Szkielet notatek wykładu

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2
PaweÃl Domański — szkicowe notatki do wykÃladu
WykÃlad 4
1. Po co teoria szeregów Fouriera i po co analiza harmoniczna?
Wiele zjawisk fizycznych ma charakter okresowy: drganie struny, napiȩcie
pra̧du zmiennego, fala elektromagnetyczna itp. Od XVIII wieku matematycy
i fizycy starali siȩ rozkÃladać drgania na “drgania proste” czyli na drgania
opisywane funkcjami sin nx, sin anx lub ich przesuniȩciami. W roku 1822
Joseph Fourier wcześniej prefekt departamentu Isére opublikowaÃl “Théorie
analytique de la chaleur” ksia̧żkȩ która miaÃla wielki wkÃlad w teoriȩ takich
rozkÃladów i spowodowaÃla poźniej wprowadzenie nazwy szereg Fouriera na
rozwiniȩcie funkcji okresowej na “proste cegieÃlki” powyższego typu. Oprócz
szeregów Fouriera jest także transformata Fouriera, która pozwala rozkÃladać
na “proste drgania” funkcje nieokresowe — ale ta̧ teoria̧ nie bȩdziemy siȩ na
niniejszym wykÃladzie zajmować.
Metody tego typu sa̧ ważne w kompresji danych, ich przesyÃlaniu i przetwarzaniu (np. przetwarzaniu obrazu). Np. przesyÃlaja̧c dźwiȩk obcinamy
wysokie czȩstotliwości, których nasze ucho i tak nie sÃlyszy. W obrazie usuwamy wysokie czȩstotliwości robia̧c obraz “miȩkkim” lub dodajemy je aby
obraz “wyostrzyć”.
1
2. Szereg trygonometryczny
Ogólna postać szeregu trygonometrycznego w postaci rzeczywistej to:
∞
a0 X
+
(an cos nx + bn sin nx) ,
2
n=1
gdzie an i bn sa̧ danymi wspóÃlczynnikami rzeczywistymi (lub zespolonymi).
Oczywiście dzielenie przez 2 wyrazu “wolnego” jest tylko spowodowane konwencja̧. Warto zauważyć, że wszystkie wyrazy szeregu sa̧ okresowe o okresie
2π. Gdybyśmy chcieli badać funkcje o innym okresie musimy wprowadzić
wspóÃlczynnik α, tj. rozpatrywać szereg postaci:
∞
a0 X
+
(an cos nαx + bn sin nαx) .
2
n=1
Ponieważ skaluja̧c argument możemy każda̧ funkcjȩ okresowa̧ zamienić na
funkcjȩ okresowa o okresie 2π bȩdziemy unikać wspóÃlczynnika α zaciemniaja̧cego wzory.
Przypomnijmy, że
cos nx =
¢
1 ¡ inx
e + e−inx
2
sin nx =
¢
1 ¡ inx
e − e−inx
2i
wiȩc nasz szereg przyjmuje postać:
µ
¶
µ
¶
∞
a0 X 1
bn inx 1
bn −inx
+
an +
e +
an −
e
.
2
2
i
2
i
n=1
Ostatecznie przyjmuja̧c:
c0 :=
a0
,
2
cn :=
1
(an − ibn ) dla n > 0,
2
cn :=
1
(a−n + ib−n ) dla n < 0,
2
otrzymujemy postać zespolona̧ szeregu trygonometrycznego:
+∞
X
cn einx
n=−∞
2
Oczywiście można z powrotem wrócić do postaci rzeczywistej — dla
wygody bedziemy siȩ posÃlugiwać postacia̧ zespolona̧.
Suma czȩściowa (N -ta) szeregu trygonometrycznego to:
N
N
X
a0 X
sN :=
+
(an cos nx + bn sin nx) =
cn einx .
2
n=1
n=−N
Problemy:
• zbieżność i w jakim sensie (“synteza harmoniczna”);
• analiza harmoniczna tj. dla danej funkcji znaleźć szereg trygonometryczny zbieżny do niej w odpowiednim sensie.
3
3. Szereg Fouriera
Twierdzenie 1 (wzory Eulera-Fouriera) Jeśli funkcja f na przedziale [−π, π]
okresowa o okresie 2π jest suma̧ jednostajnie zbieżnego szeregu trygonometrycznego to:
Z
1 π
an :=
f (x) cos nxdx;
π −π
Z
1 π
bn :=
f (x) sin nxdx;
π −π
Z π
1
cn :=
f (x)e−inx dx.
2π −π
Uwagi:
• Tak wyliczone wspóÃlczynniki nazywane sa̧ wspóÃlczynnikami Fouriera
funkcji f .
• WspóÃlczynniki Fouriera można wyliczyć dla każdej funkcji caÃlkowalnej
(w sensie Riemanna ale także Lebesgue’a) niezależnie od jej okresowości
i niezależnie od zbieżności powstaÃlego szeregu.
• Zauważmy, że jeśli f jest parzysta to bn = 0 dla każdego n ∈ N, a jeśli
f jest nieparzysta to an = 0 dla każdego n ∈ N.
• weźmy funkcjȩ caÃlkowalna̧ f : [0, π] → C można znaleźć jej wspóÃlczynniki
na trzy sposoby (każdy da inny wynik — inne rozwiniȩcie) traktuja̧c f
jako “czȩść” funkcji f˜i : [−π, π] → C:
(
f (x),
x ∈ [0, π],
f˜1 (x) :=
f (−x), x ∈ [−π, 0).
