Ćwiczenie 1 Rozwiązanie równań różniczkowych zwyczajnych

Ćwiczenie 1
Rozwiązanie równań różniczkowych zwyczajnych
metodami numerycznymi
28 października 2004 roku
1 Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodami rozwiązywania numerycznego
(przybliżonego) równań różniczkowych zwyczajnych, a w szczególności praktyczne zastosowanie do tego celu metody Runge-Kutty rzędu pierwszego, drugiego
i czwartego.
2 Wprowadzenie
(Część teoretyczna znajduje się w pliku teoria.pdf lub jest dostępna w formie
papierowej u prowadzącego ćwiczenia)
3 Szczegółowy plan przeprowadzenia ćwiczenia
Zadaniem studenta jest napisanie programu do numerycznego rozwiązywania
następujących równań różniczkowych:
y0 = y
(1)
y0 = xy
(2)
0
y = 2x
√
y0 = 2 y
(3)
(4)
przy użyciu wymienionych we wstępie teoretycznym metod Runge-Kutta. Językiem programowania jest C++, a praca będzie realizowana w środowisku Microsoft Visual Studio 6.0 (MSV) w odpowiednio przygotowanym dla studenta
interfejsie. Wymaga się podstawowej znajomości języka C++, a w szczególności
opanowanie:
• deklaracji zmiennych i tablic
• indeksacji tablic
• tablice dynamiczne (komenda ”new”)
• tworzenie funkcji
• konstrukcji ”for”
• konstrukcji ”if - else”
Funkcjonujący program powinien być przetestowany ze względu na dokładność
obliczeń dla różnych konfiguracji (krok całkowania, obszar obliczeniowy) - rozwiązanie dokładne oraz błąd rozwiązania numerycznego jest wyliczany automatycznie w proponowanym interfejsie. Wnioski, spostrzeżenia oraz algorytm R-K
winny być zawarte w sprawozdaniu.
Rysunek 1: Okno główne MVS
4 Interfejs użytkownika
Interfejs służy do wprowadzania parametrów wejściowych oraz prezentacji wyników obliczeń w formie graficznej i stabularyzowanej, obie formy zawierają
obok rozwiązania numerycznego (proponowanego przez studenta) rozwiązanie
dokładne oraz błąd. Student otrzymuje kod źródłowy interfejsu w którym to,
w przeznaczonej do tego celu funkcji o nazwie ”Obliczenia()”, wpisuje algorytm
Runge-Kutty. Aplikacja przekazuje poprzez argumenty funkcji ”Obliczenia()”
parametry potrzebne do realizacji kodu odpowiedzialnego za całkowanie numeryczne, a w zamian oczekuje tablicy zawierającej rozwiązanie. Poniżej znajduje
się dokładny plan działania pozwalający na szybkie poznanie omówionej struktury.
Po przeprowadzeniu czynności wstępnych podanych przez prowadzącego i
załadowaniu projektu ”Rozwiazanie.dsw” student zobaczy okno główne MVS z
trzema podoknami jak na rysunku 1 a w nich:
1. okno z trzema zakładkami, z których najważniejsza jest zakładka ”ClassView” zawierająca listę wszystkich obiektów, funkcji. Student może dzięki niej szybko poruszać się w kodzie. Do zlokalizowania miejsca w którym należy wpisać algorytm proszę dwa razy kliknąć na ”Obliczenia(int
m nNumerRownania, int ...” (podświetlone na jasno zielony)
Rysunek 2: Okno interfejsu użytkownika
2. okno zawiera kod. Jeśli student wybierze klasę, lub funkcje z ”ClassView”
to w tym miejscu zostanie wyświetlona definicja tego obiektu; i tak dwukrotne kliknięcie na ”Obliczenia(int m nNumerRownania, int ...” pokaże
tą funkcję (jak na rysunku 1, podświetlenie fioletowe)
3. okno wielo-zakładkowe w których znaleźć można informacje o kompilacji
(błędach kompilacji), debugowaniu itp.
Użytkownik może teraz skompiliować i uruchomić program ”wykrzyknikiem”
(niebieskie podświetlenie). Pojawi się interfejs użytkownika jak na rysunku 2.
W tym momencie program pracuje w trybie demonstracyjnym i nie bierze pod
uwagę obecnie istniejącego kodu w funkcji ”Obliczenia()”, pozwala to na zapoznanie się z samym interfejsem jak i poprawnym rozwiązaniem.
