Wprowadzenie
Transkrypt
Wprowadzenie
Wprowadzenie B¦dziemy rozwa»a¢ speªnialno±¢ formuª GF2 rozszerzonych o aksjomaty równowa»no±ci postaci equiv (E1 , . . . , Ek ), przy dodatkowym zaªo»eniu, »e symbole E1 , . . . Ek mog¡ by¢ u»ywane jedynie w stra»nikach. Uzyskany wariant oznaczamy jako GF2 +EG (equivalnece guards). Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG 1 / 14 GF2 +EG: brak wªasno±ci modelu sko«czonego Twierdzenie 1 Istnieje formuªa FO2 z symbolami binarnymi E1 , E2 , która jest speªnialna w modelach interpretuj¡cych E1 i E2 jako relacje równowa»no±ci, ale ka»dy taki model jest niesko«czony. ∃x (Px ∧ Sx) ∀x (Px → ∃y (E1 xy ∧ x 6= y ∧ Qy )) ∀x (Qx → ∃y (E2 xy ∧ x 6= y ∧ Py )) ∀xy (E1 xy → ((Px ∧ Py ) → x = y )) ∀xy (E2 xy → ((Qx ∧ Qy ) → x = y )) ∀x (Sx → ¬∃y (E2 xy ∧ x 6= y )) Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG 2 / 14 GF2 +EG: brak wªasno±ci modelu sko«czonego Twierdzenie 1 Istnieje formuªa FO2 z symbolami binarnymi E1 , E2 , która jest speªnialna w modelach interpretuj¡cych E1 i E2 jako relacje równowa»no±ci, ale ka»dy taki model jest niesko«czony. ∃x (Px ∧ Sx) ∀x (Px → ∃y (E1 xy ∧ x 6= y ∧ Qy )) ∀x (Qx → ∃y (E2 xy ∧ x 6= y ∧ Py )) ∀xy (E1 xy → ((Px ∧ Py ) → x = y )) ∀xy (E2 xy → ((Qx ∧ Qy ) → x = y )) ∀x (Sx → ¬∃y (E2 xy ∧ x 6= y )) Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG 2 / 14 Posta¢ normalna dla GF2 +EG ∃x (α(x) ∧ ψ(x)) ∀xy (Ri xy → ψ(x, y )) ∀xy (Ei xy → ψ(x, y )) ∀x (α(x) → ∃y (Ei xy ∧ ψ(x, y ))) ∀x (α(x) → ∃y (Ri xy ∧ ψ(x, y ))) ∀x (α(x) → ∃y (Ri yx ∧ ψ(x, y ))) gdzie u»ywamy jedynie symboli binarnych i unarnych α(x) jest atomowa (by¢ mo»e postaci x = x ), Ei to relacje, które maj¡ by¢ interpretowane jako równowa»no±ci, Ri to relacje binarne, które nie musz¡ by¢ równowa»no±ciami Ei nie wyst¦puj¡ w formuªach ψ(x, y ). Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG 3 / 14 Posta¢ normalna dla GF2 +EG ∃x (α(x) ∧ ψ(x)) ∀xy (Ri xy → ψ(x, y )) ∀xy (Ei xy → ψ(x, y )) ∀x (α(x) → ∃y (Ei xy ∧ ψ(x, y ))) ∀x (α(x) → ∃y (Ri xy ∧ ψ(x, y ))) ∀x (α(x) → ∃y (Ri yx ∧ ψ(x, y ))) gdzie u»ywamy jedynie symboli binarnych i unarnych α(x) jest atomowa (by¢ mo»e postaci x = x ), Ei to relacje, które maj¡ by¢ interpretowane jako równowa»no±ci, Ri to relacje binarne, które nie musz¡ by¢ równowa»no±ciami Ei nie wyst¦puj¡ w formuªach ψ(x, y ). Dla uproszczenia zaªo»ymy, »e dwie ostatnie postacie koniunktów nie wyst¦puj¡ (ich dodanie b¦dzie ¢wiczeniem). Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG 3 / 14 GF2 +EG: zwi¡zek z FO2 FO2 mo»na ªatwo zakodowa¢ w GF2 +EG ∀xy ϕ(x, y ) ∧ m ^ ∀x∃y ϕi (x, y ) i=1 ⇓ ∀xy (E1 xy → ϕ(x, y )) ∧ m ^ ∀x((x = x) → ∃y (E1 xy ∧ ϕi (x, y ))). i=1 Wniosek 2 Speªnialno±¢ GF2 +EG jest NExpTime-trudna Relacje równowa»no±ci w modelach GF2 +EG zachowuj¡ si¦ (przynajmniej z lokalnego punktu widzenia pó¹niej zobaczymy co to dokªadnie znaczy) podobnie do caªych modeli dla FO2 . Przypomnijmy, »e FO2 ma wªasno±c modelu wykªadniczego. Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG 4 / 14 Speªnialno±¢ GF2 +EG: plan Poka»emy, »e ka»da formuªa speªnialna ma ªadny, regularny model (zazwyczaj nieko«czony), w postaci kobierca kwiatowego: Niech ϕ b¦dzie formuª¡ w postaci normalnej, a A jej modelem. Dla ka»dego 1-typu t z A budujemy kwiat t (struktur¦ wielko±ci wykªadniczej) Z kwiatów poszczególnych typów budejemy caªy kobierzec kwiatowy, b¦d¡cy równie» modelem ϕ. Dowodzimy, »e sprawdzanie istnienia modeli w postaci kobierców kwiatowych mo»e by¢ przeprowadzone w NExpTime Dla formuªy ϕ w postaci normalnej przez ϕEi oznaczymy formuª¦ powstaª¡ z ϕ poprzez usuni¦cie koniunktów: zaczynaj¡cych si¦ kwantykatorem ∃ u»ywaj¡cych jako relacji stra»ników Ej dla j 6= i Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG 5 / 14 Speªnialno±¢ GF2 +EG: kwiaty Dla ka»dego typu t zrealizowanego w A ustalmy jego realizacj¦ at Dla ka»dej relacji Ei : Niech B b¦dzie podsturuktur¡ A obci¦t¡ do klasy abstrakcji elementu at , wzgl¦dem Ei Niech B0 b¦dzie struktur¡ uzyskan¡ z B poprzez usuni¦cie z niej wszystkich poª¡cze« równowa»no±ciowych oprócz Ei Niech B00 b¦dzie struktur¡ uzyskan¡ z B0 za pomoc¡ konstrukcji wykªadniczego modelu dla FO2 dla formuªy ϕEi . B00 nazwiemy Ei -pªatkiem dla typu t . Niech kwiat dla typu t b¦dzie struktur¡ skª¡daj¡c¡ si¦ z Ei -pªatków dla typu t (i = 1, 2, . . . , k ). Pªatki przecinaj¡ si¦ w elemencie typu t (element centralny kwiatu), ale poza tym elementem s¡ parami rozª¡czne. Obserwacja: kwiat dla typu t jest struktur¡ speªniaj¡c¡ wszystkie koniunkty typu ∀∀, w którym element centralny ma wszystkich potrzebnych swiadków, a ka»dy element ma wszystkich potrzebnych ±wiadków w pªatku, do którego nale»y. Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG 6 / 14 Speªnialno±¢ GF2 +EG: kobierzec kwiatowy Niech t1 , . . . , tl b¦dzie list¡ typów zrealizowanych w A. Dla ka»dego z nich budujemy kwiat dla ti (wzorcowy) Budujemy A0 w postaci kobierca kwiatowego: Poziom 0: Wstawiamy kwiaty wzorcowe dla ka»dego typu ti do A0 Iteracyjnie, poziom i : dla ka»dego elementu z poziomu i − 1, który nie jest centralny w kwiecie (a wi¦c nale»y tylko do pojedynczego pªatka) dobudowujemy mu pozostaªe pªatki zgodnie z kwiatem wzorcowym. Po przeliczalnej liczbie kroków uzyskujemy model w postaci kobierca kwiatowego. Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG 7 / 14 Speªnialno±¢ GF2 +EG: zªo»ono±¢ Twierdzenie 3 Problem speªnialno±ci dla GF2 +EG jest NExpTime-zupeªny. Dowód: Algorytm (wej±ciem jest formuªa ϕ w postaci normalnej): zgadnij zestaw typów realizowanych w modelu, zapewniaj¡cy speªnienie wszystkich koniunków zaczynaj¡cych si¦ od ∃ dla ka»dego typu zgadnij jego kwiat sprawd¹, czy kwiaty zapewniaj¡ odpowiednich ±wiadków, s¡ zgodne z formuªami ∀∀ i czy u»ywaj¡ tylko zgadni¦tych 1-typów Algorytm dziaªa oczywi±cie w niedeterministycznym czasie wykªadniczym. Granic¦ doln¡ pokazali±my wcze±niej (redukcja z FO2 ). Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG 8 / 14 GF2 +EG: du»e modele sko«czone Dowodz¡c rozstrzygalno±ci GF2 +EG w klasie wszystkich modeli bardzo wygodne okazaªo si¦, »e zawsze mo»emy budowa¢ klasy abstrakcji ograniczone wykªadniczo. Niestety, w przypadku speªnialno±ci sko«czonej nie b¦dziemy mogli tak robi¢: poka»emy jak zbudowa¢ formuª¦ δn , dªugo±ci liniowej wzgl¦dem n, z relacjami E1 , E2 , której ka»dy model sko«czony ma klas¦ abstrakcji (wzgl¦dem relacji n E2 ) wielko±ci co najmniej 22 . δn kodowa¢ b¦dzie drzewo binarne gª¦boko±ci 2n . Predykaty P0 , . . . , Pn−1 koduj¡ poziom w drzewie. Przypominamy, »e potramy napisa¢ formuª¦ bez kwantykatorów, która mówi, »e element y jest na poziomie o jeden ni»szym ni» x . Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG 9 / 14 GF2 +EG: du»e modele sko«czone predykaty P0 , P1 , . . . Pn−1 koduj¡ poziom elementu ka»dy element ma dwóch ±wiatków poni»ej: jednego w L, drugiego poza L. ka»dy element ±wiadczy najwy»ej jednemu: ró»ne elementy z poziomu parzystego (nieparzystego, oprócz ostatniego) nie mog¡ by¢ poª¡czone przez E1 (E2 )). Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG 10 / 14 GF2 +EG: du»e modele sko«czone predykaty P0 , P1 , . . . Pn−1 koduj¡ poziom elementu ka»dy element ma dwóch ±wiatków poni»ej: jednego w L, drugiego poza L. ka»dy element ±wiadczy najwy»ej jednemu: ró»ne elementy z poziomu parzystego (nieparzystego, oprócz ostatniego) nie mog¡ by¢ poª¡czone przez E1 (E2 )). n Mamy zatem 22 li±ci. ¡damy, aby ka»dy byª poª¡czony z korzeniem przez E2 . Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG 10 / 14 GF2 +EG: du»e modele sko«czone, cd. W GF2 nie jeste±my w stanie powiedzie¢, »e jest tylko jeden korze« n Mo»emy wi¦c mie¢ te» takie modele δn (1 korze« / 22 li±ci): Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG 11 / 14 Speªnialno±¢ sko«czona GF2 +EG: prole i równania Prolem klasy abstrakcji C relacji Ei nazywamy funkcj¦ przypisuj¡c¡ ka»demu 1-typowi liczb¦ jego wyst¡pie« w tej klasie. Nie potramy w tej chwili ograniczy¢ wielko±ci klasy w modelu, wi¦c nie znamy równie» ograniczenia na liczb¦ zrealizowanych proli Zaªó»my na chwil¦, »e mamy ograniczon¡ liczb¦ proli klas abstrakcji oraz dwie relacje E1 , E2 : budujemy ukªad równa«, którego niewiadome odpowiadaj¡ liczbom realizacji poszczególnych prole w modelu wprowadzamy niewiadom¡ Xiθ je±li prol θ jest zgodny z formuªa ϕEi , tzn. je±li mo»na zbudowa¢ klas¦ abstrakcji ze wskazywanej przez θ liczby elementów, speªniaj¡c¡ wszystkie koniunktyP z ϕEi . P θ θ Dla ka»dego 1-typu t piszemy: θ θ(t) · X1 = θ θ(t) · X2 , gdzie sumowanie E1 przebiega po prolach zgodnych z ϕ (po lewej stronie) oraz z ϕEw (po prawej stronie) Zbudowany ukªad ma rozwi¡zanie nad zbiorem liczb naturalnych wtw ϕ ma model sko«czony. Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG 12 / 14 Speªnialno±¢ sko«czona GF2 +EG: budowa modelu We¹my rozwi¡zanie zbudowanego ukªadu równa« nt - liczba wyst¡pie« 1-typu t sugerowana przez rozwi¡zanie Zbiór bazowy: nt realizacji typu t dla wszystkich t Obserwacja: zbiór bazowy mo»e by¢ podzielony na klasy abstrakcji E1 i E2 , zgodne z formuª¡ ϕ Zaªó»my, »e zbiór bazowy to {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 }. Model: a1 | a2 | a3 | a4 | a5 a2 | a3 | a4 | a5 | a1 a3 | a4 | a5 | a1 | a2 a4 | a5 | a1 | a2 | a3 a5 | a1 | a2 | a3 | a4 Wiersze dzielimy na klasy abstrakcji wzgl¦dem E1 Kolumny - wzgl¦dem E2 Ka»de dwie klasy przecinaj¡ si¦ najwy»ej w jednym punkcie na ka»d¡ klas¦ mo»na niezale»nie naªo»y¢ struktur¦ zgodn¡ z ϕ. Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG 13 / 14 Sko«czona speªnialno±¢ bez zaªo»enia o ograniczono±ci klas Tego jeszcze nie omówili±my... Rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ GF2 +EG 14 / 14