Nowoczesne zastosowania geometrii fraktalnej

NOWOCZESNE ZASTOSOWANIA GEOMETRII FRAKTALNEJ
WŁADYSŁAW HOFFMANN
MAREK MIKOŁAJCZYK
Uniwersytet Szczeciski
Wydział Nauk Ekonomicznych i Zarzdzania
Instytut Informatyki w Zarzdzaniu
Streszczenie
Teoria Chaosu i geometria fraktalna to nowe pojcia w nauce, jednak szybko
zyskały do due zainteresowanie. Metody korzystajce z właciwoci fraktali
okazały si czsto bardzo przydatne w wielu dziedzinach ycia: do kompresji obrazu,
generowania obiektów wygldajcych naturalnie, a nawet w ekonomii. W artykule
pokrótce przedstawiono podstawy geometrii fraktalnej i przedstawiono jej
praktyczne zastosowania.
1. Fraktale – definicja i cechy charakterystyczne
W przyrodzie obiekty fraktalne wystpuj bardzo czsto – wystarczy spojrze na licie,
naczynia krwionone, łacuchy górskie, lini brzegow, chmury itp., Czym jednak jest fraktal?
Twórca teorii fraktali Benoit Mandelbrot twierdził, e fraktalem jest wszystko, natomiast figury
typu prostokt, koło, trójkt s sztucznie wymylone przez ludzi w celu uproszczenia opisu
otaczajcego nas wiata. Sugerował, e figury takie nie maj odpowiedników w rzeczywistoci.
Niestety taka definicja jest zdecydowanie za mało precyzyjna, wic warto przytoczy
dokładniejsz, zawart w pracy prof. Kudrewicza „Fraktale i chaos”:
"Fraktalem na płaszczynie nazywamy dowolny niepusty i zwarty podzbiór płaszczyzny X ".
Naley równie doda, e istnieje kilka cech, które musz by spełnione, aby dany obiekt
zdefiniowa jako fraktal. Mandelbrot w swojej pracy napisał, e fraktale to zbiory płaskie,
charakteryzujce si:
- niecałkowitym wymiarem fraktalnym (ich wymiar nie jest liczb całkowit),
- cech samopodobiestwa,
- nie s okrelone wzorem matematycznym, tylko zalenoci rekurencyjn.
W tej definicji kryj si dwa pojcia, które naley wyjani. Przede wszystkim wymiar – z
elementarnego kursu matematyki wiadomo, e wymiar punktu jest równy zeru, prostej – jeden,
płaszczyzny dwa a przestrzeni trzy. Jeli jednak rozpatrywana jest łamana na płaszczynie, to jaki
jest jej wymiar? Intuicyjnie mona stwierdzi, e wikszy ni jeden, jednak z pewnoci nie
tworzy płaszczyzny dwuwymiarowej. Na lekcjach geometrii uczniowie ucz si rozrónia
obiekty jednowymiarowe, (odcinek), dwuwymiarowe (koło, kwadrat) od trójwymiarowych
(szecian). Wiadomo równie, e jeli długo wszystkich cian pokoju zostanie zwikszona
dwukrotnie, to za parkiet trzeba bdzie zapłaci cztery razy wicej. Jeli natomiast rozmiar
odcinka wydrukowanego na papierze zostanie zwikszony trzykrotnie, to ilo potrzebnego tuszu
do narysowania tak powikszonego odcinka te wzronie trzykrotnie. T intuicyjnie zrozumiał
własno mona wykorzysta do zdefiniowania wymiaru fraktalnego:
POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ
Seria: Studia i Materiały, nr2, 2004
ln N ( P )
P→∞
ln P
D = lim
31
(1)
gdzie P jest powikszeniem, a N(P) iloci tuszu niezbdn do narysowania P-krotnie
powikszonego zbioru? Dla odcinka, zgodnie z przewidywaniami, otrzymujemy D odcinka = 1.
Jednak w przypadku innych zbiorów, nawet tych zawartych na prostej, moe by inaczej.
Powikszajc trzykrotnie samopodobny zbiór Cantora, wystarczy tylko dwukrotnie zwikszy
ilo zuytego tuszu drukarki. Ta obserwacja wiadczy o tym, e wymiar zbioru Cantora jest
mniejszy od jednoci. Doprecyzowujc szczegóły matematyczne, mona poda cisł definicje
wymiaru, która nie musi by liczb naturaln, ale dla standardowych obiektów bdzie dawa
oczekiwany wynik 1, 2 lub 3[1].
