci normalnej mo»na ªatwo zredukowa¢ do GF2 +EG
∀xy ϕ(x, y ) ∧
m
^
∀x∃y ϕi (x, y )
i=1
⇓
∀xy (E1 xy → ϕ(x, y )) ∧
m
^
∀x((x = x) → ∃y (E1 xy ∧ ϕi (x, y ))).
i=1
Wniosek 2
Speªnialno±¢ GF2 +EG jest NExpTime-trudna
Relacje równowa»no±ci w modelach GF2 +EG zachowuj¡ si¦ (przynajmniej z
lokalnego punktu widzenia pó¹niej zobaczymy co to dokªadnie znaczy)
podobnie do caªych modeli dla FO2 .
Przypomnijmy, »e FO2 ma wªasno±c modelu wykªadniczego.
Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG
4 / 11
Speªnialno±¢ GF2+EG: plan
Poka»emy, »e ka»da formuªa speªnialna ma ªadny, regularny model
(zazwyczaj nieko«czony), w postaci kobierca kwiatowego:
Niech ϕ b¦dzie formuª¡ w postaci normalnej, a A jej modelem.
Dla ka»dego 1-typu t z A budujemy kwiat t (struktur¦ wielko±ci wykªadniczej)
Z kwiatów poszczególnych typów budejemy caªy kobierzec kwiatowy, b¦d¡cy
równie» modelem ϕ.
Dowodzimy, »e sprawdzanie istnienia modeli w postaci kobierców kwiatowych
mo»e by¢ przeprowadzone w NExpTime
Dla formuªy ϕ w postaci normalnej przez ϕEi oznaczymy formuª¦ powstaª¡ z
ϕ poprzez usuni¦cie koniunktów:
zaczynaj¡cych si¦ kwantykatorem ∃
u»ywaj¡cych jako relacji stra»ników Ej dla j 6= i
Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG
5 / 11
Speªnialno±¢ GF2+EG: kwiaty
Dla ka»dego typu t zrealizowanego w A ustalmy jego realizacj¦ at
Dla ka»dej relacji Ei :
Niech B b¦dzie podsturuktur¡ A obci¦t¡ do klasy abstrakcji elementu at ,
wzgl¦dem Ei
Niech B0 b¦dzie struktur¡ uzyskan¡ z B poprzez usuni¦cie z niej wszystkich
poª¡cze« równowa»no±ciowych oprócz Ei
Niech B00 b¦dzie struktur¡ uzyskan¡ z B0 za pomoc¡ konstrukcji
wykªadniczego modelu dla FO2 dla formuªy ϕEi .
B00 nazwiemy Ei -pªatkiem dla typu t .
Niech kwiat dla typu t b¦dzie struktur¡ skª¡daj¡c¡ si¦ z Ei -pªatków dla typu t
(i = 1, 2, . . . , k ). Pªatki przecinaj¡ si¦ w elemencie typu t (element centralny
kwiatu), ale poza tym elementem s¡ parami rozª¡czne.
Obserwacja: kwiat dla typu t jest struktur¡ speªniaj¡c¡ wszystkie koniunkty
typu ∀∀, w którym element centralny ma wszystkich potrzebnych swiadków,
a ka»dy element ma wszystkich potrzebnych ±wiadków w pªatku, do którego
nale»y.
Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG
6 / 11
Speªnialno±¢ GF2+EG: kobierzec kwiatowy
Niech t1 , . . . , tl b¦dzie list¡ typów zrealizowanych w A.
Dla ka»dego z nich budujemy kwiat dla ti (wzorcowy)
Budujemy A0 w postaci kobierca kwiatowego:
Poziom 0: Wstawiamy kwiaty wzorcowe dla ka»dego typu ti do A0
Iteracyjnie, poziom i : dla ka»dego elementu z poziomu i − 1, który nie jest
centralny w kwiecie (a wi¦c nale»y tylko do pojedynczego pªatka)
dobudowujemy mu pozostaªe pªatki zgodnie z kwiatem wzorcowym.
Po przeliczalnej liczbie kroków uzyskujemy model w postaci kobierca
kwiatowego.
Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG
7 / 11
Speªnialno±¢ GF2+EG: zªo»ono±¢
Twierdzenie 3
Problem speªnialno±ci dla GF2 +EG jest NExpTime-zupeªny.
Dowód: Algorytm (wej±ciem jest formuªa ϕ w postaci normalnej):
zgadnij zestaw typów realizowanych w modelu, zapewniaj¡cy speªnienie
wszystkich koniunków zaczynaj¡cych si¦ od ∃
dla ka»dego typu zgadnij jego kwiat
sprawd¹, czy kwiaty zapewniaj¡ odpowiednich ±wiadków, s¡ zgodne z
formuªami ∀∀ i czy u»ywaj¡ tylko zgadni¦tych 1-typów
Algorytm dziaªa oczywi±cie w niedeterministycznym czasie wykªadniczym. Granic¦
doln¡ pokazali±my wcze±niej (redukcja z FO2 ).
Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG
8 / 11
GF2+EG: du»e modele sko«czone
Dowodz¡c rozstrzygalno±ci GF2 +EG w klasie wszystkich modeli bardzo
wygodne okazaªo si¦, »e zawsze mo»emy budowa¢ klasy abstrakcji
ograniczone wykªadniczo.
Niestety, w przypadku speªnialno±ci sko«czonej nie b¦dziemy mogli tak robi¢:
poka»emy jak zbudowa¢ formuª¦ δn , dªugo±ci liniowej wzgl¦dem n, z relacjami
E1 , E2 , której ka»dy model sko«czony ma klas¦ abstrakcji (wzgl¦dem relacji
n
E2 ) wielko±ci co najmniej 22 .
δn kodowa¢ b¦dzie drzewo binarne gª¦boko±ci 2n . Predykaty P0 , . . . , Pn−1
koduj¡ poziom w drzewie. Przypominamy, »e potramy napisa¢ formuª¦ bez
kwantykatorów, która mówi, »e element y jest na poziomie o jeden ni»szym
ni» x .
Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG
9 / 11
GF2+EG: du»e modele sko«czone
predykaty P0 , P1 , . . . Pn−1 koduj¡ poziom elementu
ka»dy element ma dwóch ±wiatków poni»ej: jednego w L, drugiego poza L.
ka»dy element ±wiadczy najwy»ej jednemu: ró»ne elementy z poziomu
parzystego (nieparzystego, oprócz ostatniego) nie mog¡ by¢ poª¡czone przez
E1 (E2 )).
Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG
10 / 11
GF2+EG: du»e modele sko«czone
predykaty P0 , P1 , . . . Pn−1 koduj¡ poziom elementu
ka»dy element ma dwóch ±wiatków poni»ej: jednego w L, drugiego poza L.
ka»dy element ±wiadczy najwy»ej jednemu: ró»ne elementy z poziomu
parzystego (nieparzystego, oprócz ostatniego) nie mog¡ by¢ poª¡czone przez
E1 (E2 )).
n
Mamy zatem 22 li±ci. ›¡damy, aby ka»dy byª poª¡czony z korzeniem przez
E2 .
Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG
10 / 11
GF2+EG: du»e modele sko«czone, cd.
W GF2 nie jeste±my w stanie powiedzie¢, »e jest tylko jeden korze«
n
Mo»emy wi¦c mie¢ te» takie modele δn (1 korze« / 22 li±ci):
Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG
11 / 11
Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG
11 / 11