Wyk lad 5

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2
PaweÃl Domański — szkicowe notatki do wykÃladu
WykÃlad 5
1. Iloczyn ortogonalny funkcji
Wróćmy na chwilȩ do dowodu wzorów Eulera-Fouriera. Kluczowa̧ rolȩ
odgrywaÃl wzór:
(
Z π
Z π
2π, dla n = k;
eix(n−k) dx =
(cos(n − k)x + i sin(n − k)x) dx =
0,
dla n 6= k.
−π
−π
Definiuja̧c:
1
hf, gi :=
2π
poprzedni wzór można zapisać:
heinx , eikx i =
Z
π
f (x)g(x)dx
−π
(
1, dla n = k;
0, dla n 6= k.
Oznaczenie h·, ·i nie przypadkiem jest podobne do oznaczenia iloczynu skalarnego,
wÃlasności sa̧ takie same:
WÃlasności iloczynu ortogonalnego:
• liniowy ze wzglȩdu na pierwsza̧ zmienna̧;
• zamiana kolejności zmiennych to sprzȩżenie wartości;
• hf, f i ≥ 0 i jest równe zeru tylko jeśli f = 0 (dla funkcji cia̧gÃlych).
W poprzednich dowodach wykorzystywaliśmy tak naprawde tylko te wÃlasności
i dalej też to bȩdziemy robić.
Wprowadzony iloczyn nazywamy iloczynem ortogonalnym i mówimy, że
dwie funkcje sa̧ ortogonalne jeśli ich iloczyn ortogonalny jest równy zeru.
Normȩ funkcji (“dÃlugość”) definiujemy:
p
kf k2 := hf, f i
Wprowadziliśmy dÃlugość funkcji (normȩ) wiȩc możemy liczyć odlegÃlość dwóch
funkcji:
d2 (f, g) := kf − gk2 .
1
Wniosek 1 UkÃlad funkcji einx gdy n ∈ Z jest ortonormalny tj. każde dwie
różne funkcje sa̧ ortogonalne i wszystkie maja̧ norme 1.
Wzory Eulera-Fouriera można zapisać:
cn = hf, einx i
Warto zauważyć, że jeśli funkcja f jest równa jednostajnie zbieżnej sumie
szeregu “ortogonalnego”
∞
X
dn gn
n=−∞
gdzie (gn ) jest ukÃladem ortonormalnym to wówczas
dn = hf, gn i
Dowód jest identyczny jak wzorów Eulera-Fouriera.
Ta obserwacja jest wykorzystywana w metodach numerycznych wielokrotnie — stosuja̧c różne ukÃlady ortonormalne (wielomiany Hermite’a, Czebyszewa,
Lagrange’a itp. itd.) i wzglȩdem różnie zdefiniowanych iloczynów ortogonalnych. Nie bȩdziemy wyjasniać szczegóÃlów.
Ta metoda jest wykorzystywana np. w przetwarzaniu danych, obrazów
itp. Rozwija siȩ sygnaÃl, obraz itp. wzglȩdem odpowiednio dobranego ukÃladu
ortonormalnego i zastȩpuje dany sygnaÃl skończenie wieloma wspóÃlczynnikami
rozwiniȩcia.
2
2. Geometryczne spojrzenie na szereg Fouriera
Wielomian trygonometryczny ma postać:
N
X
T (x) :=
wn einx
n=−N
Najmniejsza liczba N nazywana jest stopniem wielomianu T .
Lemat 2 Funkcja f − sN , gdzie f jest caÃlkowalna a sN jest N -ta̧ suma
czȩsciowa̧ jej szeregu Fouriera jest ortogonalna do wszystkich wielomianów
trygonometrycznych stopnia ≤ N .
Dowód: Niech −N ≤ k ≤ N , wówczas
hf − sN , e
ikx
i = hf, e
ikx
i−h
N
X
cn einx , eikx i
n=−N
= hf, eikx i −
N
X
cn heinx , eikx i = ck − ck = 0.
n=−N
Zatem z wÃlasności iloczynu ortogonalnego mamy lemat.
2
Wniosek 3 (wÃlasność minimum wspóÃlczynników Fouriera) N -ta suma czȩściowa
sN szeregu Fouriera funkcji caÃlkowalnej f jest najbliższym funkcji f (w sensie
odlegÃlości d2 ) wielomianem trygonometrycznym stopnia ≤ N .
