Jerzy Kornowski - Warsztaty Górnicze

Transkrypt

WARSZTATY 2003 z cyklu „Zagrożenia naturalne w górnictwie”
____________________________________________________________________________
Mat. Symp. str. 319 – 335
Jerzy KORNOWSKI
Główny Instytut Górnictwa, Katowice
Sekwencyjna analiza ryzyka generowanego zagrożeniem
sejsmicznym w czasie akcji ratowniczej – wprowadzenie
Streszczenie
Celem pracy jest sformułowanie definicji i elementarnych algorytmów umożliwiających
realną bieżącą ocenę ryzyka (wyrażonego w jednostkach pieniężnych) oraz analizę potencjalnych kosztów/strat – traktowanych jako zmienna losowa – które powstać mogą w wyniku
realizacji zagrożenia sejsmicznego (czyli np. wskutek tąpnięcia). Ocena ryzyka i analiza
potencjalnych strat wymagają zarówno informacji statystycznej (z przeszłości) w formie
rozkładu „kosztów jednostkowych” jak i informacji o przyszłości (czyli prognozy) w formie
najbardziej prawdopodobnej energii i jej prawdopodobieństwa. Jeśli dopuścimy odpowiednie
przybliżenia, informacje te są dostępne i możliwa jest (przybliżona) sekwencyjna – z godziny
na godzinę – prognoza ryzyka w warunkach akcji ratowniczej. Praca ma charakter wprowadzający i ilustruje teorię elementarnymi przykładami liczbowymi.
1. Wprowadzenie
Badanie i prognozowanie ryzyka, a także zarządzanie (sterowanie) ryzykiem stały się
modne w polskim górnictwie ostatnich lat (np. Sobala i Rosmus 1997; Niczyporuk 2000).
Choć zagadnienia ryzyka i teorii decyzji podejmowanych w warunkach niepewności badane
były od dawna [jak podaje J.C. Hickman w przedmowie do książki Gerbera (1979), to Daniel
Bernoulli (1700-1782) zaproponował maksymalizację oczekiwanej użyteczności * jako
kryterium decyzyjne; rozkwit teorii decyzji związany jest ze słynną pracą von Neumanna
i Morgensterna (1947) a także Walda (1950)], temat ten nie był zbyt intensywnie uprawiany
w polskiej literaturze przez kilka dziesięcioleci. Związany z transformacją ustrojową rozkwit
bankowości i ubezpieczalnictwa spowodował jednak szybki wzrost zainteresowania i pojawienie się licznych prac z zakresu teorii ryzyka i podejmowania decyzji (np. Zeliaś 1998; RonkaChmielowiec 1997; Borys 1996), w szczególności dotyczących ryzyka finansowego, na
przykład w aktuarystyce (czyli w ubezpieczalnictwie).
Zagadnienia te znajdują pewne zastosowanie również w górnictwie, a praca niniejsza jest
wynikiem zainteresowania autora prognozą ryzyka w czasie akcji ratowniczej w kopalni,
w warunkach zagrożenia sejsmicznego.
Akcja taka prowadzona być musi, gdy po tąpnięciu dotrzeć trzeba do zasypanych
(ratowanych) ludzi, zwykle w warunkach nadal trwającego, szybkozmiennego zagrożenia
*„użyteczność” jest uogólnieniem korzyści finansowej w sytuacjach, gdy preferencje
podejmującego decyzje nie są łatwo przeliczalne na pieniądze
____________________________________________________________________________
319
J. KORNOWSKI – Sekwencyjna analiza ryzyka generowanego zagrożeniem sejsmicznym...
____________________________________________________________________________
sejsmicznego, gdy niebezpieczeństwo grozi i ratowanym i ratującym, a w początkowym (po
tąpnięciu), najważniejszym i najtrudniejszym etapie akcji kopalniane systemy obserwacji
i oceny zagrożenia w rejonie akcji nie działają lub nie są w pełni sprawne.
Centralna Stacja Ratownictwa Górniczego (CSRG) dysponuje od niedawna (patrz np.
Kajdasz i in. 2002) przenośną, autonomiczną (tzn. wyposażoną w akumulatorowe zasilanie,
własne czujniki, procesory i pamięć) aparaturą geofizyczną, umożliwiającą obserwacje
sejsmoakustyczne i sejsmologiczne (dalej: AE i wstrząsów) w miejscu i czasie akcji przez
ponad 24 godziny (zakłada się że po tym czasie systemy kopalniane są już sprawne)
niezależnie od stanu sieci kopalnianych.
Równocześnie Laboratorium Sejsmoakustyki GIG dysponuje, także od niedawna,
działającą metodą i oprogramowaniem do tak zwanej liniowej prognozy zagrożenia
sejsmicznego (np. Surma i Kornowski 2002; Kornowski i Kurzeja 2002; Kornowski 2002a)
tak, że możliwa jest sekwencyjna („z godziny na godzinę” – np. o 16°° na okres od 16°° do
17°° potem o 17°° na okres od 17°° do 18°° itd.) prognoza całkowitej energii, która
wyemitowana będzie (w postaci AE i wstrząsów) w obserwowanym obszarze (otoczenie
ściany lub przodka).
