tezy: H0 (zerowa) i H1 (alternatywna)

TESTOWANIE HIPOTEZ
Zasady ogólne.
1. Formułujemy dwie wzajemnie wykluczające się hipotezy: H0 (zerowa) i H1 (alternatywna).
2. Określamy poziom istotności testu α ∈ (0, 1) (standardowo α = 0.05). Jest to maksymalne dopuszczalne
prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju.
Błąd I rodzaju - prawdziwa jest H0, a my ją odrzucamy,
błąd II rodzaju - prawdziwa jest H1, a my decydujemy
na rzecz H0.
3. Dobieramy statystykę testową tak, by mogli określić
jej rozkład (już bez parametrów) w przypadku prawdziwości hipotezy H0. Zgodnie z tym rozkładem oraz wartością α określamy zbiór krytyczny K. Jest to podzbiór
R taki, że prawdopodobieństwo wpadnięcia do K
zmiennej losowej o określonym wyżej rozkładzie wynosi
właśnie α (czyli jest dość małe).
4. Jeśli obliczona wartość statystyki testowej wpada do
K, to hipotezę H0 odrzucamy. Jeśli obliczona wartość
statystyki testowej nie wpada do K, to nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy H0.
Uwaga. Decyzje brzmią różnie!
1
Testy dotyczące wartości oczekiwanej µ.
1. H0 : µ = µ0
H1 : µ 6= µ0 lub µ < µ0 lub µ > µ0.
2. Określamy α.
3. Rozważamy trzy przypadki:
3a. cecha ma rozkład normalny, wariancja σ 2 jest znana;
3b. cecha ma rozkład normalny, wariancja σ 2 nie jest
znana;
3c. cecha ma rozkład dowolny, ale n jest duże.
3a. Jeśli H0 jest prawdziwa, to {xi} - niezależne
zmienne losowe o rozkładzie N (µ0, σ 2) =⇒
√ x̄−µ0
σ2
x̄
n σ ∼ N (0, 1). Zatem
√ ∼x̄−µN0 (µ0, n ) =⇒
n σ jest statystyką testową.
Postać zbioru krytycznego K zależy od postaci hipotezy
alternatywnej H1. Pod tym względem rozróżniamy:
dwustronny obszar krytyczny
K = (−∞, −z1−α/2)∪(z1−α/2, ∞) (gdy H1 : µ 6= µ0);
lewostronny obszar krytyczny
K = (−∞, −z1−α) (gdy H1 : µ < µ0);
prawostronny obszar krytyczny
K = (z1−α, ∞) (gdy H1 : µ > µ0).
2
√
0
3b. Statystyka testowa ma postać n x̄−µ
s i ma rozkład
Studenta o (n − 1) stopniach swobody.
Obszary krytyczne:
K = (−∞, −t1−α/2,n−1) ∪ (t1−α/2,n−1, ∞) lub
K = (−∞, −t1−α,n−1) lub K = (t1−α,n−1, ∞).
√ x̄−µ0
3c. Statystyka testowa ma postać n s i ma
(w przybliżeniu) rozkład N (0, 1).
Obszary krytyczne:
K = (−∞, −z1−α/2) ∪ (z1−α/2, ∞) lub
K = (−∞, −z1−α) lub K = (z1−α, ∞).
4. Podejmujemy decyzje.
Przykład (test dotyczący proporcji)
H0 : p = p0, H1 : p 6= p0 lub p < p0 lub p > p0.
√
Statystyka testowa ma postać n √ pb−p0
i ma
p0 (1−p0 )
(w przybliżeniu) rozkład N (0, 1).
Obszary krytyczne:
K = (−∞, −z1−α/2) ∪ (z1−α/2, ∞) lub
K = (−∞, −z1−α) lub K = (z1−α, ∞).
Pojęcie o p-wartości. Jeśli zaobserwowana wartość
statystyki testowej S to s0, to p-wartość=P (|S| > s0)
(obszar krytyczny jest dwustronny); = P (S < s0) (obszar krytyczny jest lewostronny); = P (S > s0) (obszar
krytyczny jest prawostronny).
3