Wartości i wektory własne przekształcenia liniowego 1. Definicja i

Wartości i wektory własne przekształcenia liniowego
1. Definicja i podstawowe idee.
Rozważamy przeksztacenie liniowe L : Rn → Rn .
Definicja 1. Jeśli dla pewnej liczby λ ∈ R i pewego wektora v̄ 6= 0̄ zachodzi równość
L(v̄) = λ· v̄, to taką liczbę λ nazywamy wartością własną (ang. eigenvalue) przekształcenia
L, a wektor v̄ wektorem własnym (ang. eigenvector).
Wektory własne wskazują kierunki w przestrzeni liniowej, które są zachowywane przez
działanie operatora L. Wektor własny jest jedynie wydłużany lub skracany przez L, ale nie
zmienia kierunku (choć może zmienić zwrot). Często można myśleć, że znając wszystkie
wartości własne i odpowiadające im kierunki własne, dobrze rozumiemy, jak działa przekształcenie, bo jest ono złożeniem rozciągań i skracań w tych właśnie kierunkach własnych.
Okazuje się, że wektory odpowiadające różnym wartościom własnym są liniowo niezależne.
Uwaga. Wartość własna może wynosić zero, ale wektory własne to wektory niezerowe
(tzn. nie wszystkie współrzędne równe jednocześnie zero).
Przykład Niech L(x, y) = (2x + 3y, 2y). Dla wektora v̄ = (1, 0) mamy
L(v̄) = L(1, 0) = (2, 0) = 2 · (1, 0),
więc 2 jest wartością własną przekształcenia L, a v̄ = (1, 0) wektorem własnym odpowiadającym tej wartości. Co więcej, każdy wektor postaci (x, 0) jest wektorem własnym dla
wartości własnej 2, bo L(x, 0) = 2 · (x, 0).
Jeśli λ jest wartością własną przekształcenia L, to umawiamy sie oznaczać zbiór wszystkich wektorów własnych odpowiadających wartości λ przez Vλ . Można udowodnić, że jest
to podprzestrzeń liniowa przestrzeni Rn .
Niekiedy, tak jak w poniższym przykładzie, wprost z definicji wartości i wektorów własnych możemy zrozumieć, jak wyglądają wektory własne w konkretnym przypadku
Przykład Rozważmy L : R2 → R2 będące rzutem prostokątnym na prostą y = −x. Każdy
wektor leżący na tej prostej nie jest zmieniany przez rzut (bo już należy do prostej, na którą
rzutujemy). Tzn. L(v̄) = v̄, gdy v̄ jest postaci (x, −x). Zatem jedną z wartości własnych
jest λ = 1, a odpowiadają jej wektory (x, −x). Jeszcze inaczej, V1 = lin{(1, −1)}.
Z kolei wektory zaczepione w początku układu współrzędnych i prostopadłe do prostej
y = −x, czyli wektory postaci (x, x), są rzutowane na (0, 0). Zatem L(x, x) = (0, 0) =
0 · (x, x), więc drugą wartością własną jest 0, a V0 = lin{(1, 1)}.
Podobnie rozumując możemy uzyskać, że jeśli przekształcenie L : R2 → R2 jest symetrią
względem prostej y = −x, to ma dwie wartości własne: 1 i −1, przy czym V1 = lin{(1, −1)},
V−1 = lin{(1, 1)}.
2. Obliczanie
Wiadomo, że z każdym przekształceniem liniowym L na Rn możemy skojarzyć macierz
AL , zwaną macierzą przekształcenia, dla której
L(v̄) = AL · v̄,
1
gdzie o v̄ myślimy jako o wektorze kolumnowym. Znając macierz przekształcenia, możemy
sprawnie wyliczyć wartości i wektory własne, dzięki następującemu twierdzeniu.
Twierdzenie 1. Niech AL będzie macierzą przekształcenia liniowego L : V → V w bazie
standardowej. Liczba λ jest wartością własną przekształcenia L wtedy i tylko wtedy, gdy
det(A − λI) = 0.
W praktyce, daje nam to metodę poszukiwania wartości własnych przez liczenie pewnego wyznacznika z parametrem i przyrównanie go do zera. Wtedy odpowiednie wektory
własne możemy wyznaczyć rozwiązując równanie

x1
x2
..
.


(A − λI) · 














=
xn
0
0
..
.



.


0
Definicja 2. Wyznacznik W (λ) = det(A − λI) jest wielomianem zmiennej λ. Nazywamy
go wielomianem charakterystycznym przekształcenia L.
Przykład Obliczyć watości własne i wektory własne przekształcenia L : R2 → R2 danego
wzorem L(x, y) = (2x + y, x + 2y). "
#
2 1
Macierz tego przekształcenia to
. Rozpatrzymy wielomian charakterystyczny
1 2 2−λ
1 przekształcenie, czyli W (λ) = .
1
2−λ 2−λ
1
W (λ) =
1
2−λ
= (2 − λ)2 − 1 = (2 − λ − 1)(2 − λ + 1) = (λ − 1)(λ − 3)
Ponieważ W (λ) = 0 jedynie dla λ = 1 lub λ = 3, to te właśnie liczby są wartościami
własnymi przekształcenia L. Szukamy wektorów własnych:
dla λ = 1 mamy
"
# "
2−1
1
1
2−1
"
1 1
1 1
·
# "
x
y
·
x
y
#
#
"
0
0
#
"
0
0
#
0
0
#
=
"
=
0
0
#
x + y = 0,
czyli wektory własne dla λ = 1 są postaci v̄ = (x, −x);
dla λ = 3 mamy
"
2−3
1
1
2−3
"
−1 1
1 −1
# "
·
# "
·
x
y
x
y
#
=
#
"
=
x − y = 0,
czyli wektory własne dla λ = 1 są postaci v̄ = (x, x).
2