Można więc:
1. Wybrać równanie
2. Wybrać metode całkowania
3. zobaczyć warunek początkowy (niezmienne w ogóle)
Rysunek 3: Przejście w tryb pracy
4. dobrać krok całkowania
5. dobrać dziedzinę (można tylko zmienić Xmax )
następnie, po wybraniu parametrów rozwiązania
6. żądać wykonania obliczeń
7. żądać wykresu graficznego pokazanego w 10
8. żądać wyników w tabeli 9
Po kilku próbach można przejść do trybu roboczego (rys. 3), w którym to po
naciśnięciu przycisku obliczeń (6) wszystkie parametry 1-5 zostaną przekazane
do procedury ”Obliczenia()”, zostanie wykonany kod w tej procedurze i po wybraniu wyników graficznych (cyfrowych) zostaną przedstawione dane uzyskane
w rezultacie proponowanego przez studenta rozwiązania, a dokładniej z wektora zwróconego przez funkcję ”Obliczenia()”. W tym momencie wykonanie tych
operacji da rozwiązanie błędne (brak zaimplementowanej metody R-K).
Przystąpmy do omówienia funkcji ”Obliczenia()”. Po jej zlokalizowaniu możemy przyjrzeć się jej argumentom i wartości zwracanej. Argumentami przekazywanymi do tej funkcji (a definiowanymi w interfejsie) są:
- ”int m nNumerRownania” - zmienna całkowita z przedziału 0-3 mówiąca o
wybranym przez użytkownika równaniu do rozwiązania (równania są numerowane od zera)
- ”int m nNumerMetody” - zmienna całkowita z przedziału 0-3 mówiąca o wybranej przez użytkownika metodzie całkowania
- ”float m nXZero” - lokalizacja warunku początkowego, czyli x0
- ”float m nYZero” - warunek początkowy, czyli y(x0 )
- ”float m nKrokCalkowania” - krok całkowania
- ”float m nXmin” - początek obszaru obliczeniowego Xmin
Rysunek 4: Wybór metody całkowania
- ”float m nXmax” - koniec obszaru obliczeniowego Xmax
wartością zwracaną przez procedurę jest adres tablicy typu float, w której mają
się znajdować kolejne wartości funkcji y(x). Tablicę taką trzeba stworzyć, zaalokować dla niej pamięć, wypełnić i na końcu zwrócić komendą ”return”. Jak
tworzymy tablicę? Poprzez instrukcję ”float* wynik=NULL;” tworzymy pustą
tablicę o nazwie ”wynik”, a komendą ”wynik=new float[m LiczbaKrokow+1]”
alokujemy pamięć dla ”m LiczbaKrokow+1” elementow (tablica ma zawierać
rozwiązanie oraz jeden dodatkowy element informujący interfejs o liczbie punktów rozwiązania). ”m LiczbaKrokow” to ilość kroków potrzebnych do całkowania w zadanym przedziale i przy ustalonym kroku, jest to wartość typu integer
i wylicza się ją ze wzoru:
m LiczbaKrokow =
Xmax − Xmin
+1
KrokCalkowania
(5)
Jako pierwszy element tablicy wpisujemy liczbę elementów rozwiązania ”wynik[0]=m LiczbaKrokow”, a dalej kolejne wartości rozwiązania, czyli będziemy
mieli tablicę z elementami [m LiczbaKrokow, y0 = y(xmin ), y1 , y2 , ..., yN = y(xmax )].
Tak stworzoną tablicę ”wynik” należy ’odpowiednio wypełnić’, czyli skorzystać
z odpowiedniej metody i równania różniczkowego.
Jako, że w funkcji ”Obliczenia()” będą wszystkie cztery równania i cztery metody to tablicę ”wynik” oraz kod ją wypełniający najlepiej jest umieścić w
konstrukcjach ”if”. Przykład, jeśli wybraliśmy metodę czwartą (rys. 4, RungeKutty czwartego rzędu) to ”m nNumerMetody” jest równe 3 (liczymy od zera)
i jeśli wybraliśmy równanie pierwsze to ”m nNumerRownania” jest równe 0, a
kod dla tej metody i tego równania umieszczamy w:
if(m nNumerMetody==3 && m nNumerRownania==0)
{
//kod
}
Tak samo dla pozostałych typów równań i metod całkowania.
Nie zapomnij na końcu o zwróceniu tablicy poprzez ”return wynik;”