Charakterystyki geometryczne figur płaskich
Transkrypt
Charakterystyki geometryczne figur płaskich
Zadanie 1. Charakterystyki geometryczne figur płaskich. 1.0 6.0 Dla figury płaskiej pokazanej na rys.1 wyznaczyć: 1. Współrzędne środka ciężkości. 6.0 2. Główne centralne momenty bezwładności. Wymiary figury podane są w centymetrach. 2.0 2.0 cm rys.1 1. Wyznaczenie współrzędnych środka ciężkości . 1.1. Dobieramy układ współrzędnych osi xy tak, aby oś y leżała na osi symetrii figury - rys.2. Środek ciężkości figury leży na osi symetrii y. Środek ciężkości figury wyznaczamy z zależności: S ys = x (1) A gdzie: S x – moment statyczny pola figury płaskiej względem przyjętej osi x. A – pole figury płaskiej. Obliczenia (patrz poniższy rys.2): Sx = 2*2*6*3 + 2*6*9 + 2*(3*6/2)*8 = 324cm3 A = 3*2*6 + 2*(3*6/2) = 54cm2 Obliczone wartości Sx i A podstawiam do wzoru (1) ys = 324 = 6cm 54 s ( 0.0, 6.0 ) - współrzędne środka ciężkości s figury w układzie osi xy 2.0 3.0 6.0 3.0 Xs 3.0 Y ys = 6.0 8.0 9.0 s X 2.0 4.0 2.0 rys.2 ___________________________________________________________________________ http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka/ 1/3 1.2. Sprawdzenie poprawności obliczeń. Sprawdzamy czy moment statyczny S x s pola figury płaskiej obliczony względem osi xs przechodzącej przez środek ciężkości figury równa się zero ( rys.3). Sx s = 2 * 6 * 3 + 2 * 3*6 * 2 + 2 * 2 * 6 * (−3) = 72 − 72 = 0 2 2.0 3.0 2.0 Y 3.0 3.0 3.0 Xs 6.0 3.0 s 2.0 4.0 2.0 rys.3 2. Wyznaczenie głównych centralnych momentów bezwładności. Odśrodkowy moment bezwładności pola figury płaskiej względem prostokątnego układu osi x y, z których chociaż jedna jest osią symetrii figury, równy jest zero: J xy = 0 Osie xs y nazywamy głównymi centralnymi osiami bezwładności, gdyż przechodzą przez środek ciężkości figury i odśrodkowy moment bezwładności pola figury płaskiej względem prostokątnego układu osi xs y jest równy zero: J xs y = 0 Momenty bezwładności pola figury płaskiej liczone względem głównych centralnych osi bezwładności nazywamy głównymi centralnymi momentami bezwładności. J x s – główny centralny moment bezwładności pola figury płaskiej względem osi xs. J y – główny centralny moment bezwładności pola figury płaskiej względem osi y. ___________________________________________________________________________ http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka/ 2/3 2.1. Dwa sposoby obliczenia J x – głównego centralnego momentu bezwładności s pola figury płaskiej względem osi xs Sposób I: Do obliczenie J x pomocny jest rys.3. s 3 2*6 3 * 63 3 * 6 2 * 63 3 * 63 2 2 J xs = 3* * 2 = 3* + 2*6*3 + 2* + + 2* = 540cm 4 12 36 2 3 12 Sposób II: Do obliczenie J x pomocny jest rys.2 s Korzystamy z odwrotnego twierdzenia Steinera: J x = J x − A * y s2 s (2) gdzie: J x – moment bezwładności pola figury płaskiej względem osi x. A – pole figury płaskiej (obliczenia na str1). ys – odległość osi x od osi xs (obliczenia na str1). 2 * 63 2 * 63 3 * 63 3 * 6 Jx = 2* + 2 * 6 * 32 + + 2 * 6 * 92 + 2 * + * 8 2 = 2484cm 4 12 36 12 2 Obliczone wartości podstawiamy do wzoru (2) 2 4 J x s = 2484 – 54 * 6 = 540cm 2.2 Obliczenie J y - głównego centralnego momentu bezwładności pola figury płaskiej względem osi y . Do obliczeń pomocny jest rys.4. 3.0 2.0 2.0 6.0 2.0 3.0 Y Xs 6.0 s 3.0 2.0 3.0 4.0 2.0 rys.4 6 * 33 6 * 3 2 6 * 23 6 * 23 Jy = 2* * 2 = 309cm 4 + 2* + + 6 * 2 * 32 + 12 12 2 36 ___________________________________________________________________________ http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka/ 3/3