( )n ( )n

Ciągi
Poziom podstawowy
Zad. 1 (CKE 05/2005)
Dany jest ciąg (a n ) , gdzie a n =
n+2
dla n = 1,2,3... Wyznacz wszystkie wyrazy tego ciągu
3n + 1
większe od 0,5.
Zad. 2 (CKE 05/2005)
Na trzech półkach ustawiono 76 płyt kompaktowych. Okazało się, że liczby płyt na półkach
górnej, środkowej i dolnej tworzą rosnący ciąg geometryczny. Na środkowej półce stoją 24
płyty. Oblicz, ile płyt stoi na półce górnej, a ile płyt stoi na półce dolnej.
Zad. 3 (CKE 12/2005)
Nieskończony ciąg liczbowy (a n ) jest określony wzorem a n = 4n − 31, n = 1,2,3,... .
Wyrazy a k , a k +1 , a k + 2 danego ciągu (a n ) , wzięte w takim porządku, powiększono: wyraz a k
o 1, wyraz a k +1 o 3 oraz wyraz a k + 2 o 23. W ten sposób otrzymano trzy pierwsze wyrazy
pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz k oraz czwarty wyraz tego ciągu geometrycznego.
Zad. 4 (CKE 01/2006)
Stosując wzór na sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego uzasadnij, że
n 2 = 1 + 2 + 3 + ... + (n − 1) + n + (n − 1) + ... + 3 + 2 + 1 .
Zad. 5 (CKE 01/2006)
5 − 3n
Dany jest ciąg (a n ) o wyrazie ogólnym a n =
n = 1,2,3,... .
7
a) Sprawdź na podstawie definicji, czy ciąg (a n ) jest ciągiem arytmetycznym.
b) Oblicz, dla jakiej wartości x liczby a 4 , x 2 + 2, a11 są kolejnymi wyrazami tego samego
ciągu geometrycznego.
Zad. 6 (CKE 05/2006)
Dany jest rosnący ciąg geometryczny, w którym a1 = 12, a 3 = 27 .
a) Wyznacz iloraz tego ciągu.
b) Zapisz wzór, na podstawie którego można obliczyć wyraz a n , dla każdej liczby
naturalnej n ≥ 1 .
c) Oblicz wyraz a 6 .
Zad. 7 (CKE 05/2006)
4
4
4
4
Oblicz sumę S1 =
+
+
+ ... +
.
1 ⋅ 5 5 ⋅ 9 9 ⋅13
281 ⋅ 285
Zad. 8 (CKE 05/2007)
Dany jest ciąg arytmetyczny (a n ) , gdzie n ≥ 1 . Wiadomo, że dla każdego n ≥ 1 suma n
początkowych wyrazów S n = a1 + a 2 + ... + a n wyraża się wzorem: S n = −n 2 + 13n .
a) Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu (a n ) .
b) Oblicz a 2007 .
c) Wyznacz liczbę n, dla której a n = 0 .
Zad. 9 (CKE 05/2007)
Dany jest rosnący ciąg geometryczny (a n ) dla n ≥ 1 , w którym a1 = x , a 2 = 14 , a3 = y .
Oblicz x oraz y, jeżeli wiadomo, że x+y=35.
Zad. 10 (CKE 05/2008)
1
Nieskończony ciąg liczbowy (a n ) jest określony wzorem a n = 2 − , n = 1,2,3,... .
n
a) Oblicz, ile wyrazów ciągu (a n ) jest mniejszych od 1,975.
b) Dla pewnej liczby x trzywyrazowy ciąg (a 2 , a7 , , x ) jest arytmetyczny. Oblicz x.
Zad. 11 (CKE 05/2009)
Dany jest ciąg arytmetyczny (a n ) dla n ≥ 1 , w którym a 7 = 1, a11 = 9 .
a) Oblicz pierwszy wyraz a1 i różnicę r ciągu (a n ) .
b) Sprawdź, czy ciąg (a7 , a8 , a11 ) jest geometryczny.
c) Wyznacz takie n, aby suma n początkowych wyrazów ciągu (a n ) miała wartość
najmniejszą.
Zad. 12 (CKE 11/2009)
n
Dla n=1,2,3,… ciąg (a n ) jest określony wzorem: a n = (− 1) ⋅ (3 − n ) . Oblicz a3 .
Zad. 13 (CKE 11/2009)
W ciągu arytmetycznym trzeci wyraz jest równy 14, a jedenasty jest równy 34. Oblicz różnicę
tego ciągu.
Zad. 14 (CKE 11/2009)
W ciągu geometrycznym (a n ) dane są: a1 = 32 i a 4 = −4 . Oblicz iloraz tego ciągu.
Zad. 15 (CKE 11/2009)
 m +1 m + 3 m + 9 
Wykaż, że dla każdego m ciąg 
,
,
 jest arytmetyczny.
6
12 
 4
Zad. 16 (CKE 05/2010)
W ciągu arytmetycznym (a1 ) dane są a3 = 13 i a5 = 39 . Oblicz a1 .