P
Dowód: Niech T = nn=−N wn einx bȩdzie dowolnym wielomianem trygonometrycznym stopnia ≤ N . Policzmy
d2 (f, T )2 = kf − T k22 = hf − T, f − T i
= h(f − sN ) + (sN − T ), (f − sN ) + (sN − T )i
= hf − sN , f − sN i + hf − sN , sN − T i + hsN − T, f − sN i + hsN − T, sN − T i
Z lematu drugi i trzeci skÃladnik ostatniej sumy znika wiȩc otrzymujemy “wzór
Pitagorasa”:
d2 (f, T )2 = d2 (f, sN )2 + d2 (sN , T )2
Drugi skÃladnik jest równy (jak Ãlatwo sprawdzić) sumie kwadratów z moduÃlów
wspólczynników wielomianu trygonometrycznego sN − T zatem jest równy
zeru wtedy i tylko wtedy, gdy sN = T . Pokazaliśmy, że
d2 (f, T ) ≥ d2 (f, sN )
2
3
Wniosek 4 (nierówność Bessela) Dla dowolnej funkcji caÃlkowalnej f na
[−π, π] zachodzi:
Z π
1
|cn | ≤
|f (x)|2 dx;
2π
−π
n=−∞
Z
∞
π
|a0 |2 X
1
+
(|an |2 + |bn |2 ) ≤
|f (x)|2 dx.
2
π −π
n=1
+∞
X
2
Dowód: Obliczmy:
Z π
1
|f (x)|2 dx = hf, f i = h(f − sN ) + sN , (f − sN ) + sN i
2π −π
= hf − sN , f − sN i + hf − sN , sN i + hsN , f − sN i + hsN , sN i
Z lematu drugi i trzeci czÃlon ostatniej linii jest równy zeru a pierwszy jest
dodatni, zatem:
1
2π
Z
π
2
|f (x)| dx ≥ hsN , sN i = h
−π
N
X
inx
cn e
n=−N
=
N
X
hcn einx , cn einx i =
n=−N
,
N
X
cn einx i
n=−N
N
X
|cn |2 .
n=−N
2
Uwaga: Z powyższego dowodu wynika, że różnica miȩdzy stronami nierówności
Bessela wynosi:
hf − sN , f − sN i = d2 (f, sN )2
zatem jeśli szereg Fouriera jest zbieżny do f w metryce d2 , to w nierówności
Bessela mamy równość! W przyszÃlości zobaczymy, że tak rzeczywiście jest.
4
3. WÃlasność lokalizacji szeregów Fouriera
Jest to jedna z najdziwniejszych wÃlasności szeregów Fouriera. Pamiȩtamy,
że obliczenie wspóÃlczynników Fouriera wymaga znajomości caÃlej funkcji na
przedziale o dÃlugości równej okresowi. Tym nie mniej zachodzi:
Twierdzenie 5 (twierdzenie Riemanna o lokalizacji) Niech f, g beda̧ dwiema
2π-okresowymi funkcjami caÃlkowalnymi w sensie Riemanna pokrywaja̧cymi
sie na odcinku (x − δ, x + δ) dla pewnego ustalonego x ∈ R i δ > 0. Wówczas
szereg Fouriera funkcji f jest zbieżny w punkcie x do liczby a wtedy i tylko
wtedy, gdy szereg Fouriera funkcji g jest zbieżny w punkcie x do tej samej
granicy.
Dowód w ksia̧żce SoÃltysiaka.
5
4. Zbieżność szeregów Fouriera
Problem zbieżności szeregu Fouriera jest trudny i wiele podstawowych
zagadnień zostaÃlo rozstrzygniȩtych dopiero w drugiej poÃlowie XX wieku (i
nadal jest to żywy obszar badań naukowych).
Poniższe twierdzenie zestawia gÃlówne wyniki:
Twierdzenie 6 (o zbieżności szeregu Fouriera)
• (Du Bois-Reymond) Istnieje funkcja cia̧gÃla 2π-okresowa, której szereg
Fouriera w pewnym punkcie nie jest zbieżny.
• (Carleson) Dla każdej 2π-okresowej funkcji cia̧gÃlej f zbiór punktów, w
których jej szereg Fouriera nie jest zbieżny punktowo do f jest miary
zero Lebesgue’a tj. dla każdego ε > 0 może być pokryty suma̧ cia̧gu
odcinków, których Ãla̧czna dÃlugość nie przekracza ε.
