planimetria cz. 1

PODSTAWY > Figury płaskie (1)
KĄTY
Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach:
Kąt możemy opisać wpisując w łuk jego miarę (gdy jest znana).
Przykład:
Gdy nie znamy miary kąta, oznaczamy go jedną z greckich liter np:
(gamma) , (delta) .
Przykład:
(alfa),
(beta),
W przypadku kątów zawartych w figurach płaskich, mamy jeszcze jedną możliwość –
opisanie kąta dużymi literami, pochodzącymi od wierzchołków figury.
Musimy w pierwszej kolejności opisać figurę dużymi literami, a następnie tworzymy nazwę
kątów, która składa się z trzech liter najbliższych wierzchołków, przy czym literę stojącą przy
wierzchołku kąta, stawiamy w nazwie kąta na drugim miejscu.
1
Przykład:
Podział kątów
Kąty dzielimy na podstawie ich miary:
Kąty wierzchołkowe
Kąty wierzchołkowe - to kąty powstałe poprzez przecięcie się dwóch prostych. Kąty
2
wierzchołkowe mają taką samą miarę.
Przykład:
Kąty przyległe
Kąty przyległe - to kąty „leżące” na jednej prostej. Ich suma wynosi
Przykład:
Oblicz miarę kąta
, jeżeli kąt
ma
oraz wiedząc, że są to kąty przyległe.
dane:
obliczenia:
Kąty naprzemianległe i odpowiadające
Z kątami naprzemianległymi mamy do czynienia, gdy dwie proste równoległe zostaną
przecięte trzecią prostą.
Kąty odpowiadające – to dwa kąty leżące w „ tym samym” miejscu, ale na innej prostej.
3
Kąty naprzemianległe – kąt jest naprzemianległy w stosunku do danego, gdy jest kątem
wierzchołkowym do kąta odpowiadającego.
Kąty odpowiadające i naprzemianległe mają taką samą miarę. W związku z tym w układzie
dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą, mamy do czynienia z dwoma
miarami kątów – kątów tej samej miary są dwie pary. Te same kąty przedstawimy na rysunku
(są oznaczone tym samym kolorem):
OZNACZENIA FIGUR PŁASKICH
Długości boków, czy innych odcinków zawierających się w figurach płaskich, możemy
oznaczać na dwa sposoby:
Za pomocą małych liter. Sami dobieramy litery, ale pamiętajmy, że boki o tej samej
długości, musimy oznaczyć tą samą literą.
Przykład:
4
Za pomocą dużych liter zapisywanych w wierzchołkach. Nazwa danego boku
jest tworzona za pomocą dwóch liter (zapisywanych alfabetycznie), opisujących wierzchołki,
stanowiące końce danego boku. Oznaczając wierzchołki danej figury dużymi literami,
zaczynamy od wierzchołka w lewym dolnym rogu, a następnie opisujemy pozostałe
przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Przykład:
UWAGA: Gdy mamy na myśli długość danego boku ( np. zapisując bok we wzorze na pole,
obwód itp.) nazwę boku należy zapisać pomiędzy pionowymi kreskami: |AB|).
PODZIAŁ I NAZEWNICTWO FIGUR PŁASKICH
Ogólnie figury płaskie dzielimy pod względem liczby ich boków, mamy:
- trójkąty (3 boki),
- czworokąty (4 boki),
- pięciokąty (5 boków),
- sześciokąty (6 boków),
...
5
Istotny jest podział wewnętrzny dwóch grup figur: trójkątów i czworokątów.
Podział trójkątów
Trójkąty dzielimy pod względem dwóch kryteriów: boków i kątów:
Nazwa trójkąta powinna zawierać dwa człony – nazywające trójkąt pod względem obu
kryteriów.
Przykład:
- trójkąt równoramienny prostokątny
6
Podział czworokątów
Ponadto wyróżniamy dwa specyficzne rodzaje trapezów:
trapez równoramienny (którego ramiona mają taką samą długość);
trapez prostokątny – jeden z jego kątów jest prosty.
Figury foremne
Są to figury, które mają wszystkie boki tej samej długości i wszystkie kąty tej samej miary.
Przykładowo: trójkątem foremnym jest trójkąt równoboczny, czworokątem foremnym jest
kwadrat.
7
KĄTY W FIGURACH
W czworokątach
Suma miar wszystkich kątów wewnętrznych w każdym czworokącie wynosi
Przykład:
Miary kolejnych kątów w pewnym czworokącie wynoszą:
czwartego kąta.
