1. Napisać równanie ruchu ciała o masie m = 10 g drgającego

1. Napisać równanie ruchu ciała o masie m = 10 g drgającego ruchem harmonicznym, jeśli przy
wychyleniu z położenia równowagi o x = 10 cm działa na niego siła F = 2 N, amplituda ruchu A =
20 cm, a w chwili początkowej xo = 5 cm. [x = 0.2sin(44.7t+14.48)]
2. Jaka jest prędkość punktu materialnego wykonującego ruch harmoniczny w punkcie odległym
od położenia równowagi równym połowie amplitudy, jeżeli maksymalna prędkość jaką osiąga ten
punkt wynosi vo? [v = vo√3/2]
3. Po jakim czasie od chwili początkowej punkt materialny wykonujący drgania harmoniczne
przesunie się na odległość równą połowie amplitudy, jeżeli faza początkowa jest równa zeru, a
okres drgań T = 12 s? [1 s]
4. Prędkość ciała o masie 0,2kg wykonującego drgania harmoniczne ma postać v(t) = 0,14
/s ⋅ cos(2,8s-1⋅t). Ile wynosi całkowita energia drgań tego ciała , oraz jaka jest jego częstotliwość
drgań (w Hz). [ E = 0,00196 J , f = 0,446 Hz ]
m
5. Amplituda drgań wahadła matematycznego w ciągu 1 min zmalała o połowę. Ile razy zmaleje
ona w ciągu 3 min? [8 razy]
6. Po upływie 15 s amplituda drgań kamertonu zmniejszyła się 100 razy. Znaleźć współczynnik
tłumienia drgań. [0.307 s-1]
7. Znaleźć częstość drgań ciężarka o masie m = 0.2 kg zawieszonego na sprężynie i zanurzonego w
oleju, jeśli współczynnik oporu oleju b = 0.5 kg/s a współczynnik sprężystości sprężyny k = 50
N/m. [2.5 s-1]
8. Ciało zawieszone na sprężynie wychylono w dół z położenia równowagi o ∆x=0.1 m,
a następnie popchnięto w górę tak, że amplituda drgań A=0.2 m. Drgania są nietłumione.
a) Narysować początkową część wykresu drgań x(t) dla jednego okresu.
b) Obliczyć fazę początkową.
c) Obliczyć położenie ciała po czasie t = 1.75 T, gdzie T jest okresem drgań.
[φo = – π/6, x = – 0.1732 m]
9. Ciało zawieszone na sprężynie wychylono w górę z położenia równowagi o ∆x=3/2 cm,
a następnie popchnięto w górę tak, że amplituda drgań A= 3 cm. Drgania są nietłumione.
a) Narysować początkową część wykresu drgań x(t) dla jednego okresu.
b) Obliczyć fazę początkową.
c) Obliczyć położenie ciała po czasie t = 3.75 T, gdzie T jest okresem drgań.
[φo = π/3, x = – 0.866 m]
10. Ciało o masie m= 0.1 kg zawieszone na sprężynie o stałej sprężystości k= 0.1 N/m wychylono w
górę z położenia równowagi o ∆x=1 cm, a następnie popchnięto w dół nadając mu prędkość
początkową vo= 3 cm/s. Drgania są nietłumione.
a) Narysować początkową część wykresu drgań x(t) dla jednego okresu.
b) Obliczyć amplitudę i fazę początkową.
c) Obliczyć położenie ciała po czasie t = 0.25 T, gdzie T jest okresem drgań.
[φo = 5π/6, A = 0.02 m, x = – 0.01732 m]
11. Ciało o masie m= 0.1 kg zawieszone na sprężynie o stałej sprężystości k= 0.4 N/m wychylono w
dół z położenia równowagi o ∆x=1 cm, a następnie popchnięto w dół nadając mu prędkość
początkową vo= 2/ 3 cm/s. Drgania są nietłumione.
a) Narysować początkową część wykresu drgań x(t) dla jednego okresu.
b) Obliczyć amplitudę i fazę początkową.
c) Obliczyć położenie ciała po czasie t = 0.25 T, gdzie T jest okresem drgań.
[φo = – 2π/3, A = 0.01155 m, x = – 0.001916 m]
12. Ciało o masie m= 0.1 kg zawieszone na sprężynie o stałej sprężystości k= 2.5 N/m i zanurzone w
cieczy ze współczynnikiem oporu b=0.6 Ns/m wychylono w górę z położenia równowagi o ∆x=1 cm
i puszczono nie nadając prędkości początkowej.
a) Narysować początkową część wykresu drgań x(t) dla jednego okresu.
b) Obliczyć amplitudę i fazę początkową.
c) Obliczyć położenie ciała po czasie t = 0.25 T, gdzie T jest okresem drgań.