Łącznie, aparatura z CSRG i metoda/oprogramowanie z Laboratorium Sejsmoakustyki
GIG stanowią szansę uruchomienia systemu prognozowania zagrożenia sejsmicznego (patrz
rozdz. 3) i związanego z tym ryzyka (finansowego) w czasie akcji ratowniczej po tąpnięciu.
Praca ta opisuje podstawy pojęciowe i początkowy etap badań, w szczególności:
a) próby sformułowania definicji i algorytmów umożliwiających realne liczenie ryzyka
w czasie rzeczywistym, w warunkach szybko zmieniającego się zagrożenia sejsmicznego;
wyniki obliczeń ułatwić mają kierownictwu akcji podejmowanie racjonalnych decyzji,
b) przykłady i realnie osiągalne wyniki sekwencyjnej prognozy całkowitej godzinowej
energii AE i wstrząsów (w obserwowanym rejonie).
Nie zakłada się, rzecz jasna, że wyniki prognozy będą „trafne” lecz zakłada się że będą bliskie
optymalności – co uzyskuje się stosując optymalny – tzn. minimalizujący średniokwadratowy
błąd prognozy – „filtr predykcyjny”. Tylko praktyka umożliwi ocenę realnej użyteczności
takiego systemu w warunkach akcji ratowniczej.
Praca ta stanowi kontynuację, ulepszenie i rozwinięcie pracy Kornowskiego (2002b), gdzie
opisano wczesne próby autora sformułowania algorytmu prognozy ryzyka.
2. Elementarne przykłady i definicja ryzyka
W literaturze dotyczącej zastosowań w górnictwie, zagadnienie ryzyka zostało – zdaniem
autora – skutecznie zaciemnione i sprowadzone do zbioru sloganów, zwykle z dziedziny bhp.
W rozdziale tym podjęta więc będzie próba podejścia ścisłego lecz elementarnego – ilustrująca
sposoby obliczania ryzyka i podana będzie oraz dyskutowana jego formalna definicja.
O braku jednoznaczności i porządku nawet w terminologii tematu świadczy fakt, że np.
Ronka-Chmielowiec (1997 rozdz. 1.3) podaje 8 różnych definicji ryzyka – a wszystkie są
opisowe i raczej nie ułatwiają obliczeń; także Zeliaś (1998) poświęca rozdz. 1.2, 1.3 i 1.4
dyskusji różnych znaczeń tego pojęcia. Próbę uporządkowania terminologii stanowią normy
PN-N-18001 i PN-N-18002 lecz, co najmniej zdaniem autora, jest to próba nieudana. Dodać
trzeba, że pojęcie „ryzyko” często definiowane jest jako „możliwość wystąpienia
niepożądanych skutków” lub „niebezpieczeństwo powstania szkody” (Nowa Encyklopedia
Powszechna PWN Warszawa 1996). Definicja tego typu wyklucza ilościowe i ścisłe potraktowanie zagadnienia, nie powinna więc być używana w literaturze fachowej. Dla realnych
____________________________________________________________________________
320
____________________________________________________________________________
i uczciwych zastosowań, znaczenie pojęcia „ryzyko” musi być tak zawężone, by w danej
dziedzinie możliwe było jednoznaczne obliczenie ryzyka w każdej realistycznej – a nie tylko
w absolutnie najprostszej – sytuacji.
W literaturze górniczej i geofizycznej znaleźć można liczne wzmianki i rozważania na ten
temat oraz – na różnym poziomie uproszczenia – definicje. Lomnitz (1994, str. 156) pisze:
„Risk is hazard time cost”. Dubiński i Konopko (2000, str. 86) piszą: „Pod pojęciem ryzyka
rozumie się iloczyn prawdopodobieństwa P i strat S... czyli R = P·S”. Sobala i Rozmus (1997
str. 48) piszą „Ryzyko to funkcja prawdopodobieństwa wystąpienia określonych niebezpiecznych zdarzeń i wynikających z nich konsekwencji. Często ryzyko określa się w sposób
ilościowy jako następujący iloczyn: ryzyko = (Pr. wystąp. zagroż.) x (konsekwencje...
zagrożeń)” [Zauważmy, że pierwsze zdanie to nowoczesna i ogólna definicja zagrożenia –
wymagająca jednak uszczegółowienia (jaka funkcja?), natomiast zdanie drugie to definicja
szczegółowa (zakładając że „konsekwencje” wyrazimy ilościowo) lecz mocno ograniczona].
Sprawa definicji nie jest jednak prosta: oto Zeliaś (1998, str. 18) pisząc o ilościowych
miarach ryzyka stwierdza: „Jedną z podstawowych ilościowych charakterystyk ryzyka jest
wariancja...” (rozkładu zysków – J.K.). Czytając literaturę ekonometryczną trzeba więc
pamiętać, że gdy analizowany jest potencjalny zysk, ryzyko jest związane z niepewnością tego
zysku (i wariancja rozkładu zysków może być miarą tego ryzyka); gdy analizowane są
potencjalne straty – można interesować się zarówno stratą oczekiwaną (tzn. średnią) jak
i innymi charakterystykami (np. kwantylami, stratą maksymalną itp.) rozkładu strat. Niestety
norma PN-N-18002, usiłując to uogólnić lecz – zapewne – bojąc się formalizmu matematycznego stwierdza, że ryzyko to „kombinacja częstości lub prawdopodobieństwa wystąpienia
określonego zdarzenia... i konsekwencji związanych z tym zdarzeniem” – nie definiując jednak
tych „kombinacji” – i pogłębia zamieszanie natychmiastowym wprowadzeniem pojęcia
„ryzyka zawodowego”.