,
,
.
. Oblicz miarę
dane:
obliczenia:
Poszczególne czworokąty mają ponadto pewne własności związane z miarą ich kątów:
- równoległobok
W równoległoboku przeciwległe kąty (dwa kąty ostre i dwa kąty rozwarte) mają taką samą
miarę, a suma dwóch różnych (sąsiadujących) kątów wynosi
.
8
- trapez
W trapezie zachodzą następujące związki:
- prostokąt
W prostokącie (więc także w kwadracie) wszystkie kąty są proste.
W trójkątach
Suma miar wszystkich kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi
Ponadto:
- w trójkącie równobocznym
Wszystkie kąty mają tą samą miarę, która wynosi
.
.
- w trójkącie równoramiennym
Kąty przy podstawie mają tą samą miarę.
9
Kąty w okręgu
Okrąg może zawierać dwa rodzaje kątów:
- kąt wpisany – jego wierzchołek i ramiona są oparte na okręgu;
Przykład:
- kąt środkowy – jego wierzchołek znajduję się w środku okręgu, a ramiona są oparte na
obręczy okręgu;
Przykład:
Należy zapamiętać 3 zależności:
- dwa kąty wpisane, oparte na tym samym łuku, mają tą samą miarę;
- jeżeli mamy dane dwa kąty: środkowy i wpisany, oparte na tym samym łuku, to kąt
środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego;
10
- kąt wpisany oparty na połowie okręgu, jest kątem prostym.
OBWODY FIGUR PŁASKICH
Poniższych wzorów nie trzeba uczyć się na pamięć. Wystarczy, że zrozumiemy, jak zostały
stworzone i możemy uzyskać je sami.
Obwód figury płaskiej jest sumą wszystkich jej boków.
11
12
Przykład:
Oblicz obwód prostokąta o długości 6cm i szerokości 4cm.
dane:
wzór:
Odpowiedź: Obwód prostokąta wynosi 20cm.
13
POLA FIGUR PŁASKICH
Pola figur płaskich mają jednostki kwadratowe (np.
).
Zanim przedstawimy poszczególne wzory, należy jeszcze wyjaśnić dwa pojęcia:
wysokość figury – jest to odcinek łączący jeden z wierzchołków figury i przeciwległy bok
(podstawę), opuszczony na ten bok pod kątem prostym. Oznaczamy literą „h”.
Przykład:
przekątna czworokąta - odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki czworokąta.
Oznaczamy literą „d” (ewentualnie e i f ).
Przykład:
Wzory na pola figur płaskich
14
Przykład:
Oblicz pole trapezu, którego podstawy mają długość 10cm i 6cm, a wysokość ma długość
5cm.
dane:
wzór:
UWAGI:
Gdy figura poszczególne odcinki ma oznaczone innymi literami, wzory należy zapisać za
pomocą tych liter.
Przykład:
Dla prostokąta oznaczonego literami c i d wzór będzie miał postać:
Niektóre wzory można wykorzystać na kilka sposobów.
Przykładowo – w przypadku trójkąta pole możemy obliczyć za pomocą 3 „zestawów”
podstaw i opadających na nie wysokościach:
15
Pole trójkąta prostokątnego.
W przypadku trójkąta prostokątnego, gdy za podstawę przyjmujemy jeden z boków tworzący
kąt prosty, to wysokością jest drugi z boków, tworzących kąt prosty, dlatego wzór na pole
trójkąta prostokątnego może przyjąć postać:
KOŁO I OKRĄG
Pomiędzy kołem i okręgiem jest zasadnicza różnica. Okrąg składa się wyłącznie z „obręczy”,
a koło jest wypełnione w środku:
W związku z tym koło ma zarówno obwód, jak i pole. W przypadku okręgu, możemy
obliczać tylko obwód, bo okrąg jako „pusty” w środku, nie ma pola.
16
Zarówno okrąg, jak i koło mają trzy podstawowe parametry:
- środek okręgu (środek koła) – oznaczany literą „O” lub „S”;
- średnica – oznaczana literą „d” lub „D”. Średnica jest dwa razy większa od promienia:
d = 2r;
- promień – oznaczany literą „r”.
Obwód i pole
We wzorach na pole i obwód mamy do czynienia z wartością
przybliżeniu równa 3,14.
(czytaj: pi), która jest w
obwód okręgu i koła:
pole koła:
Przykład:
Oblicz obwód i pole koła o promieniu 5cm.
dane:
r = 5cm
obliczenia:
17