Jeli chodzi o zbiory płaskie, to mona stwierdzi, e wymiar fraktalny takiego zbioru naley
do przedziału [1,2]; jest miar zmiennoci, postrzpienia szeregu, lub inaczej – dostarcza
informacji, jak bardzo krzywa wypełnia płaszczyzn [2]. Drugim pojciem wymagajcym
omówienia jest samopodobiestwo. Dwa obiekty, niezalenie od ich wielkoci s podobne, jeli
maj ten sam kształt, tj. równe kty oraz odpowiednie odcinki proporcjonalne. Współczynnik
proporcjonalnoci nazywa si współczynnikiem skalowania. Załómy, e jest dodatni i oznaczmy
go liter p. Zbiór Γ nazywamy samopodobnym, jeeli jest sum rozłczonych, pomniejszych kopii
samego siebie, lub gdy kady fragment zbioru Γ, odpowiednio powikszony wyglda tak samo jak
cały zbiór[3]. Jeli pomniejszymy np. krzyw Kocha trzykrotnie rK= 1/3, a nastpnie fragment ten
skopiujemy czterokrotnie i odpowiednio skleimy to ponownie otrzymamy krzyw Kocha.
Typowym fraktalem wystpujcym w naturze, w którym wida cech samopodobiestwa to
kalafior. Jego główka składa si z róyczek, które po oddzieleniu od reszty przypominaj cał
główk, tyle, e w pomniejszeniu. Czci te mog by znowu podzielone na mniejsze czci, które
bd podobne do całego kalafiora. Ta własno przenosi si na kolejne trzy lub cztery generacje
Efekt jest niewidoczny póniej gdy nastpne podziały skutkuj separowaniem zbyt małych czci
kalafiora. Jednak nawet w przypadku, gdy kopie całoci pojawiaj si we wszystkich stadiach i s
kopiami dokładnymi, mog wystpowa róne rodzaje samopodobiestwa:
- samopodobiestwo w punkcie przykładem moe by okładka ksiki, która przedstawia rk
trzymajca t włanie ksik. Kopie w tym przypadku koncentruj si wokół jednego punktu i
jedynie on ma własno samopodobiestwa. Punkt ten jest granic, w której wielkoci kopii
malej do zera. Inaczej mówic okładka ksiki jest samopodobna w tym punkcie.
- samoafiniczno – tutaj przykładem moe by drzewo o podwójnych rozgałzieniach. Całe
drzewo składa si z pnia i dwóch pomniejszonych kopii całoci. Dlatego coraz mniejsze kopie
koncentruj si przy liciach. Całe drzewo nie jest wic samopodobne, ale samoafiniczne, tzn. pie
nie jest podobny do całoci, ale moe by traktowany jako afiniczny obraz, który został
sprasowany do linii.
- cisłe samopodobiestwo – przykładami cisłego samopodobiestwa moe by krzywa Kocha
albo trójkt Sierpiskiego. W tych obiektach moemy znale kopie całoci w otoczeniu kadego
jego punktu.
2. Przegląd klasycznych fraktali
Geometria obok arytmetyki jest najstarszym działem matematyki. Ju w staroytnoci
osignła wysoki stopie rozwoju, a gdy Euklides w IV w. p.n.e. przedstawił j w Elementach w
postaci aksjomatycznej, stała si na ponad dwa tysiclecia wzorem precyzji mylenia nie tylko dla
32
Władysław Hoffmann, Marek Mikołajczyk
Nowoczesne zastosowania geometrii fraktalnej
matematyków. Za najnowszy etap rozwoju geometrii uwaa si zwykle geometri róniczkow,
której dynamiczny rozwój nastpił na pocztku naszego wieku i mimo, e nie zapomniano o tej
dziedzinie, to mona powiedzie, e nie pojawiły si w niej adne istotne nowe i ciekawe pojcia.
Tymczasem w cigu ostatnich kilku lat powstała zaliczana do geometrii teoria fraktali, opisujca i
badajca obiekty o strukturze odmiennej od tego, do czego przyzwyczaiła nas klasyczna
geometria[4].
