Dywergencja w diagramach

Tytuł Roboczy, 2007.05/06 (019) [w przygot.]
Copyright © 2007 by Zenon Kulpa
Dywergencja w diagramach,
czyli odmiana przez przypadki
Lecz to, do czego winni my d y … to rozpoznanie podobie stw
ukrytych pod pozornymi dywergencjami.1
(Robert M. Pirsig: Zen and the Art of Motorcycle Maintenance, 1974)
Metoda dywergencji, cho pod innymi nazwami, jest powszechnie u ywana przy reprezentowaniu lub przetwarzaniu informacji, w tym tak e w matematyce. W tej ostatniej dziedzinie
nosi ona nazw „rozumowania przez przypadki.” Dywergencja polega na tym, e przedstawienie jakiego zestawu informacji lub rozwi zanie jakiego problemu nie jest realizowane za
pomoc jednego sposobu przedstawienia lub ci gu rozumowania, lecz podzielone jest na kilka ró nych przypadków rozpatrywanych oddzielnie.
Dywergencja ma tak e istotne zastosowanie w u ywaniu diagramów, jak to ju przewin ło si
w przykładach w poprzednich odcinkach.2 Proste przykłady przypomn nam istot tej metody. Na pocz tek spróbujmy przedstawi diagramowo informacj :
Wlazł kotek na płotek.
Dokonali my tego w poprzednim odcinku jak nast puje:
Je li si jednak bli ej przyjrze temu obrazkowi, to wida , e
jednostkowo diagramów3 dała o sobie wyra nie zna : tak
naprawd przedstawili my tu bardziej specyficzn informacj .
Je li ograniczy si tylko do kwestii poło enia kotka, to obrazek przedstawia informacj mniej wi cej tak :
Kotek wlazł na płotek na prawo od furtki i skierował si w lewo.
Je li chcemy przedstawi kotka na płotku w bardziej ogólny sposób, musimy jako zaznaczy , e nie tylko ten jeden szczególny przypadek poło enia kotka nas interesuje. Jednym ze
sposobów takiego zaznaczenia jest dywergencja – przedstawienie na oddzielnych diagramach
wszystkich mo liwo ci, jakie mog wyst pi . Dla uproszczenia usun łem furtk i dró k :
albo
albo
albo
Metoda dywergencji jest praktyczna wtedy, gdy liczba przypadków nie jest zbyt du a. Je li
jest ich wiele, lepiej poszuka innych sposobów reprezentacji zbiorów mo liwo ci, np. w taki
sposób, jak w przykładzie z much nad stołem w jednym z poprzednich odcinków.4 Podobnie
sprawa si przedstawia przy wnioskowaniu diagramowym. Przykład rozumowania dywergentnego wyst pił ju w twierdzeniu o punkcie przeci cia si wysoko ci w trójk cie w tym e
odcinku. Tu posłu ymy si znowu klasycznym przykładem rozumowania sylogistycznego.5
111
Załó my mianowicie, e mamy dwa zdania w formie, w jakiej wyst puj one w sylogizmach:
1) Wszystkie A s B.
2) adne A nie s C.
Zastosujmy metod kół Eulera, przedstawion w poprzednim odcinkach,6 do wyci gni cia
odpowiedniego wniosku z tych przesłanek. Przypomnijmy najpierw rysunek podaj cy znaczenie odpowiednich poło e kół wzgl dem siebie (prosz zwróci uwag na sposób przedstawienia relacji [SiP] i [SoP] – diagramy ró ni si tylko poło eniem etykiet S):
⊆
∩ =∅
∩ ≠∅
≠∅
Narysujmy teraz odpowiednie koła Eulera dla naszego przykładu:
Z kół mo emy teraz odczyta wniosek:
3) adne B nie s C.
Czy słusznie? Na pocz tek sprawd my na przykładach „z ycia”. We my np. A = koty, B =
czworonogi, C = ptaki. Dla tych zbiorów obiektów rozumowanie wygl dałoby tak:
1) Wszystkie koty s czworonogami.
2) adne koty nie s ptakami.
Zatem:
3) adne czworonogi nie s ptakami.
Zarówno przesłanki, jak i wniosek s zatem prawdziwe. Ale przyjmijmy A i B jak poprzednio, natomiast C = gady. Mamy wtedy;
1) Wszystkie koty s czworonogami.