• (o zbieżności punktowej) Dla każdej 2π-okresowej funkcji f przedziaÃlami
różniczkowalnej (tj. rózniczkowalnej za wyja̧tkiem skończenie wielu
punktów i maja̧cej w tych punktach skończone granice jednostronne i
skończone pochodne jednostronne) szereg Fouriera jest zbieżny punktowo do f (x) w punktach cia̧gÃlości i jest zbieżny do średniej arytmetycznej granic jednostronnych w punktach niecia̧gÃlości.
• (tożsamość Parsevala) Jeśli funkcja f jest 2π-okresowa i cia̧gÃla (albo
caÃlkowalna z kwadratem), to jej szereg Fouriera jest zbieżny do f wzglȩdem
metryki d2 i ponadto mamy równość w nierówności Bessela (czyli zachodzi tożsamość Parsevala):
Z π
1
|cn | =
|f (x)|2 dx;
2π
−π
n=−∞
Z
∞
|a0 |2 X
1 π
+
(|an |2 + |bn |2 ) =
|f (x)|2 dx.
2
π
−π
n=1
+∞
X
2
• (twierdzenie Fejéra) Jeśli f jest cia̧gÃla i 2π-okresowa, to cia̧g średnich
arytmetycznych sum czȩściowych szeregu Fouriera jest zbieżny jednostajnie do f .
6
W tym miejscu warto wrócić do pliku rozwiniecia fouriera w4.nb i
przypomnieć jak zbiegaja̧ szeregi Fouriera konkretnych funkcji.
W pliku: twierdzenie fejera w5.nb porównano przybliżenia danej funkcji
jej sumami czȩściowymi szeregu Fouriera i średnimi arytmetycznymi jej sum
czȩściowych (por. tw. Fejéra).
7
Dowód twierdzenia Du Bois-Reymond i twierdzenia Carlesona (bardzo
trudny) sa̧ poza możliwościami tego wykÃladu. Dowód twierdzenia o zbieżności
punktowej jestw ksiażce SoÃltysiaka. Tam też udowodnione jest tw. Fejéra.
Zauważmy, że średnie arytmetyczne sum czȩściowych sa̧ wielomianami trygonometrycznymi zatem mamy:
Wniosek 7 (twierdzenie Weierstrassa o aproksymacji wielomianami trygonometrycznymi) Każda 2π-okresowa funkcja cia̧gÃla może być dowolnie dobrze
jednostajnie przybliżona wielomianem trygonometrycznym.
Niech f bedzie ciagÃla̧ funkcja̧ 2π-okresowa̧. Weźmy ε > 0 wówczas istnieje
wielomian trygonometryczny T stopnia N taki, że
sup |f (x) − T (x)| ≤ ε.
x∈[−π,π]
Z wÃlasności minimum wspóÃlczynników Fouriera wynika, że
s Z
π
1
d2 (f, sN ) ≤ d2 (f, T ) =
|f (x) − T (x)|2 dx ≤ ε
2π −π
czyli sumy czȩściowe szeregu Fouriera da̧ża̧ do f w metryce d2 . Sta̧d (patrz
uwaga po dowodzie nierówności Bessela) wynika tożsamość Parsevala.
Ponieważ, każda funkcja cia̧gÃla̧ f na przedziale [a, b] może być przedÃlużona
do funkcji cia̧gÃlej o okresie 2(b − a) wiȩc skaluja̧c można z twierdzenia Weierstrassa o aproksymacji wielomianami trygonometrycznymi uzyskać jednostajne przybliżenie f wielomianami trygonometrycznymi o okresie 2(b − a).
Zauważmy jeszcze, że funkcje wykÃladnicze sa̧ na każdym kole jednostajna̧
granica̧ sum czȩściowych szeregu Taylora, a wiȩc moga̧ być jednostajnie przybliżane na dowolnym przedziale skończonym wielomianami algebraicznymi.
Zatem można to zrobić także dla wielomianów trygonometrycznych. Sta̧d:
Wniosek 8 (twierdzenie Weierstrassa o aproksymacji wielomianami) Każda
funkcja cia̧gÃla na przedziale [a, b] może być jednostajnie dowolnie dobrze przybliżona wielomianem (algebraicznym).
Twierdzenie Fejéra ma jeszcze jeden ważny wniosek: ze wspóÃlczynników
Fouriera funkcji cia̧gÃlej 2π-okresowej można z powrotem odtworzyć wyjściowa̧
funkcjȩ zatem:
8
Wniosek 9 (o jednoznaczności szeregu Fouriera) Jeśli dwie 2π-okresowe
funkcje cia̧gÃle maja̧ te same wspóÃlczynniki Fouriera, to sa̧ one równe.
