Zadania z procesów Markowa Lista 10 1

Zadania z procesów Markowa
Lista 10
1. Prawdopodobieństwo wyrzucenia orła monetą A jest równe p = 0, 7, a monetą B jest p = 0, 6.
Jeżeli w chwili n pojawił się orzeł na wyrzuconej monecie, to w (n + 1)-szej chwili rzucana jest
moneta A, a jeżeli pojawiła się reszka, to w (n + 1)-szej chwili rzucana jest moneta B. W chwili
początkowej prawdopodobieństwo wylosowania monety A lub B jest 1/2.
(a) Znaleźć prawdopodobieństwo p(n), że w chwili n na wyrzuconej monecie pojawi się orzeł.
(b) Znaleźć p(n) dla n = 5.
2. Prawdopodobieństwo wyrzucenia orła monetą A jest 0, 6, a monetą B jest 0, 5. Wykonywane
są rzuty monetą do momentu pojawienia się orła i w tym momencie wykonujemy rzuty drugą
monetą do momentu pojawienia się orła, itd.
(a) Znaleźć prawdopodobieństwo p(n), że w chwili n jest rzucana moneta B, jeżeli w chwili
początkowej była rzucana moneta A?
(b) Znaleźć prawdopodobieństwo p(n) dla n = 5.
(c) Znaleźć proporcje rzutów monetą A.
3. W kolejnych chwilach wykonywane są próby w wyniku których może pojawić się sukces lub porażka. Jeżeli w ostatnich dwóch próbach były sukcesy, to w następnej próbie jest sukces z prawdopodobieństwem 0, 8. W przeciwnym razie w następnej próbie jest sukces z prawdopodobieństwem 0, 5.
(a) Znaleźć prawdopodobieństwo pojawienia się sukcesu p(n) w n-tej probie.
(b) Znaleźć p(n) dla n = 5.
(c) Znaleźć proporcje pojawień się sukcesów w wykonywanych próbach.
4. W 3 urnach kolorów czerwona, biała i niebieska są umieszczone kule. Urna czerwona zawiera
2 kule czerwone i 3 kule niebieskie. Urna biała zawiera 4 kule białe, 3 czerwone i 4 niebieskie.
Urna niebieska zawiera 3 kule białe, 4 czerwone i 2 niebieskie. W chwili początkowej losowana
jest urna z prawdopodobieństwem 1/3 dla każdej urny i z wylosowanej urny losowana jest kula,
którą następnie zwracamy do wylosowanej urny. W każdej następnej chwili kula jest losowana z
urny, której kolor odpowiada kolorowi kuli wylosowanej w poprzednim losowaniu i jest wrzucana
do tej urny.
(a) Znaleźć prawdopodobieństwo p(n), że w n-tym losowaniu pojawi się kula czerwona.
(b) Jaka jest proporcja losowanych urn?
(c) Jaka jest proporcja wylosowanych kul białych?
(d) Jaka jest proporcja wylosowanych kul niebieskich?
5. Każdego ranka męższczyzna opusza swoj dom aby pobiegać. Z jednakowym prawdopodobieństwem p = 0, 5 wychodzi albo drzwiami frontowymi albo tylnymi. Opuszczając dom ubiera
buty stojące koło drzwi, jeżeli jakieś są, w przeciwnym wypadku biega boso. Wracając do
domu wybiera drzwi z tym samym prawdopodobieństwem p = 0, 5 i zostawia koło drzwi buty.
Męższczyzna ma k par butów.
(a) Znaleźć prawdopodobieństwo p(n), że w n-tym biegu będzie biegał boso,
(b) Znaleźć p(n) dla n = 5.
(c) Jaka jest proporcja biegów boso?
6. Rozważmy następujący sposób tasowania talii n kart. Startując z początkowego uporządkowania
kart wybieramy jedną liczbę spośród liczb 1, 2 . . . , n z rozkładem jednostajnym. Jeżeli wybrana
jest liczba i, to kartę będącą na miejscu i kładziemy na wierzch talii, więc ma pozycję 1. Proces
1
ten powtarzamy wielokrotnie. Pokazać, że w granicy talia kart jest dokładnie potasowana, tzn.
każdy porządek ma prawdopodobieństwo 1/n!.
7. Dla serii zależnych prób prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie jest równe
jest liczbą sukcesów w poprzednich dwóch próbach.
(a) Znaleźć prawdopodobieństwo p(n), że w n-tej próbie pojawi się sukces,
(b) Obliczyć p(n) dla n = 5.