2) adne koty nie s gadami.
Zatem:
3) adne czworonogi nie s gadami.
Przesłanki (1) i (2) s równie prawdziwe w tym przypadku, ale wniosek niestety nie – takie
np. jaszczurki lub ółwie to czworono ne gady...
112
Oznacza to, e u yty przez nas schemat rozumowania nie jest ogólnie prawdziwy dla ka dych
zbiorów obiektów A, B, C, dla których spełnione s przesłanki, a zatem nasz schemat nie jest
poprawnym sylogizmem.
Dlaczego tak si stało – co zrobili my le? Przyjrzyjmy si drugiej przesłance: (2) adne A
nie s C. Jak wida na rysunku, okre la ona poło enie koła oznaczonego C wzgl dem koła
oznaczonego A, nakazuj c, by te koła były rozł czne – i tak wła nie koło C narysowali my.
Ale narysowali my je tak e jako rozł czne z kołem B, co odpowiada zdaniu (2' ) adne B nie
s C. Jednak e informacja o poło eniu koła B wzgl dem koła C nie jest podana, powinni my
zatem rozpatrzy wszystkie mo liwe poło enia tych kół nie naruszaj ce przesłanki (1), czyli
zapewniaj ce rozł czno kół A i B. Łatwo zauwa y , e mamy tu cztery zasadnicze przypadki, nie tylko ten jeden uwzgl dniony na naszym poprzednim rysunku:
3a) Wszystkie C s B.
3b) Niektóre C s B.
3c) Niektóre C nie s B.
3d) adne C nie s B.
Czyli wszystkie mo liwe relacje mi dzy zbiorami B i C (wyliczone na rysunku przedstawiaj cym znaczenie ró nych poło e kół Eulera) mog zachodzi – spełnienie przesłanek (1) i
(2) nie nakłada adnych ogranicze na te relacje. Np. w przypadku kotów, czworonogów i
ptaków zachodzi (3d), natomiast gdy zamienimy ptaki na gady, zachodzi (3b) i (3c).
Dywergencja na diagramach nie zawsze musi powodowa konieczno u ycia kilku oddzielnych diagramów. Czasami dywergentne przypadki mo na przedstawi na jednym diagramie
przez wzbogacenie u ytego j zyka wizualnego. Nasz pseudosylogizm mo na narysowa jak obok (kropkowany kontur oznacza, e rozwa amy ró ne mo liwe warianty poło enia koła C).
Bardziej zasadnicza zmiana j zyka wizualnego mo e całkowicie usun konieczno stosowania dywergencji. Do rozumowa logicznych typu sylogizmów stosuje si tak e tzw. diagramy Venna.7 Na tych diagramach koła reprezentuj ce zbiory obiektów (dla wi kszej ni 3
liczby zbiorów trzeba stosowa zamiast kół inne zamkni te kontury) rysuje si w taki sposób,
by wyst piły na nich wszystkie mo liwe kombinacje przynale no ci punktów diagramu do
wszystkich przedstawionych zbiorów. W rezultacie, koła na diagramie dla n zbiorów dziel
płaszczyzn diagramu na 2n rozł cznych cz ci. Dla n > 4 rysowanie diagramów Venna i ich
u ywanie nastr cza niejakie trudno ci8 – na szcz cie rozumowania typu sylogistycznego
zawieraj tylko trzy zbiory obiektów. Na diagramach Venna relacje mi dzy składowymi zbiorami zaznacza si w ten sposób, e odpowiednie podobszary, które dla danej relacji s puste,
zamalowuje si na szaro. Np. je li dwa zbiory maj by rozł czne, na szaro nale y zamalowa
cały obszar wspólny tych zbiorów. Rozszerzenia j zyka diagramów Venna pozwalaj tak e
zapisywa bardziej zło one relacje, np. przez zaznaczenie, e niektóre obszary na pewno s
113
niepuste, itd., a do do zło onych j zyków wizualnych, jak np. tzw. diagramy paj kowe.9
Narysujmy nasz pseudosylogizm na zwykłym diagramie Venna:
Jak wida , nie ma tutaj potrzeby rozwa ania oddzielnych przypadków poło enia koła C
wzgl dem B – druga przesłanka (brak cz ci wspólnej A i C) daje si zapisa przez zamalowanie odpowiedniego podobszaru, bez ogl dania si na koło B. W konkluzji okazuje si , e
aden podobszar płaszczyzny przedstawiaj cy mo liw kombinacj przynale no ci obiektów
do zbiorów A i C nie jest pusty, czyli wszystkie mo liwe relacje mi dzy B i C mog wyst pi . Ostatniego kroku (wymazania koła A, wraz z szaro ciami ze wszystkich podobszarów,
które po wyrzuceniu konturu A przestaj by oddzielone konturem od podobszarów niezamalowanych) zwykle si nie robi przy nieformalnym rozumowaniu, lecz odczytuje wniosek bezpo rednio z pełnego diagramu.
