Zadanie 17.3
Transkrypt
Zadanie 17.3
Rozwiązać podaną belkę ukośną (sporządzić wykresy M, Q, N ) Uwaga: Narysowane tak jak poniżej obciążenie ciągłe, oznacza że na każdy z 4m rzutu poziomego oddziałują 3kN. 3 kN/m Obliczenie reakcji (przy podporze przegubowej nieprzesuwnej przyjęto reakcje poziomą i pionową, później okaże się że taka droga nie będzie najwygodniejsza): ΣM(A)=0 => 3·4·2-3 HB=0 => HB=8kN ΣX=0 => HA-HB=0 => HA=8kN ΣY=0 => -3·4+RA=0 => RA=12kN Chcąc zredukować siły przekrojowe N, Q w dowolnym układzie lokalnym, trzeba znaleźć składowe równoległe i prostopadłe do osi pręta pochodzące od sił pionowych i poziomych HB 3m HA α RA 4m sinα=3/5=0,6 cosα=4/5=0,8 HA cosα=6,4 HA sinα=4,8 RA sinα=7,2 α RA=12 HA=8 RA cosα=9,6 RQ =4,8 α Obok przedstawiono składowe równoległe i prostopadłe do osi pręta pochodzące od reakcji poziomej i pionowej działające w punkcie A. Po zsumowaniu wektorów odpowiednio na kierunku równoległym i prostopadłym do osi pręta otrzymano siły które nazwano RN=13,6 kN oraz RQ=4,8 kN , a działają one w punkcie A. Można było je otrzymać od razu gdyby w punkcie A przyjęto je zamiast RA oraz HA. RN =13,6 α 3 kN/m HB η 3m RN α RQ Obliczenie reakcji (przy podporze przegubowej nieprzesuwnej przyjęto reakcje równoległą i prostopadłą do osi pręta): ΣM(A)=0 => 3·4·2-3 HB=0 => HB=8kN ΣM(B)=0 => 5 RQ-3·4·2=0 => RQ=4,8kN Ση=0 => RN -3·4 sinα-HB cosα=0 => RN=13,6kN Ostatnie równanie to suma rzutów wszystkich sił na kierunek równoległy do osi pręta – nazwano go η 4m 3 Położenie układu lokalnego (klamerka) można określić względem punktu A przy pomocy współrzędnej x (równoległa do rzutu poziomego osi pręta) albo przy pomocy x1 (równoległa do osi pręta) Q N x1 13,6 x1 = x 4,8 x cos α Równania opisujące funkcje sił przekrojowych wyrażone przy pomocy współrzędnej x: N(x)= -13,6+3 x sinα = -13,6+1,8 x Q(x)= 4,8-3 x cosα = 4,8-2,4 x x M(x)= 4,8 -3 x x/2 = 6 x-1,5 x2 cos α ∂M ( x ) nie jest taka sama jak funkcja Q(x). Powodem Należy zwrócić uwagę że pochodna ∂x tego jest to że współrzędna x nie jest równoległa do osi pręta. Jeżeli funkcje sił przekrojowych wyrazimy przez x1: Q(x1)= 4,8-3 x1 cosα cosα = 4,8-1,92 x1 M(x1)= 4,8 x1 -3 (x1 cosα)2 /2 = 4,8 x1-0,96 x12 ∂M ( x1 ) to wtedy: = Q(x1). ∂x1 Do narysowania wykresów N, Q, M można posłużyć się współrzędną x albo x1 pamiętając że: W p.A: x=0, x1=0 W p.B: x=4m, x1=5m W środku belki: x=2m, x1=2,5m 4,8 6,4 N [kN] Q [kN] 4,8 13,6 M [kNm] 6 Obciążenie ciągłe rysowane tak jak do tej pory, może być też przedstawione w postaci statycznie równoważnego obciążenia przyłożonego do osi pręta. 3 kN/m 2,4 kN/m α α Wypadkowa w pierwszym przypadku to 3kN/m·4m a w drugim to 2,4kN/m·5m , czyli 12kN w obu przypadkach, prosta działania tej wypadkowej jest pionowa i przechodzi przez środek belki. W równaniach zamiast pisać 3 x w pierwszym przypadku, zapisze się 2,4 x1 w drugim, co da ten sam wynik Gdyby obciążenie o wartości 3kN/m było przyłożone do osi pręta, to było by równoważne obciążeniu 3,75kN/m przyłożonemu do rzutu poziomego 3,75 kN/m 3 kN/m α α Wypadkowa w pierwszym przypadku to 3,75kN/m·4m a w drugim to 3kN/m·5m , czyli 15kN w obu przypadkach, prosta działania tej wypadkowej jest pionowa i przechodzi przez środek belki. W równaniach zamiast pisać 3,75 x w pierwszym przypadku, zapisze się 3 x1 w drugim, co da ten sam wynik Dla takiego, czyli zwiększonego o 25% obciążenia, reakcje wyniosą (przy podporze przegubowej nieprzesuwnej przyjęto reakcje równoległą i prostopadłą do osi pręta): ΣM(A)=0 => 3·5·2-3 HB=0 => HB=10kN ΣM(B)=0 => 5 RQ-3·5·2=0 => RQ=6kN Ση=0 => RN -3·5 sinα-HB cosα=0 => RN=17kN Ostatnie równanie to suma rzutów wszystkich sił na kierunek równoległy do osi pręta – nazwano go η Na wykresach N, Q, M pojawią się wartości zwiększone o 25%. 6 8 N [kN] Q [kN] 6 17 M [kNm] 7,5 Kolejny przykład to belka skośna obciążona na swojej długości (5m) obciążeniem „prostokątnym” prostopadłym do osi belki, HB 3 kN/m 3m RN α RQ 4m Obliczenie reakcji (przy podporze przegubowej nieprzesuwnej przyjęto reakcje równoległą i prostopadłą do osi pręta): ΣM(A)=0 => 3·5·2,5-3 HB=0 => HB=12,5kN ΣM(B)=0 => 5 RQ-3·5·2,5=0 => RQ=7,5kN Ση=0 => RN -HB cosα=0 => RN=10kN Ostatnie równanie to suma rzutów wszystkich sił na kierunek równoległy do osi pręta – nazwano go η Równania opisujące funkcje sił przekrojowych wyrażone przy pomocy współrzędnej x1: N(x1)= -10 Q(x1)= 7,5-3 x1 M(x1)= 7,5 x1 -3 x12 /2 7,5 N [kN] Q [kN] 10 7,5 M [kNm] 9,375