Temat 3: Funkcje wielu zmiennych 1 Zadanie 1 Dla danych funkcji

Zastosowania matematyki w ekonomii
Temat 3: Funkcje wielu
zmiennych
I rok SSL
Zadanie 1
Dla danych funkcji wyznacz pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:
1)
f x, y   5x3 y 2  4 xy3  3xy
2)
f  x, y  
x y
x y
3)
f x, y   3e2  4 x 7 y
5)
f  x, y  
4)
f x, y   2 x0,3 y 0,7
6)
f x, y   xesin x y ⌂
x
⌂
x  y2
2
2
Zadanie 2
Niech funkcją produkcji pewnego przedsiębiorstwa będzie QK , L   2K 0,6 L0, 4 , gdzie Q - wielkość produkcji
(w mln zł), K - wielkość nakładu majątku (w mln zł), L - wielkość nakładu pracy (w osobach). Wyznacz:
a)
b)
c)
d)
krańcową produktywność majątku,
krańcową produktywność pracy,
elastyczność produkcji względem nakładu majątku,
elastyczność produkcji względem nakładu pracy.
Zinterpretuj wyniki z punktów a) - d) dla K  100, L  200.
Zadanie 3 ⌂
Niech funkcją płac w pewnym przedsiębiorstwie będzie Ps, w  e 20,02s 0,05w , gdzie P - wysokość płacy (w zł),
s - staż pracy (w latach), w - wydajność pracownika (w % wykonania normy). Wyznacz:
a)
b)
c)
d)
parametr krańcowy płacy względem stażu pracy,
parametr krańcowy płacy względem wydajności pracownika,
elastyczność płacy względem stażu pracy,
elastyczność płacy względem wydajności pracownika.
Zinterpretuj wyniki z punktów a) - d) dla s  20, w  110.
Zadanie 4
Dla funkcji f x, y   e xy znajdź wskazane pochodne cząstkowe:
2
1)
2 f
x 2
2)
2 f
x y
3)
2 f
y x
4)
2 f
y 2
Zadanie 5
Zbadaj ekstrema funkcji:
1)
f x, y   x3  xy 2  6 xy
2)
f x, y   3x 3  3x 2 y  y 3  15x ⌂
3)


f x, y   e x y x 2  2 y 2 ⌂
Zadanie 6
Firma produkuje dwa wyroby w warunkach konkurencji doskonałej (tzn. ceny wyrobów są zmiennymi
egzogenicznymi). Ceny wyrobów pierwszego i drugiego wynoszą odpowiednio P1  12 oraz P2  18 . Funkcja
kosztu ma postać: C Q1, Q2   2Q12  Q1Q2  2Q22 , gdzie Q1 , Q2 oznaczają wielkość produkcji odpowiednio
pierwszego i drugiego wyrobu. Zakładamy, że poziom produkcji tożsamy jest z poziomem sprzedaży (tzn. nie
uwzględniamy możliwości gromadzenia zapasów).
Napisz równanie funkcji zysku  Q1 ,Q2  tej firmy. Znajdź poziomy produkcji Q1 i Q2 maksymalizujące zysk.
1
Zastosowania matematyki w ekonomii
Temat 3: Funkcje wielu
zmiennych
I rok SSL
Zadanie 7 ⌂
Rozwiąż poprzednie zadanie dla:


cen wyrobów: P1  12 oraz P2  16
funkcji kosztu postaci: C Q1 , Q2   2Q12  Q22
Zadanie 8 ⌂
Firma produkuje dwa substytucyjne wyroby w warunkach monopolu (tzn. ceny obu wyrobów P1 i P2 będą się
zmieniać w zależności od poziomu sprzedaży). Zakładamy, ze poziom produkcji tożsamy jest z poziomem
sprzedaży (tzn. nie uwzględniamy możliwości gromadzenia zapasów). Niech funkcje popytu Q1 i Q2 dane będą
równaniami: Q1  40  2P1  P2 , Q2  15  P1  P2 . Funkcja kosztu na postać: C Q1 , Q2   Q12  Q1Q2  Q22 .
Sformułuj funkcję zysku  Q1 ,Q2  tej firmy. Znajdź poziomy produkcji Q1 i Q2 maksymalizujące zysk. Znajdź
ceny P1 i P2 maksymalizujące zysk. Znajdź maksymalny zysk.
Zadanie 9 ⌂
Rozwiąż poprzednie zadanie dla:


