Zadanie 1. Obliczyć metodą Sarrusa wyznacznik macierzy A = 3 2 0

Matematyka Stosowana i Metody Numeryczne cz.1 : październik 2015
Zadanie 1. Obliczyć metodą Sarrusa wyznacznik

3
2
3
A =  −2
0 −3
1
macierzy

0
9 
2
Zadanie 2. Obliczyć macierz odwrotną do danej:


3
2 0
A =  −2
3 9 
0 −3 2
Zadanie 3. Rozwiąż układ równań metodą Gaussa:
4x1 − x2 + x3 = 8
2x1 + 5x2 + 2x3 = 3
x1 + 2x2 + 4x3 = 11
Zadanie 4. Rozwiązać układ równań metodą Gaussa-Jordana
4x − y + z = 8
2x + 5y + 2z = 3
x + 2y + 4z = 11
Zadanie 5. Znaleźć macierz odwrotną do danej

1 2
A= 0 4
0 0
metodą Gaussa-Jordana

3
5 
6
Sprawdzić poprawność rozwiązania.
Zadanie 6. Rozłożyć daną macierz na macierze górno- i dolnotrójkątną metodą Choleskiego


4 −6 −4
 −6 10
8 
−4
8
9
Zadanie 7. Rozwiązać układ równań metodą Choleskiego


 

4 −2
4
x
4
 −2
2 −2   y  =  −4 
4 −2 13
z
−5
Matematyka Stosowana i Metody Numeryczne cz.1 : październik 2015
2
Zadanie 8. Wykonać dwa kroki iteracji metodą Gaussa-Seidla dla układu równań
4x + y + 2z = 4
2x + 6y + z = 2
−x + y + 4z = −10
Przyjąć wektor startowy x(0) = [0, 1, 0]T
Odpowiedź: x(2) = [2.14583, 0.00694, −1.96528]T
Zadanie 9. Dla podanego układu równań


4x1 + 1x2 − 2x3
2x1 + 9x2 + 4x3


4x1 − 10x2 + 20x3
= 20
= 54
= 20
wykonać po 3 kroki iteracji metodą Jacobiego.
T
Jako wektor startowy przyjąć x(0) = [1, 1, 1] .
Odpowiedź: x(3) = [5.2444, 3.8778, 2.2644]T.
Zadanie 10. Rozwiązać podany układ równań i podać graficzną interpretację rozwiązania
2x + y − z =1
4x − y + 2z =2
Zadanie 11. Rozwiązać podany układ równań i podać graficzną interpretację rozwiązania
4x + 2y + 4z = 2
2x + 3y − z = 3
Zadanie 12. Oblicz pseudorozwiązanie w sensie metody najmniejszych kwadratów dla układu równań.


x + 2y = 0
x+y =1


x−y =3
Podaj graficzną interpretację rozwiązania.
Zadanie 13. Rozwiązać podany układ równań i podać graficzną interpretację rozwiązania
x + 2y = 2
x − 2y = −1
−2x + y = 1
Matematyka Stosowana i Metody Numeryczne cz.1 : październik 2015
3
Zadanie 14. Na podstawie danej tablicy pomiarów prędkości ruszającego samochodu:
i
t[s]
V (t)[m/s]
0
0
0
1
5
3.5
2
10
12
3
15
28.5
a) wyznacz postać funkcji prędkości stosując odpowiednie wielomiany bazowe Lagrange’a.
b) Ile wynosi prędkość dla t = 8 s ?
Zadanie 15. Stosując interpolację za pomocą wielomianu Lagrange’a stopnia trzeciego wyznaczyć wartość funkcji dla x=1.5
x
y
1
0
2
2
3
0
4
0
5
3
6
0
Wskazówka: Wybrać z tabeli odpowiednie węzły interpolacji.
Zadanie 16. Wyznaczyć wartość funkcji ϕ(x) dla x = −0.5 wykorzystując interpolację Hermita oraz dane z tabeli
-1
2
0
x
y(x)
y’(x)
0
0
1.5
Zadanie 17. Dokonać aproksymacji optymalnej w sensie MNK dla danych z tabeli, używając
wielomianu uogólnionego w postaci w(x) = A + Bx + Cx2 .
x
y
-2
2
-1
3
0
7
1
4
2
3
Zadanie 18. Dokonać aproksymacji optymalnej w sensie MNK dla danych z tabeli, używając
wielomianu uogólnionego w postaci ϕ(x) = a0 + a1 cos x.
x
0
π
3
π
2
π
y
2
-1
0
1
Zadanie 19. Rozwiązać równanie x2 − 1.8x − 8.19 = 0
• metodą bisekcji, przyjmując przedział [3.7, 4.2].
• metodą stycznych, przyjmując x0 = −3
• metodą zmoodyfikowaną Newtona–Rapsona przyjmując x0 = 6
Przyjąć wielkosć błędu ∆ = |xk+1 − xk | = 0.05
Zadanie 20. Metodą siecznych rozwiązać równanie nieliniowe −2x3 + 4x2 − 10x + 2 = 0.
Przyjąć przedział izolacji (0, 1), oraz błąd rozwiązania ∆ = 0.005