(c) Obliczyć prawdopodobieństwo limn P (sukces w n-tej próbie).
k+1
k+2 ,
gdzie k
8. Niech {Xn } będzie procesem, którego stanami są permutacje ciągu (1, 2, . . . , k), a dynamika
procesu jest następująca. W chwili (n + 1) losujemy jedną z liczb ze zbioru {1, 2, . . . , k} z
Pk
prawdopodobieństwem pi wylosowania liczby i,
i=1 pi = 1. Wtedy Xn+1 = (j1 , j2 , . . . , jk ),
gdzie j1 jest liczbą wylosowaną w chwili (n + 1)-szej, a uporządkowanie pozostałych liczb jest
zgodne z uporządkowaniem w chwili n, z uwzględnieniem tego, że liczba j1 opuściła swoje miejsce
i przeszła na pierwsze miejsce.
(a) Pokazać, że {Xn } jest JŁM i znaleźć jego macierz prawdopodobieństw przejść.
(b) Zbadać nieredukowalność, rekurencyjność i graniczne rozkłady tego JŁM.
(c) Pokazać, że graniczny rozkład dla uporządkowania (j1 , j2 , . . . , jk ) jest równe
π(j1 , j2 , . . . , jk ) = pj1
pjk−1
pj3
pj2
···
.
1 − pi1 1 − pi1 − pi2
1 − pi1 − · · · − pik−2
9. W każdej generacji populacja składa się z m genów i każdy gen może być typu A lub typu B.
Jeżeli generacja ma i genów typu A oraz (m−i) genów typu B, to w następnej generacji populacja
będzie miała j genów typu A i (m − j) typu B z prawdopodobieństwem
µ ¶ µ ¶j µ
¶
m
i
m − i m−j
,
j
m
m
j = 0, 1, . . . , m.
(a) Znaleźć P (Xn = k), gdzie Xn jest liczbą genów typu A w n-tej generacji, gdy X0 = 1,
(b) Znaleźć E(Xn |X0 = 3).
(c) Obliczyć prawdopodobieństwo sytuacji w której wszystkie geny będą typu A.
10. Niech {Xn } będzie nieredukowalny JŁM z przestrzenią stanów J = {0, 1, . . . , N } i macierzą
prawdopodobieństw przejść P = (pi,j ).
P
Niech xi = P (Xn odwiedzi stan N przed stanem 0|X0 = i) oraz
j∈J jpi,j = i, dla i =
1, 2, . . . , N − 1}. Pokazać, że xi = i/N.
11. Pewien człowiek posiada r parasoli, które zabiera do pracy lub z pracy. Jeżeli wychodzi z domu
(z pracy) rano (wieczorem) i pada deszcz, to zabiera parasol z domu (z pracy) jeżeli go tam ma.
Jeżeli nie pada, to nie zabiera parasola. Przyjmijmy, że niezależnie od przeszłosci w każdym dniu
z prawdopodobieństwem p rano pada deszcz i niezależnie od przeszłości z prawdopodobieństwem
p wieczorem pada deszcz. Niech Xn będzie liczbą parasoli w domu w n-tym dniu.
(a) Pokazać, że {Xn } jest JŁM i znaleźć jego macierz prawdopodobieństw przejść.
(b) Znaleźć P (Xn = 4) dla dowolnego n oraz dla n = 5.
(c) Znaleźć proporcję dni, w których człowiek zmoknie.
(d) Pokazać, że macierz prawdopodobieństw przejść ma rozkład stacjonarny π = (π1 , . . . , πr ),
gdzie
q
1
π0 =
, πi =
, i = 1, 2, . . . , r, q = 1 − p.
r+q
r+q
2
12. Niech {Xn } będzie nieredukowalnym i dodatnio rekurencyjnym JŁM z przestrzenią stanów J i
rozkładem stacjonarnym π = (πj , j ∈ J). Niech Yn = (Xn−1 , Xn ), n ≥ 1.
(a) Czy {Yn } jest JŁM?
(b) Jeżeli {Yn } jest JŁM to znaleźć limn P (Yn = (i, j)).
13. Niech Xn będzie liczbą kul w urnie A w modelu urnowym Ehrenfestów, w którym liczba wszystkich kul jest równa M. Niech µn = EXn . Pokazać, że
(a) µn+1 = 1 + (1 − 2/M )µn .
¡ M −2 ¢n
+
(EX0 − M
(b) µn = M
2
M
2 ).
14. Cząstka porusza się po n + 1 punktach na okręgu w następujący sposób. W każdej chwili cząstka
idzie o jeden krok zgodnie z ruchem wskazówek zegara z prawdopodobieństwem p i o jeden krok
w kierunku przeciwnym z prawdopodobieństwem q = 1 − p. Znaleźć wartość oczekiwaną czasu
powrotu cząstki do stanu zero, gdy startuje z tego punktu.
15. Rozważmy proces Galtona-Watsona, w którym średnia liczba urodzin dzieci dla każdego indywiduum jest równa µ < 1. Pokazać, ze jeżeli X0 = 1, to średnia liczba wszystkich idywiduów do
1
momentu wymarcia jest równa 1−µ
. Rozważyć również przypadek X0 = n.
3