Pierwsze obiekty o tak nietypowej konstrukcji pojawiły si pod koniec XIX w - w roku 1883
Georg Cantor, niemiecki matematyk z uniwersytetu w Halle opublikował prac, w której
zaproponował konstrukcj nazwan póniej jego imieniem jako zbioru o wyjtkowych
własnociach. Odcinek [0,1] podzielił na trzy równe czci i usunł rodkow. Z pozostałymi
dwoma odcinkami postpił analogicznie. W konsekwencji takiego postpowania w granicy
nieskoczonej iloci kroków powstaje tzw. zbiór punktów Cantora.
Niewiele póniej, w 1904 roku szwedzki matematyk Helge van Koch wprowadził krzyw
nazywan obecnie krzyw Kocha. Po połczeniu trzech odpowiednio obróconych egzemplarzy
krzywej Kocha otrzymamy figur zwan płatkiem niegu.
Rys.1. Zbiór Cantora
Budow krzywej Kocha zaczyna si od linii prostej. Pocztkowy obiekt nosi nazw inicjatora. Po
jego podziale na trzy równe czci w miejsce rodkowej wstawiamy trójkt równoboczny i
usuwamy jego podstaw. Jest to podstawowy krok w konstrukcji. Po pomniejszeniu figura ta, w
czterech egzemplarzach bdzie słuy w kolejnych krokach. Nazywa si j generatorem.
Konstrukcj tworzymy w ten sposób, e kady odcinek w figurze dzielimy na trzy czci i zamiast
rodkowego wstawiamy generator, itd.[5]
Rys.2.Krzywa Kocha
Kolejny klasyczny fraktal, to stworzony przez polskiego matematyka, Wiesława Sierpiskiego
trójkt Sierpiskiego. Metoda tworzenia trójkta jest nastpujca: Wybiera si rodki trzech
boków trójkta. Punkty te, po połczeniu razem z wierzchołkami pocztkowego trójkta
wyznaczaj cztery mniejsze trójkty, z których usuwamy rodkowy. Jest to krok podstawowy
konstrukcji. Procedura jest powtarzana dla kadego z pozostałych trzech trójktów, itd.
POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ
Seria: Studia i Materiały, nr2, 2004
33
Rys.2.Trójkt Sierpiskiego
3. Praktyczne zastosowania geometrii fraktalnej
Jak ju wczeniej wspomniano z fraktalami spotykamy si w naszym yciu codziennym. Linie
brzegowe, łacuchy górskie, niektóre owoce i warzywa wykazuj cechy charakterystyczne dla
fraktali. Niektóre zjawiska równie charakteryzuj si np. samopodobiestwiem w czasie. Dziki
odpowiednim badaniom i obserwacjom geometri fraktaln i teori chaosu deterministycznego
mona próbowa stosowa w wielu dziedzinach nauki. W 1991 roku na prestiowym zjedzie
SIGGRAPH (Special Interest Group of the Association for Computing Machinery (ACM))
przedstawiono zastosowanie geometrii fraktalnej do analizy obrazu. Technika ta wprowadzała
nowy sposób binarnego cieniowania, uytecznego do wprowadzenia odcieni szaroci do
dwukolorowego urzdzenia graficznego, takiego jak np. drukarka laserowa . Oprócz cieniowania
geometri fraktaln udało si zastosowa do kompresji obrazu. W medycynie fraktali uywa si do
analizy obrazów tomograficznych, rozpoznawania komórek itp. W ten sposób przeprowadzone
par lat temu badania w orodku badawczym Mount Sinai w Nowy Jorku wskazały na zaleno
pomidzy wymiarem fraktalnym chromosomu a rakiem. W psychologii naukowcy badajcy
ludzkie oceny estetyczne stwierdzili, e istnieje zaleno pomidzy estetyk rysunku
wygenerowanego za pomoc fraktala a jego wymiarem. Wraz z rozwojem geometrii fraktalnej
ułatwiona została te codzienna praca grafików komputerowych. Gdy potrzebuj oni obrazu stoku
górskiego lub drzewa zamiast przeszukiwa setki zdj mog posłuy si odpowiednimi
modelami do generowania tego typu obrazów. Istnieje moliwo wygenerowania wymaganego
obiektu, co dzieje si za spraw sparametryzowania programu. Z grafiki fraktalnej skorzystała te
sztuka filmowa. Fraktale wykorzystano w filmie Star Trek II: The Wrath of Khan do
przedstawienia krajobrazu planety Genesis, a take w filmie Powrót Jedi do stworzenia geografii
ksiyców Endora i zarysów Gwiazdy mierci.