Diagramy Venna maj wi ksz ekspresywno ni koła Eulera, st d w tych ostatnich cz ciej
trzeba si ucieka do dywergencji, je li chcemy przedstawi bardziej zło one relacje mi dzy
zbiorami. Oprócz przykładu naszego pseudosylogizmu warto poda jeszcze inny, klasyczny
przykład, rozwa any przez samego Eulera.10 Załó my, e chcemy przedstawi nast puj ce
relacje mi dzy zbiorami:
„ adne A nie s B” i „Niektóre C s A.”
Ich przedstawienie, podobnie jak w naszym pseudosylogizmie powy ej, wymaga w zasadzie
tak e trzech diagramów z kołami Eulera:
Podobnie, jak w poprzednim przykładzie, mo na i tutaj przedstawi
t sytuacj na jednym diagramie:
Dywergencja przydaje si nie tylko przy wnioskowaniu logicznym
jak w przypadku sylogizmów. Trzeba jej cz sto u ywa przy rozumowaniach w geometrii, a niektórzy autorzy wr cz uznaj t konieczno za wad reprezentacji diagramowych.11 Nie wydaje si to
słuszne – rozbicie problemu na ró ne przypadki (zwykle prostsze od ogólnego sformułowania) pozwala niejednokrotnie na lepsze zrozumienie jego istoty i łatwiejsze znalezienie rozwi zania. Ponadto wyst puje ona cz sto tak e w rozumowaniach nie u ywaj cych diagra114
mów. Np. przedstawienie funkcji | x | (warto bezwzgl dna liczby x) za pomoc formuły
algebraicznej wymaga u ycia dwu przypadków. Zamiast tego wystarczy jeden diagram:
≥
<
Mo na zdefiniowa warto bezwzgl dn jedn formuł , je li mamy do dyspozycji inn funkcj ,
mianowicie sgn(x), daj c warto ci
−1, 0, lub +1 w zale no ci od znaku x. Mamy wtedy | x | = x ⋅ sgn(x).
Teraz jednak, by zdefiniowa funkcj sgn(x) potrzebujemy wyró ni
ju 3 przypadki, podczas gdy diagram wci wystarczy jeden.
≥
<
Bł dy dywergencji. Jak w wielu innych przypadkach,12 tak e i przy stosowaniu dywergencji
mo e dochodzi do powstawania specyficznych dla niej bł dów. W przypadku dywergencji,
mamy zasadniczo dwa rodzaje takich bł dów, mianowicie bł d przeoczonej dywergencji i
bł d fałszywej dywergencji. Przykład pierwszego typu bł du mieli my powy ej w naszym
pseudosylogizmie – polega on oczywi cie na tym, e nie zauwa amy konieczno ci rozbicia
rozumowania czy reprezentacji diagramowej na odpowiedni liczb przypadków. Prowadz c
rozumowanie tylko dla niektórych z nich (np. tylko jednego) u ywamy niepełnej informacji,
co mo e prowadzi do bł dnego wniosku. Inny przykład to problem punktu przeci cia wysoko ci w trójk cie rozwa any w innym odcinku.13 Podamy jeszcze jeden przykład – dowód
diagramowy prostej nierówno ci algebraicznej zaczerpni ty z cytowanego ju zbioru takich
dowodów.14 Odpowiedni diagram (przypisany w zbiorze samemu jego autorowi, Rogerowi
Nelsenowi) wygl da jak nast puje:
Pierwsz zale no ci wart odczytania z diagramu jest x > 0.