funkcji popytu danych równaniami: Q1  10  P1  P2 , Q2  20  P1  2P2
funkcji kosztu postaci: C Q1 , Q2   Q12  Q1Q2  Q22
2
Zastosowania matematyki w ekonomii
Temat 3: Funkcje wielu
zmiennych
I rok SSL
ODPOWIEDZI DO ZADAŃ
Zadanie 1
1)
f
 15x 2 y 2  4 y 3  3 y
x
3)
f
 10x 3 y  12 y 2  3x
y
2)
f
 12 e 2  4 x  7 y
x
5)
f
 21e 2  4 x  7 y
y
f
2y

x x  y 2
4)
f
 y
 0,6  
x
x
 x
f
 1,4  
y
 y
f
 2x

y x  y 2
f
y2  x2

2
x
x2  y2


f
 2 xy

y
x2  y 2

0, 7
6)
0, 3

2

2
f
 esin x y 1  2 x 2 y cos x 2 y
x

2
f
 x3esin x y cos x 2 y
y
Zadanie 2
L
MQK K , L   1,2  
K
0, 4
K
b) MQL K , L   0,8  
L
c) EQK K , L  0,6 ,
0, 6
a)
,
MQK 100, 200  1,583
,
MQL 100, 200  0,528
EQK 100, 200  0,6
EQL 100, 200  0,4
d) EQL K , L  0,4 ,
Wskazówki:
Dla funkcji f x1 , x2  mamy:
Mf xi x1 , x2  
Parametr krańcowy:
Interpretacja:
f
x1 , x2  dla i  1,2 .
xi


Jeśli wartość zmiennej xi wzrośnie o jedną jednostkę od poziomu x10 , x20 , to wartość funkcji f


zmieni się o Mf xi x10 , x20 ceteris paribus (dla i  1,2 ).
Ef xi x1 , x2  
Elastyczność:
Interpretacja:
xi 
f
x1 , x2 
xi
dla i  1,2 .
f x1 , x2 


Ef xi x10 , x20 % ceteris paribus (dla i  1,2 ).
Zadanie 3
a)
MPs s, w  0,02e 20,02s0,05w ,
b) MPw s, w  0,05e
c)


Jeśli wartość zmiennej xi wzrośnie o 1% od poziomu x10 , x20 , to wartość funkcji f zmieni się o
20, 02s 0, 05w
EPs s, w  0,02 s ,
d) EPw s, w  0,05 w ,
,
MPs 20, 110  53,95
MPw 20, 110  134,86
EPs 20, 110  0,4
EPw 20, 110  5,5
3
Zastosowania matematyki w ekonomii
Temat 3: Funkcje wielu
zmiennych
I rok SSL
Zadanie 4
1)
2
2 f
 y 4 e xy
2
x
2) i 3)

2
2 f
2 f

 e xy 2 y  2 xy3
x y y x
Zadanie 5


 3,3  6
1)
f max  3,3  6 3 , f min
2)
f max  5 , 5  10 5 , f min


3
 5, 5   10
5
4

4)

2
2 f
 e xy 2 x  4 x 2 y 2
2
y

Zastosowania matematyki w ekonomii
Temat 3: Funkcje wielu
3)
zmiennych
I rok SSL
f max  4,2  8e 2
Zadanie 6
 Q1, Q2   12Q1  18Q2  2Q12  Q1Q2  2Q22
 max 2,4  48
Zadanie 7
 Q1 , Q2   12Q1  16Q2  2Q12  Q22
 max 3,8  82
Zadanie 8
 Q1 , Q2   55Q1  70Q2  2Q12  3Q1Q2  3Q22
 max 8,7 23   488 13
P1  39 13 , P2  46 23
Zadanie 9
 Q1 , Q2   40Q1  30Q2  3Q12  3Q1Q2  2Q22
 max 4 23 ,4  153 13
P1  26 23 , P2  21 13
5