[φo = 0.9273 rad, Ao = 1.25 cm, x = +0.2309 cm]
13. Ciało o masie m= 0.1 kg zawieszone na sprężynie o stałej sprężystości k= 2.5 N/m i zanurzone w
cieczy ze współczynnikiem oporu b=0.6 Ns/m wychylono w dół z położenia równowagi o ∆x=1 cm
nadając mu prędkość początkową w górę vo=3 cm/s.
a) Narysować początkową część wykresu drgań x(t) dla jednego okresu.
b) Obliczyć amplitudę i fazę początkową.
c) Obliczyć położenie ciała po czasie t = 0.5 T, gdzie T jest okresem drgań.
[φo = – π/2, Ao = 1 cm, x = +0.09478 cm]
14. Tłok o masie m=0.1 kg znajduje się w pionowym cylindrze, który posiada u dołu duży zawór
niestawiający oporu powietrzu. Gdy zawór jest otwarty, tłok opada w dół ze stałą prędkością vt=0.5
m/s na skutek oporu stawianego przed lepką warstwę oleju znajdującego się pomiędzy tłokiem a
cylindrem. W pewnej chwili (przyjąć t=0, x=0) podczas takiego opadania zamknięto zawór i od tej
pory tłok porusza się ruchem drgającym z okresem T=0.6283 s (rolę sprężyny spełnia powietrze
zamknięte pod tłokiem). Obliczyć współczynnik oporu lepkiego, współczynnik tłumienia,
współczynnik sprężystości, amplitudę początkową Ao i fazę początkową, czas osiągnięcia
pierwszego dolnego i pierwszego górnego max. wychylenia wraz z tymi wychyleniami, prędkość w
czasie pierwszego przejścia przez położenie równowagi.
Przyjąć g=10 m/s2.
[b=2 Ns/m, β=10 s-1, ω=10 s-1, k=20 N/m, Ao =0.05 m, φo=π, t1/2= 0.0785 s, t1=0.3927 s,
A1/2= 0.0161 m, A1=0.0007 m, v1=0.0216 m/s] Uwaga: żeby obliczyć czas osiągnięcia maksimum
wychylenia, należy zastanowić się nad prędkością ciała w tym czasie.
Rozwiązanie dokładne, uwzględniające wychylenie początkowe xo = mg/k = 0.05 m :
[b=2 Ns/m, β=10 s-1, ω=10 s-1, k=20 N/m, Ao =0.05 m, φo=π/2, t1/2= 0.2356 s, t1=0.5498 s,
wmax =xo+A1/2= 0.05+0.00335 = 0.05335 m, A1=0.000145 m, v1= -0.1039 m/s]
15. Tłok o masie m=0.1 kg wsunięto w pionowy cylinder, który posiada u dołu duży zawór, na razie
zamknięty (niestawiający oporu powietrzu, gdy jest otwarty). Tłok pod wpływem swojego ciężaru
opuścił się o ∆x=0.125 m. Potem zawór otwarto, a tłok opadał w dół ze stałą prędkością vt=1.25 m/s
na skutek oporu stawianego przed lepką warstwę oleju znajdującego się pomiędzy tłokiem a
cylindrem. W pewnej chwili (przyjąć t=0, x=0) podczas takiego opadania zamknięto zawór i od tej
pory tłok porusza się ruchem drgającym (rolę sprężyny spełnia powietrze zamknięte pod tłokiem).
Obliczyć współczynnik oporu lepkiego, współczynnik tłumienia, współczynnik sprężystości,
amplitudę początkową Ao i fazę początkową, czas osiągnięcia pierwszego dolnego i pierwszego
górnego max. wychylenia wraz z tymi wychyleniami, prędkość w czasie pierwszego powrotu do
położenia równowagi.
Przyjąć g=10 m/s2.
[k=8 N/m, ω=8 s-1, b=0.8 Ns/m, β=4 s-1, Ao =0.1563 m, φo=π, t1/2= 0.1384 s, t1=0.5311 s,
A1/2= 0.0803 m, A1=0.0167 m, v1=0.2598 m/s] Uwaga: żeby obliczyć czas osiągnięcia maksimum
wychylenia, należy zastanowić się nad prędkością ciała w tym czasie.