Zad. 17 (CKE 05/2010)
W ciągu geometrycznym (a n ) dane są: a1 = 3 i a 4 = 24 . Oblicz iloraz tego ciągu.
Zad. 18 (CKE 11/2010)
W ciągu geometrycznym (a n ) dane są: a1 = 2 i a2 = 12 . Oblicz a4 .
Zad. 19 (CKE 11/2010)
W ciągu arytmetycznym a1 = 3 oraz a 20 = 7 . Oblicz S 20 .
Zad. 20 (CKE 11/2010)
Ciąg (1, x, y − 1) jest arytmetyczny, natomiast ciąg ( x, y,12) jest geometryczny. Oblicz x oraz
y i podaj ten ciąg geometryczny.
Zad. 21 (CKE 11/2011)
2
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a n ) , w którym a3 = 1 i a 4 = . Oblicz a1 .
3
Zad. 22 (CKE 05/2011)
Liczby x, y, 19 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym x+y=8. Oblicz
x i y.
Zad. 23 (CKE 05/2012)
Miary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 20 0 . Oblicz miarę
najmniejszego kąta tego czworokąta.
Zad. 24 (CKE 05/2012)
n 2−n
Dany jest ciąg (a n ) określony wzorem a n = (− 1) ⋅ 2 dla n ≥ 1 . Oblicz a5 .
n
Zad. 25 (CKE 05/2012)
Ciąg (9,x,19) jest arytmetyczny, a ciąg (x,42,y,z) jest geometryczny. Oblicz x, y oraz z.
Zad. 26 (CKE 06/2012)
Ciąg (a n ) jest określony wzorem a n = 2n + 4 dla n ≥ 1 . Oblicz (a8 ) .
Zad. 27 (CKE 06/2012)
Ciąg 2 2 ,4, a jest geometryczny. Wyznacz a.
Zad. 28 (CKE 06/2012)
Suma S n = a1 + a 2 + ... + a n początkowych n wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego (a n )
(
)
jest określona wzorem S n = n 2 − 2n dla n ≥ 1 . Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu.
Poziom rozszerzony
Zad. 1 (CKE 01/2006)
Dany jest ciąg trójkątów równobocznych takich, że bok następnego trójkąta jest wysokością
poprzedniego. Oblicz sumę pól wszystkich tak utworzonych trójkątów, przyjmując, że bok
pierwszego trójkąta ma długość a (a>0).
Zad. 2 (CKE 11/2006)
Ciąg liczbowy (a n ) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 wzorem
(
)
a n = (n − 3) 2 − p 2 , gdzie p ∈ R .
a) Wykaż, że dla każdej wartości p ciąg (a n ) jest arytmetyczny.
b) Dla p=2 oblicz sumę a 20 + a 21 + a 22 + ... + a 40 .
c) Wyznacz wszystkie wartości p, dla których ciąg (bn ) określony wzorem bn = a n − pn
jest stały.
Zad. 3 (CKE 05/2008)
Udowodnij, że jeżeli ciąg (a,b,c) jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny, to a=b=c.
Zad. 4 (CKE 05/2009)
W skarbcu królewskim było k monet. Pierwszego dnia rano skarbnik dorzucił 25 monet,
a każdego następnego ranka dorzucał o 2 monety więcej niż dnia poprzedniego. Jednocześnie
ze skarbca król zabierał w południe każdego dnia 50 monet. Oblicz najmniejszą liczbę k, dla
której w każdym dniu w skarbcu była co najmniej jedna moneta, a następnie dla tej wartości k
oblicz, w którym dniu w skarbcu była najmniejsza liczba monet.
Zad. 5 (CKE 05/2009)
Ciąg ( x − 3, x + 3, 6 x + 2, ...) jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o wyrazach
S
1
dodatnich. Oblicz iloraz tego ciągu i uzasadnij, że 19 < , gdzie S n oznacza n
S 20 4
początkowych wyrazów tego ciągu.
Zad. 6 (CKE 05/2010)
O liczbach a, b, c wiemy, że ciąg (a, b, c ) jest arytmetyczny i a + c = 10 , zaś ciąg
(a + 1, b + 4, c + 19) jest geometryczny. Wyznacz te liczby.
Zad. 7 (CKE 05/2011)
O ciągu ( xn ) dla n ≥ 1 wiadomo, że:
a) ciąg (a n ) określony wzorem a n = 3 xn dla n ≥ 1 jest geometryczny o ilorazie q=27.
b) x1 + x 2 + ... + x10 = 145 . Oblicz x1 .
Zad. 8 (CKE 05/2012)
Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy 8, to ciąg ten zmieni
się w arytmetyczny. Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy 64,
to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny. Znajdź te liczby. Uwzględnij wszystkie
możliwości.
Zad. 9 (CKE 06/2012)
W ciągu arytmetycznym (a n ) , dla n ≥ 1 , dane są a1 = −2 oraz różnica r = 3 . Oblicz
największe n takie, że a1 + a 2 + ... + a n < 2012 .