(
f (x),
x ∈ [0, π],
f˜2 (x) :=
−f (−x), x ∈ [−π, 0).
f˜3 := rozszerzenie 2π okresowe funkcji f .
Wówczas rozwijaja̧c f˜1 otrzymamy rozwiniȩcie wzgl. cosinusów, f˜2
rozwiniȩcie wzgl. sinusów, a f˜3 rozwiniȩcie wzgl. sinusów i cosinusów.
4
Definicja 2 Szeregiem Fouriera funkcji caÃlkowalnej f nazywamy szereg trygonometryczny, którego wspÃlczynnikami sa̧ wspóÃlczynniki Fouriera funkcji f
i piszemy wtedy:
+∞
X
f (x) ∼
cn einx .
n=−∞
P
sin nx
Nie każdy szereg trygonometryczny jest szeregiem Fouriera (np. ∞
n=2 ln n
nie jest szeregiem Fouriera żadnej funkcji caÃlkowalnej. Natomiast szereg
Fouriera wielomianu trygonometrycznego:
N
X
cn einx
n=−N
to ten wielomian.
WspóÃlczynniki szeregu Fouriera zawieraja̧ jak siȩ okaże caÃlość informacji
o funkcji cia̧gÃlej 2π-okresowej f , zatem zamiast funkcji można zapisać jej
cia̧g wspóÃlczynników Fouriera. Jak siȩ okazuje w praktyce sumy czȩściowe
oddaja̧ lepiej “istotȩ” funkcji niż jej inne przybliżenia. Wyrazy z dużymi n,
to dragnia o wysokiej czȩstotliwości — w wielu zastosowaniach praktycznych
można je pomina̧ć bez szkody dla jakości przekazu.
Mathematica potrafi liczyć szeregi Fouriera (ich wspóÃlczynniki) dla wielu
funkcji patrz plik:
szeregi fouriera w4.nb
Tam też sa̧ polecenia dla obliczania rozwiniȩć wg. sinusów i cosinusów.
W pliku:
rozwiniecia fouriera w4.nb
sa̧ przykÃlady rozwiniȩć konkretnych funkcji i pokazane sa̧ wykresy sum
czȩściowych tych rozwiniȩć tak aby można sobie wyrobić pojȩcie o zbieżności
odpowiednich szeregów.
5
Dowód wzorów Eulera-Fouriera:
Niech dany bedzie szereg jednostajnie zbieżny na [−π, π]
f (x) =
+∞
X
cn einx
n=−∞
Zatem funkcja f jest 2π-okresowa i cia̧gÃla, wobec tego caÃlkowalna w sensie
Riemanna na przedziale [−π, π].
Obliczmy
Z
π
f (x)e−ikx dx
−π
Korzystaja̧c ze zbieżności jednostajnej szeregu mamy:
!
µZ
Z π
Z πÃX
+∞
∞
X
−ikx
inx
−ikx
f (x)e
dx =
cn e
e
dx =
cn
−π
−π
n=−∞
Trzeba wiȩc wyliczyć
n=−∞
Z
π
π
¶
ix(n−k)
e
dx
−π
eix(n−k) dx
−π
dla n, k ∈ N. Oznaczaja̧c m = n − k mamy:
Z
π
Z
eixm dx =
−π
(
π
cos mx + i sin mxdx =
−π
2π, dla m = 0;
0,
dla m 6= 0.
Podstawiaja̧c dostajemy:
Z
π
f (x)e−ikx dx = 2πck
−π
co należaÃlo udowodnić.
2
6
4. Różniczkowanie szeregów Fouriera
Okazuje sie, że szeregi Fouriera można różniczkować wyraz po wyrazie
niezależnie od jednostajnej zbieżności szeregu:
Twierdzenie 3 (o różniczkowaniu szeregów Fouriera) Jeśli f jest 2π-okresowa̧
funkcja̧ rzeczywista̧ lub zespolona̧ różniczkowalna̧ w sposób cia̧gÃly, to
cn (f 0 ) = incn (f ).
Dowód: CaÃlkuja̧c przez czȩści dostajemy:
¯π
Z π
Z π
¯
1
1
1
0
0
−inx
−inx ¯
cn (f ) =
f (x)e
dx =
f (x)e
f (x)ine−inx dx
¯ + 2π
2π −π
2π
−π
−π
{z
}
|
{z
} |
=0
=incn (f )
2
Powyższy wynik pozwala rozwia̧zywać równania różniczkowe postaci:
an f (n) (x) + an−1 f (n−1) (x) + . . . a1 f 0 (x) + a0 f (x) = g(x)
gdzie f jest szukana̧ funkcja̧ 2π-okresowa̧ i g jest dane i również 2π-okresowe.
ZaÃlóżmy, że
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . a1 x + a0
oraz niech (dn ) beda̧ wspóÃlczynnikami Fouriera funkcji g. Wówczas wspóÃlczynniki
Fouriera (cn ) funkcji f musza̧ speÃlniać równość:
P (ik)ck = dk
dla k ∈ N
zatem, jeśli P (ik) 6= 0 mamy:
ck =
dk
P (ik)
dla n ∈ N.
7