Ponadto, pole ka dego szarego prostok ta jest równe x · (1/x)
= 1, jak zaznaczono. Poniewa bok kwadratu ma długo x +
1/x, a jego pole (x + 1/x)2 jest w widoczny sposób wi ksze ni
suma pól czterech szarych prostok tów, zatem (x + 1/x)2 > 4.
Co za tym idzie, | x + 1/x | > 2, a poniewa x > 0, to ostatecznie x + 1/x > 2. Proste. Popatrzmy jednak, co si stanie dla x
= 1, spełniaj cego warunek x > 0. Podstawiaj c t warto do
naszej nierówno ci otrzymamy 2 > 2, co jest oczywist nieprawd . Co si stało? Otó przeoczyli my sytuacj wymagaj c zastosowania dywergencji. Diagram powy ej jest poprawny dla ka dego x > 0, za wyj tkiem wła nie x = 1. ci le rzecz bior c, ten diagram obejmuje tylko przypadek x > 1/x, ale to akurat nie szkodzi, bo dla x < 1/x diagram zostaje ten sam
i wnioskowanie przebiega tak samo, tylko etykiety x i 1/x
nale y zamieni miejscami (mamy tu przykład wykorzystania symetrii dla uproszczenia wnioskowa diagramowych).
Dla przypadku x = 1 diagram wygl da inaczej:
Z tego diagramu łatwo wyprowadzi równo x + 1/x = 2,
wa n dla x = 1. Kombinuj c j z poprzedni nierówno ci ,
otrzymamy formuł x + 1/x ≥ 2, poprawn ju naprawd dla
ka dego x > 0. W zbiorze Nelsena ten przypadek jest równie przeoczony, ale algebraiczna posta nierówno ci jest
115
podana poprawnie: x + 1/x ≥ 2, cho z jednego (poprzedniego) diagramu wynika tylko ostra
nierówno .
Tak e i dla tego problemu mo na znale dowód
diagramowy nie wykorzystuj cy dywergencji, np.
taki:15
Jak wida , f(x) ≥ h(x) dla całego zakresu x > 0, z
równo ci zachodz c dla x = 1. Podstawiaj c definicje funkcji f i h z rysunku dostajemy 1/x ≥ 2 − x i
ostatecznie x + 1/x ≥ 2. Dywergencja jest tu wi c
niepotrzebna.
Z fałszyw dywergencj mamy do czynienia wtedy, gdy który z rozwa anych przypadków
nie mo e wyst pi (jest niemo liwy), a my, mimo to, wnioski z niego płyn ce wł czamy do
toku rozumowania. Doskonałym przykładem jest wspominane ju kilkakrotnie16 „twierdzenie”, e wszystkie trójk ty s równoramienne. Do tej pory pokazywali my jeden przypadek z „dowodu” tego pseudotwierdzenia. Przyjrzyjmy si teraz cało ci wywodu. Szczegóły
dowodzenia w poszczególnych przypadkach pominiemy, by nie nu y czytelnika (mo na je
znale w cytowanej literaturze), koncentruj c si tylko na opisie mo liwych (i niemo liwych...) przypadków. We my dowolny trójk t ABC i narysujmy w nim dwie linie proste –
lini prostopadł do podstawy AB przecinaj c j w rodku (symetralna podstawy) i lini
przechodz c przez przeciwległy wierzchołek C i dziel c k t ∠ACB na połowy (dwusieczna
k ta w wierzchołku C):
′
∠
∠
′⊥
Je li teraz spróbujemy nało y na siebie te dwa rysunki, to wydaje si , e mog tu wyst pi
nast puj ce przypadki:
Przypadek 1. Symetralna i dwusieczna pokrywaj si . Łatwo pokaza , e trójk t ABC jest
w tym przypadku równoramienny.
116
′
Przypadek 2. Dwusieczna i symetralna nie
przecinaj si . W tym przypadku równie mo na łatwo pokaza , e trójk t ABC jest równoramienny. Mo na jednak te łatwo pokaza , e
przypadek ten jest niemo liwy, i e je li te proste s równoległe, to musz si pokrywa , co
daje nam Przypadek 1.
′
′
′
Przypadek 3. Symetralna i dwusieczna przecinaj si w jednym punkcie O wewn trz trójk ta
ABC. Jest to przypadek, który do tej pory pokazywali my jako przykład niemo liwej konfiguracji geometrycznej. Dla niego równie mo na dowie , e trójk t ABC jest równoramienny.
