Pod- i nadokreślone układy równań

Przykładowe zadania – Równania nadokreślone i podokreślone : listopad 2008
1
Zadanie 1. Rozwiązać układ równań
2x + 3y − 5z = −3
4x + 6y − 3z = 1
Odpowiedź:
Macierz rozszerzoną przekształcimy algorytmem GJ-BWEW.
2
3
4
6
.
-5 ..-3
2
=⇒
..
-3 . 1
0
2
3
0
0
.
-5 ..-3
2
=⇒
..
7.7
0
3
0
.
0 ..2
1
.. =⇒
1 .1
0
3/2
0
3
0
.
-5 ..-3
=⇒
.
1 .. 1
.
0 ..1
.
1 ..1
x = 1 − 1.5 · y
z=1
z
1.0
0.5
y
0.5
2/3
1.0
0.5
1.0
x
Otrzymane rozwiązanie określa rozmaitość jednowymiarową czyli prostą nieprzechodzącka przez
początek układu wspĺrzędnych.
Przykładowe zadania – Równania nadokreślone i podokreślone : listopad 2008
Zadanie 2. Rozwiązać układ równań
2x + 3y = 5
x+y =3
3x − 2y = 3
Odpowiedź:
Szukamy pseudorozwiązania w sensie MNK.

2
2 1 3
· 1
3 1 −2
3
2 1
3 1

3
14 1

1
=
1 14
−2


5
3
22


· 3 =
−2
12
3
14x + y = 22
x + 14y = 12
Czyli x = 1.5 , y = 0.75.
y
3
2
1
0.75
x
-1
1
-1
-2
1.5
2
3
4
2
Przykładowe zadania – Równania nadokreślone i podokreślone : listopad 2008
3
Zadanie 3. Określić czy układ równań ma rozwiązanie, jeśli nie to obliczyć rozwiązanie
przybliżone metodą najmniejszych kwadratów.
2x + 3y = 10
4x − 7y = 8
x − y + 2z = 1
x − 2y − z = 2
−2x + 3y = 6
5x + 9y = 14
3x − y + 5z = 3
−2x + 2y + 3z = −4
Uwaga: w MNK rozwiązanie Ax = b sprowadza się do rozwiązania Sx = t, gdzie S = AT A,
t = AT b.
Zadanie 4. Znaleźć pseudorozwiązanie w sensie MNK (metody najmniejszych kwadratów)
podanego układu równań:
x1 − 2x2 = 3
3x1 + 5x2 = −2
x1 + x2 = 0
Zadanie 5. Rozwiązać podane układy równań i podać graficzną interpretację rozwiązania
6x + 3y = 12
−2x + 5y = 20
1
x+y =4
2
6x + 3y = 12
1
x+ y =3
2
2x + y = 7
2x − y = 5
4x + 3y = 1
6x + 3y = 7
−2x + y = 5
1
x + y = 12
2
3
x+ y =7
4
Zadanie 6. Dany jest układ równań:
−x − y = 5
4x − 2y = −4
3x + 3y = −3
a) Określić czy układ ma rozwiązanie.
b) Obliczyć pseudorozwiązanie w sensie metody najmniejszych kwadratów.
c) Podać graficzną interpretację rozwiązania.
Zadanie 7. Oblicz pseudorozwiązanie w sensie metody najmniejszych kwadratów dla układu równań.


x + 2y = 0
x+y =1


x−y =3
Podaj graficzną interpretację rozwiązania.
Przykładowe zadania – Równania nadokreślone i podokreślone : listopad 2008
4
Zadanie 8. Oblicz pseudorozwiązanie w sensie metody najmniejszych kwadratów dla układu równań.

x+y−1=0



2x + y = 0
x
−1=0



x − y − 2 = 0.
Podaj graficzną interpretację rozwiązania
Zadanie 9. Oblicz rozwiązania poniższego ukłądu równań i podaj graficzną interpretację
rozwiązania.
2x + y + z = 3
4x − y + 2z = 6
Zadanie 10. Oblicz rozwiązanie poniższego układu równań i podaj graficzną interpretacje
rozwiązania
(
x + 2y + 4z = 2
2x + 3y − z = 3
Zadanie 11. Oblicz rozwiązanie poniższego układu równań i podaj graficzną interpretację
rozwiązania.
(
2x + y − 2z = 4,
4x − y + 3z = 2.
Zadanie 12. Rozwiązać podane układy równań i podać graficzną interpretację rozwiązania
2x1 + x2 − x3 =3
4x1 − 2x2 + 7x3 =4
3x1 + 15x2 − 4x3 + x4 =7
4x1 − x2 + 2x3 =6
−6x1 + 3x2 − x3 =6
x1 + 5x2 − 2x3 − x4 =2
Zadanie 13. Rozwiązać układ równań:
3x + 12y − 3z + w = 3
2x + 8y + 2z + 2w = 2