Wniosek 10 Jeśli szereg Fouriera 2π-okresowej funkcji cia̧gÃlej f jest zbieżny
jednostajnie, to jego granica jest równa f .
Dowód: Granica g ma te same wspóÃlczynniki Fouriera ze wzorów EuleraFouriera.
2
9
5. Zastosowania do sumowania szeregów
Funkcja 2π-okresowa cia̧gÃla:
f (x) := x2
dla x ∈ [−π, π].
Funkcja f jest parzysta wiȩc wspóÃlczynniki bn = 0.
Z π
1
π2
c0 :=
x2 dx = .
2π −π
3
Dla n 6= 0:
1
cn :=
2π
Z
π
x2 e−inx dx
−π
Stosuja̧c dwa razy caÃlkowanie przez czȩści otrzymujemy:
cn = (−1)n
2
n2
Szereg Fouriera wynosi:
+∞
X
2
π2
(−1)n 2 einx
f∼
+
3
n
n=−∞,n6=0
Szereg po prawej stronie jest zbieżny jednostajnie z kryterium porównawczego
Weierstrassa bo
¯
¯
¯
¯
¯(−1)n 2 einx ¯ ≤ 2
¯
¯ n2
n2
P
2
a szereg +∞
n=−∞,n6=0 n2 jest zbieżny z kryterium o zagȩszczaniu.
Zatem skoro szereg Fouriera jest jednostajnie zbieżny, to musi być zbieżny
do f . Podstawiaja̧c x = π mamy:
+∞
∞
X
2
π2 X 4
π2
=
π =
+
+
3
n2
3
n2
n=1
n=−∞,n6=0
2
Zatem:
∞
X
1
π2
=
n2
6
n=1
10
Teraz zastosujemy do tego szeregu tożsamość Parsevala:
1
2π
Z
+∞
X
π4
4
+
x dx =
9
n4
−π
n=−∞,n6=0
π
4
czyli
+∞
π4 π4 X 8
−
=
5
9
n4
n=1
Ostatecznie mamy:
∞
X
1
π4
=
n4
90
n=1
W pliku:
sumy szeregu w5.nb
porównano na jednym wykresie szybkość zbieżności różnych szeregów
zbieżnych do π 2 zgodnie z powyższymi przykÃladami a także szeregu zbieżnego
do π.
11
Szeregi Fouriera:
P
n+1 2 sin nx
• x∼ ∞
n=1 (−1)
n , dla x ∈ [−π, π];
¶
∞ µ
π X
4 cos(2n − 1)x
• |x| ∼ +
−
2 n=1
π
(2n − 1)2
+∞
π
2 X
1
i(2n+1)x
∼ +− ·
e
,
2
π n=−∞ (2n + 1)2
• | sin x| ∼
2
π+
P∞ ¡
4
n=1 − π
¢
cos 2nx
(2n−1)(2n+1) ,
dla x ∈ [−π, π];
dla x ∈ [−π, π];
∞
4 cos nx
π3 X
2
• x ∼
+
(−1)n
3
n2
n=1
π3
=
+
3
•
sgn x ∼
+∞
X
(−1)n
n=−∞,n6=0
P∞
4
n=1 π
2 inx
e ,
n2
dla x ∈ [−π, π];
· sin(2n−1)x
2n−1 , dla x ∈ [−π, π];
P
(−1)n+1 n
• sin ax ∼ 2 sinπ πa · ∞
n=1 n2 −a2 sin nx, dla x ∈ [−π, π], a 6∈
Z;
π
−π P+∞
n 1−in inx
·
• ex ∼ e −e
(−1)
e , dla x ∈ [−π, π];
n=−∞
2π
(n2 +1)
12
¶
∞ µ
2
X
4π
4
4π
• x2 ∼
+
cos nx −
sin nx
2
3
n
n
n=1
µ
¶
+∞
X
2
4π 2
2πi inx
=
+
+
e , dla x ∈ [0, 2π];
3
n2
n
n=−∞,n6=0
P∞ ³
h
n
− 2π
n (−1)
(−1)n −1
n3 π
i´
• x2 ∼ n=1
+4
sin nx, dla x ∈
[0, π] wzgledem sinusów (tj. funkcja przedÃlużona na [−π, π]
jako nieparzysta).
13