′
Przypadek 4. Symetralna i dwusieczna przecinaj si w punkcie X, czyli w rodku podstawy.
Tak e przypadek niemo liwy i tak e mo na dla
niego pokaza , e trójk t ABC jest równoramienny.
′
′
Przypadek 5. Symetralna i dwusieczna przecinaj si w jednym punkcie O na zewn trz trójk ta ABC, za punkty A' i B' przeci cia prostopadłych OA' i OB' z bokami trójk ta le
teraz oba wewn trz trójk ta. Przypadek jest
niemo liwy, i tak e mo na dla niego pokaza ,
e trójk t ABC jest równoramienny.
117
′
′
′
′
′
Przypadek 6. Symetralna i dwusieczna przecinaj si w jednym punkcie O na zewn trz
trójk ta ABC, za punkty A' i B' przeci cia
prostopadłych OA' i OB' z bokami trójk ta
le oba na zewn trz trójk ta. Znowu – przypadek niemo liwy, i tak e mo na dla niego
pokaza , e trójk t ABC jest równoramienny.
Przypadek 7. Symetralna i dwusieczna przecinaj si w jednym punkcie O na zewn trz trójk ta ABC, natomiast punkty A' i B' przeci cia prostopadłych OA' i OB' z bokami trójk ta
nie le oba po tej samej stronie konturu trójk ta – punkt A' le y wewn trz trójk ta, podczas gdy punkt B' le y na zewn trz niego.
Przypadek mo liwy, a co gorsza – mo na dla
niego pokaza , e AC ≠ BC, czyli e trójk t
nie jest równoramienny...
′
Przypadek 8. Symetralna i dwusieczna przecinaj si w jednym punkcie O na zewn trz
trójk ta ABC, ale po drugiej jego stronie
(powy ej wierzchołka C). Przypadek niemo liwy i dla niego te mo na pokaza , e trójk t
ABC jest równoramienny.
Je li teraz wybraliby my tylko przypadki mo liwe (1 i 7), to pokazaliby my, e tylko trójk t,
w którym symetralna i dwusieczna pokrywaj si jest równoramienny, a wszystkie inne nie
s . Oczywi cie, nale ałoby przy tym wykaza , e s to jedyne mo liwe przypadki. Natomiast
wybieraj c tylko przypadki niemo liwe (2, 3, 4, 5, 6, 8 i ewentualnie mo liwy przypadek 1) i
przekonuj c czytelnika, e to s wszystkie mo liwe przypadki, otrzymamy „dowód”, e
wszystkie trójk ty s równoramienne (gdy dla wszystkich tych przypadków mo na wykaza
AC = BC). „Dowód” ten jest jak wida oparty na obu typach bł dów dywergencji – pomija
przypadki niewygodne (jak 7), uwzgl dniaj c tylko przypadki niemo liwe. Co ciekawe, publikowane w ró nych zbiorach rozrywek matematycznych17 „dowody” tego twierdzenia nie
118
pokazuj zwykle wszystkich przypadków niemo liwych (cz sto równie przypadku 1) i w
dodatku nie wszystkie pokazuj te same, zapewne z tego powodu, e niektóre z nich trudno
tak przekonuj co narysowa , by czytelnik zbyt łatwo nie zauwa ył, e s one niemo liwe
(przypadki 2 i 8). Z autorów wymienionych w przypisie, Jele ski podaje tylko przypadki 1
(bez rysunku), 3 i 6 oraz, w obja nieniu bł du, przypadek 7. Maxwell podaje tylko przypadek
3 (oraz 7 w obja nieniu); Dubnow 1 i 2 (oba bez rysunków), 3, 4 (bez rysunku), 5, 6 oraz 7 (w
obja nieniu); Northrop podaje najwi cej: 1, 2 (bez rysunku), 3, 4, 5, 6 oraz 7 (w obja nieniu);
Ball 2 (bez rysunku), 3, 4 i 5 (oba bez rysunków) oraz 6 (obja nienia nie zamieszcza). Ja sam
z kolei, w swojej wcze niejszej analizie tego „dowodu”,18 przeoczyłem przypadki 4 i 5...
Zenon Kulpa
1
W oryginale: “But what we ought to aim at is … the recognition of likenesses hidden under apparent divergences.” Tłum. z ang. i wyró nienie: Zenon Kulpa.