W ostatnim okresie obserwuje si coraz wiksz rónorodno metod, które s stosowane do
analizy danych finansowych, a w szczególnoci do analizy finansowych szeregów czasowych. Sił
napdow, która spowodowała rozwój tych metod, była ch stworzenia metody prognozowania
cen finansowych (w szczególnoci kursów akcji), których stosowanie na rynku przynosiłoby
ponadprzecitne dochody.
W ramach tego nurtu mona wyróni nastpujce grupy metod (wymienione zostaj jedynie
te, które bezporednio dotycz finansowych szeregów czasowych):
- analiza techniczna;
34
Władysław Hoffmann, Marek Mikołajczyk
Nowoczesne zastosowania geometrii fraktalnej
- metody oparte na teorii procesów stochastycznych;
- metody cybernetyki finansowej;
- modele ekonometryczne;
- teoria chaosu.
Zwłaszcza ta ostatnia metoda zasługuje na uwag. Okazuje si, e przy pewnych załoeniach
mona kusi si o prognozowanie np. wyników finansowych spółek korzystajc z metod teorii
chaosu i geometrii fraktalnej. Istnieje szereg bada nad przewidywaniem zachowa notowa akcji.
Liczenie wymiaru Minkowskiego z wykresu cen akcji moe posłuy do analizy trendów spółek.
Udowodniono równie, e ruchami kursów giełdowych rzdz prawa dynamiki nieliniowej,
ukazujc fraktaln geometri polskiego rynku akcji. Trwaj równie badania nad wymiarem
fraktalnym szeregów czasowych sprzeday produktów w sieciach hipermarketów. Istnieje
podejrzenie, e szeregi te wykazuj cechy fraktali, co by moe pozwoli na generowanie
skuteczniejszych od dotychczasowych prognoz sprzeday produktów w sieciach sklepów, które
identyfikuj swoich klientów. Warta weryfikacji jest równie hipoteza, e samopodobiestwo w
szeregach czasowych ma do silny zwizek z sezonowoci. Wad metody jest fakt, e aby
wyniki bada były rzetelne naley dysponowa danymi z długiego okresu czasu (wiele próbek).
Niestety dane ekonomiczne składaj si z reguły z małej iloci obserwacji, z niezbyt długiego
okresu. Tymczasem na podstawie takich danych trudno jednoznacznie wnioskowa o istnieniu
bd nieistnieniu jakiej struktury. Niektóre sygnały potwierdzaj istnienie chaosu na giełdzie,
inne temu zaprzeczaj. Naleałoby wic wypracowa nowe metody badania danych
ekonomicznych, mniej zalene od iloci dostpnych informacji[6].
Podsumowujc mona powiedzie, e geometria fraktalna ma zastosowanie w wielu
dziedzinach ycia. By moe metody wyszukiwania samopodobnych wzorców w przyrodzie
pomog w tworzeniu zupełnie nowych teorii i wnios jeszcze wiele nowych pomysłów w wielu
dziedzinach nauki.
Bibliografia
1. K. yczkowski, A. Łoziski „Chaos, fraktale oraz euroatraktor”, FOTON 80, 2003r
2. M. Zwolankowska: Fraktalna Geometria Polskiego Rynku Akcji”, Wydawnictwo
Naukowe Uniwersytetu Szczeciskiego, 2001r
3. H. Zawadzki: „Chaotyczne systemy dynamiczne. Elementy teorii i wybrane przykłady
ekonomiczne”. Prace Naukowe AE im. K. Adamieckiego. Katowice 1996r.
4. E. Melnyczok, „Systemy Funkcji Iterowanych”, Białystok 1988
5. H.-O. Peitgen, H. Jurgens, D. Saupe: „Granice Chaosu – Fraktale“ Wydawnictwo
Naukowe PWN, Warszawa 1997r.
6. K. Jajuga, D. Papla: „Dynamiczne modele ekonometryczne” V Ogólnopolskie
Seminarium Naukowe w Toruniu, Toru 1997r.