Temat-3-wektory

Temat 3. WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
Zadanie 1. Znale´z´c reprezentanta wektora swobodnego w R5 o wspó÷rzed¾
nych [1; 2; 3; 4; 5] wiedzac,
¾ ·ze ma poczatek
¾ w punkcie x = (1; 2; 4; 3; 5).
Zadanie 2. Punkty a = (1; 2; 5; 0), b = (4; 3; 1; 1) ; c = (5; 3; 1; 3) sa¾
wierzcho÷kami pewnego równoleg÷oboku w R4 . Wyznaczy´c wspó÷rzedne
¾
czwartego
wierzcho÷ka tego równoleg÷oboku.
Zadanie 3. Wiedzac,
¾ ·ze poczatek
¾
p 2 R4 wektora skierowanego !
pq ma
wspó÷rzedne
¾
(1; 3; 5; 4),´srodkiem pary punktów (p; q) jest c = (1; 2; 3; 4), znale´z´c
wspó÷rzedne
¾
punktu q.
Zadanie 4. Punkty a = (2; 0; 1) i b = (8; 0; 3) sa¾ wierzcho÷kami trójkata
¾
abc. Wyznaczy´c wspó÷rzedne
¾
wierzcho÷ka c wiedzac,
¾ ·ze ´srodkowe trójkata
¾ abc
przecinaja¾ sie¾ w punkcie p = (4; 0; 5).
Zadanie 5. Wiedzac,
¾ ·ze a = ( 1; 4) 2 R2 oraz b; c sa¾takimi punktami R2 ,
!
·ze bc = [4; 5] oraz ´srodkiem pary punktów (a; b) jest ( 3; 0) wyznaczy´c wektor
zaczepiony w punkcie a i ko´ncu w ´srodku pary punktów (b; c).
Zadanie 6. Wykaza´c, ·ze czworokat¾ w R4 o wierzcho÷kach p = (2; 4; 6; 8),
q = (1; 1; 3; 5), r = (1; 4; 7; 6), s = (2; 1; 10; 9) jest prostokatem.
¾
Zadanie 7. W kwadracie o wierzcho÷kach p; q; r; s dany jest wierzcho÷ek
!
p = (3; 4) oraz wektor przekatnej
¾
pr = [2; 8]. Znale´z´c wektory wszystkich boków
2
kwadratu pqrs R .
Zadanie 8. Niech p0 ; p1 ; : : : ; pk bed
¾ a¾ dowolnymi punktami Rn . Wykaza´c,
!
!
·ze je·zeli ak = [pk p0 ] oraz aj = [pj pj+1 ] dla wszystkich j 2 f0; 1; : : : ; k
a0 + a1 +
+ ak =
1g ; to
:
Zadanie 9. W trójkacie
¾ abc dany jest wierzcho÷ek b = (0; 5) oraz wek!
!
tory boków ab = [3; 9], cb = [10; 8]. Znale´z´c wektor wysoko´sci trójkata
¾ abc
opuszczonej z wierzcho÷ka c na bok ab.
Zadanie 10. Punkty s1 = ( 2; 0; 1), s2 = (3; 0; 0), s3 = ( 2; 0; 4) sa¾
¾ T . Znale´z´c wspó÷rzedne
¾
jego wierzcho÷ków.
´srodkami boków trójkata
Zadanie 11. Punkty r = (4; 3; 2), s = ( 1; 2; 5) w przestrzeni R3 sa¾
przeciwleg÷ymi wierzcho÷kami kwadratu K. Wyznaczy´c wspó÷rzedne
¾
pozosta÷ych
wierzcho÷ków kwadratu K.
Zadanie teoretyczne 1. Niech a bedzie
¾
dowolnym niezerowym wektorem
swobodnym w Rn , b — dowolnym wektorem swobodnym w Rn . Wykazać, z·e a
1
i b sa¾ równoleg÷
e i przeciwnie skierowane (tzn. istnieje takie t < 0, z·e b = ta)
wtedy i tylko wtedy, gdy
jja
bjj = kak + jjbjj:
! 2 R
fk
Zadanie teoretyczne 2. Wykorzystujac
¾ reprezentanta a = [xy]
i przemienność powyz·szego diagramu (??) pokazać, z·e dowolne zachowujace
¾
odleg÷
ość odwzorowanie f : Rk ! Rn oraz przesuniecie
¾ f0 o wektor f (O)
spe÷
niaja¾ dla dowolnych x; y 2 Rk kolejno równości:
(a) f (y x) = f (y) f (x) + f (O) ;
(b) f ( x) = f (x) + f (O) ;
(c) f0 (y + x) = f0 (y) + f0 (x), (f0 jest addytywne),
(d) f0 ( x) = f0 (x).
2