2
Zenon Kulpa: Koła Eulera i diagramy Venna, czyli jaka jest ró nica mi dzy kanarkiem? Tytuł Roboczy,
2006.09/10 (015); Zenon Kulpa: Rozmaite diagramy logiczne, czyli id cie i rozmna ajcie si ... Tytuł Roboczy,
2006.11/12 (016); Zenon Kulpa: Emergencja w diagramach, czyli co z prawie niczego. Tytuł Roboczy,
2007.03/04 (018) [?];
3
Zenon Kulpa: Jednostkowo
diagramów, czyli siła i słabo
4
Zenon Kulpa: Jednostkowo
diagramów …, op. cit.
5
Zob. Zenon Kulpa: Koła Eulera i diagramy Venna, …, op. cit.
6
Zenon Kulpa: Koła Eulera i diagramy Venna, …, op. cit.; Zenon Kulpa: Emergencja w diagramach …, op. cit.
7
Zob. Zenon Kulpa: Koła Eulera i diagramy Venna, …, op. cit.
konkretu. Tytuł Roboczy, 2006.01/02 (011).
8
Zob. Zenon Kulpa: Koła Eulera i diagramy Venna, …, op. cit. Metody rysowania diagramów Venna dla dowolnego n mo na znale w ksi ce: Anthony W.F. Edwards: Cogwheels of the Mind: The Story of Venn Diagrams. The John Hopkins University Press, Baltimore, MD 2004. Mo na tu tak e poleci witryn
http://www.combinatorics.org/Surveys/ds5/VennEJC.html .
9
Opisane po raz pierwszy w: Joseph Gil, John Howse, Stuart Kent: Formalising spider diagrams. Proc. VL 1999,
IEEE Symposium on Visual Languages, IEEE Computer Society Press, 1999, pp. 130-137.
10
Patrz: Leonhard Euler: Lettres à une Princesse d'Allemagne, sur divers sujets de physique et de philosophie.
l'Academie Imperiale des Sciences, St. Petersburg 1768-1772 (Tom 2: Listy nr 102-108) oraz witryna
http://plato.stanford.edu/entries/diagrams/ . Nieco inne uj cie tego przykładu jest opisane w: Zenon Kulpa: Koła
Eulera i diagramy Venna, …, op. cit.
11
Np. Atsushi Shimojima: Operational constraints in diagrammatic reasoning. In: Gerard Allwein, Jon Barwise,
eds.: Logical Reasoning with Diagrams. Oxford University Press, Oxford 1995, pp. 27-48.
12
Zenon Kulpa: Bł dy diagramowe, czyli jak nie da si zwie
13
Zenon Kulpa: Jednostkowo
pozorom. Tytuł Roboczy, 2005.03/04 (006).
diagramów …, op. cit.
14
Roger B. Nelsen: Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking. The Mathematical Association of
America, Washington, DC. 1993.
15
Równie zaczerpni ty ze zbioru Roger B. Nelsen: Proofs Without Words …, op. cit.
16
Zenon Kulpa: Bł dy diagramowe …, op. cit.; Zenon Kulpa: Wnioskowanie diagramowe, czyli jak my le
obrazkami. Tytuł Roboczy, 2005.11/12 (010); Zenon Kulpa: Emergencja w diagramach …, op. cit.
17
Szczepan Jele ski: Lilavati. PZWS, Warszawa 1968. E.A. Maxwell: Fallacies in Mathematics. Cambridge
University Press, Cambridge 1959. Jakow S. Dubnow: Oszibki w geometriczeskich dokazatielstwach. GITTL,
Moskwa 1955 (tłum. ang. Yakov S. Dubnov: Mistakes in Geometric Proofs. Heath, Boston, MA 1963). Eugene
P. Northrop: Riddles in Mathematics: A Book of Paradoxes. Penguin, Harmondsworth 1961. W.W. Rouse Ball:
Mathematical Recreations and Essays. Dover 1987 (13th ed.; 1st ed.: 1892).
18
Zenon Kulpa: From Picture Processing to Interval Diagrams. IFTR PAS Reports 4/2003, Warsaw 2003 (zob.
http://www.ippt.gov.pl/~zkulpa/diagrams/fpptid.html).
119