Rozwiązanie dokładne, uwzględniające wychylenie początkowe xo = ∆x= mg/k = 0.125 m :
[k=8 N/m, ω=8 s-1, b=0.8 Ns/m, β=4 s-1, Ao =0.15625 m, φo=2.2143 rad, t1/2= 0.2543 s, t1=0.6470 s,
wmax =xo+A1/2= 0.125+0.0505 = 0.1755 m, A1=0.0105 m, v1= -0.7862 m/s]
16. Stwierdzono, że walec o masie M=0.25 kg pływający w lepkiej cieczy, lekko potrącony w
kierunku pionowym, drga z okresem T1=0.6283 s, a gdy położymy na nim masę m=0.05 kg (walec
dalej pływa po powierzchni, a masa m nie zanurza się), drga z okresem T2=0.6744 s. Następnie, po
ustaniu tych drgań, z nieruchomego walca zanurzonego pod wpływem masy m na dodatkową
głębokość ∆x=0.016 m szybko zdjęto tę masę. Wyznaczyć stosunek kolejnych amplitud oraz
kinematyczne równanie ruchu walca po zdjęciu masy. Na jaką maksymalną wysokość H wynurzy
się masa M+m? Uwaga: pod wpływem dodatkowej masy m nie zmienia się współczynnik
sprężystości ani oporu lepkiego. Przyjąć g=10 m/s2.
[ω=10 s-1, β =5 s-1, An/An+1=23.14, φo= –2.0345 rad, Ao =0.0179 m,
x=0.0179e-5tsin(10t–2.0345) , H= ∆x+A1/2=0.0160+0.0033=0.0193 m] Uwaga: żeby obliczyć
czas osiągnięcia maksimum wychylenia, należy zastanowić się nad prędkością ciała w tym czasie.
17. Stwierdzono, że walec o masie M=0.20 kg pływający w lepkiej cieczy, lekko potrącony w
kierunku pionowym, drga z okresem T1=0.5804 s, a gdy położymy na nim masę m=0.05 kg (walec
dalej pływa po powierzchni, a masa m nie zanurza się), drga z okresem T2=0.6283 s. Następnie, po
ustaniu tych drgań, powoli zdjęto masę m, na skutek czego masa M podniosła się na ∆x=0.016 m.
Masę m podniesiono dodatkowo na wysokość h=0.0125 m (licząc od położenia równowagi samej
masy M) i spuszczono na masę M (zderzenie doskonale niesprężyste), wywołując nowe drgania
masy M+m. Wyznaczyć stosunek kolejnych amplitud oraz kinematyczne równanie ruchu walca po
zdjęciu masy. Na jaką maksymalną głębokość H zanurzy się masa M+m? Uwaga: pod wpływem
dodatkowej masy m nie zmienia się współczynnik sprężystości ani oporu lepkiego. Przyjąć g=10
m/s2.
[ω=10 s-1, β =5 s-1, An/An+1=23.14, φo= 1.6952 rad, Ao =0.0161 m,
x=0.0161e-5tsin(10t+ 1.6952), H= ∆x+A1/2=0.0160+0.0040=0.0200 m]
verte
k
x = 0 ma postać x (t ) = A cos(ωt + ϕ ) , gdzie
m
A i ϕ są stałymi całkowania. Wyznaczyć stałą ω. Wyznaczyć stałe całkowania z warunków
początkowych:
I. x (0) = xo , x& (0) = 0
II. x (0) = 0, x& (0) = vo
Egz. 1a. Całka ogólna równania różniczkowego &&
x+
k
x = 0 ma postać x (t ) = A sin(ω t + ϕ ) , gdzie
m
A i ϕ są stałymi całkowania. Wyznaczyć stałą ω. Wyznaczyć stałe całkowania z warunków
początkowych:
I. x (0) = xo , x& (0) = 0
II. x (0) = 0, x& (0) = vo
Egz. 1b. Całka ogólna równania różniczkowego &&
x+
Fo sin(ω t )
, ma postać:
m
x (t ) = B sin(ω t ) + C + D⋅t . Dane są m, Fo, ω oraz warunki początkowe: x(0) = xo , v(0) = vo.
Wyznaczyć stałe B, C, D. Które z tych stałych są stałymi całkowania.
Odp: B= - Fo/mω2 , C= xo , D= vo – Bω = vo + Fo/mω ; C,D – stałe całkowania.
k
x + x = 0 ma postać
Egz. 1d. Całka ogólna równania różniczkowego &&
m
x (t ) = A cos(ω t ) + B sin (ω t ) , gdzie A, B są stałymi całkowania. Wyznaczyć stałą ω. Wyznaczyć
stałe całkowania z war. początkowych:
I. x (0) = xo , x& (0) = 0
II. x (0) = 0, x& (0) = vo
x=
Egz. 1c. Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego &&
Fo cos(ω t )
, ma postać:
m
x (t ) = B cos(ω t ) + C + D⋅t . Dane są m, Fo, ω oraz warunki początkowe: x(0) = xo ,
Wyznaczyć stałe B, C, D. Które z tych stałych są stałymi całkowania?
Egz. 1e. Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego &&
x=
v(0) = vo.