By zilustrować ilościowo zagadnienie ryzyka, przedstawię teraz kilka prostych lecz
ważnych – dla zrozumienia sprawy – całkowicie fikcyjnych przykładów, przyjmując jako
„definicję próbną” ( D ,p ), równanie (1):
(D,p ) :
R=p·K
(1)
stanowiące, że ryzyko to prawdopodobieństwo razy koszt.
Przykład 1. W wyrobisku przebywa jeden człowiek (m = 1). Wskutek potencjalnego
(przyszłego) zdarzenia E, na przykład tąpnięcia, może on, z prawdopodobieństwem pE = 0,2
ulec śmiertelnemu wypadkowi lub, z prawdopodobieństwem ~
p  1  pE „wyjść zupełnie bez
p  1. Ubezpieczyciel
szwanku”. Żadne inne ewentualności nie są rozpatrywane, stąd pE + ~
E
określił koszt nieszczęścia, Ko = 10000 Euro. Obliczyć ryzyko
E
Rm, p
E
związane ze zdarzeniem
E w warunkach w = (m, pE).
Rozwiązanie: Zauważmy, że „przestrzeń możliwych wyników” składa się z 2 punktów (punkt
0 – zero osób poszkodowanych i punkt 1 – jedna osoba poszkodowana), podobnie „przestrzeń
możliwych kosztów” składa się z punktów 0 i Ko. Zastosowanie definicji
D p, nie wywołuje
żadnych trudności, zatem:
RwE = p · K = 0.2 · 10000 = 2000 Euro
____________________________________________________________________________
321
____________________________________________________________________________
Przykład 2: W wyrobisku są trzy osoby (m = 3) i każda, niezaleznie od losu innych, wskutek
zdarzenia E ulec może śmiertelnemu wypadkowi z pE = 0,2 lub nie ulec z ~
p = 1 – pE = 0,8.
Jak poprzednio koszt jednostkowy Ko = 10000 Euro.
Należy określić RwE , ryzyko związane z potencjalnym zdarzeniem E w warunkach w = (m, pE).
Rozwiązanie: „Przestrzeń możliwych wyników” składa się z 4 punktów (0, 1, 2, 3) bo tyle
może być ofiar zdarzenia E. Także przestrzeń możliwych kosztów składa się z punktów (0, Ko,
PwE (n) , że wskutek zdarzenia E, n spośród obecnych m
2 Ko, 3 Ko). Prawdopodobieństwo
osób ulegnie wypadkowi określone jest wzorem Bernoulliego [np. Feller (1966, str. 133);
w podręcznikach rachunku prawdopodobieństwa analogiczny problem zwany jest „próbami
Bernoulliego” lub „ciągiem rzutów (fałszywą) monetą”]:
m
PW (n)    pE (1  pE )
E
n
mn
n 
(2)
[Omawiana tu sytuacja wiąże się z „próbami Bernoulliego” poprzez tak zwany model ryzyka
kolektywnego, patrz np. Gerber (1979), Ronka-Chmielowiec (1997), Zeliaś (1998)].
Z równania (2) wyliczamy: Po = 0,512; P1 = 0,384; P2 = 0,096; P3 = 0,008, gdzie Pn piszemy
zamiast PwE (n). Oczywiście, ∑Pn = 1. Na dyskretnej, wielopunktowej przestrzeni kosztów,
definicja próbna
D p, , (1), nie umożliwia jednak jednoznacznego określenia ryzyka, dając zbiór
liczb:
{R} ≡{0, Ko · 0,384, 2 Ko · 0,096, 3 Ko · 0,008}
Można rzecz jasna, uznać że ryzyko jest wektorem o wielu składowych, a nawet polem
o intensywności zmieniającej się w sposób ciągły, nie wystarcza to jednak gdy potrzebna jest –
jak często bywa – jednoznaczna liczbowa wartość ryzyka.
Ponieważ jednak „zbiór ryzyk” {R} jest (z definicji) zbiorem iloczynów PnKn,
prawdopodobieństw Pn (zdarzeń indeksowanych liczbą n poszkodowanych) zdefiniowanych na
przestrzeni kosztów {Kn} to, z definicji wartości średniej (lub pierwszego momentu), suma
„ryzyk”  Rn – będąc sumą iloczynów PnKn – równa jest wartości średniej (zwanej też
n
wartością oczekiwaną) kosztów, określonych rozkładem prawdopodobieństwa P(Kn).
Zatem definicja ryzyka jako sumy ryzyk, w nieco ogólniejszej formie szeroko przyjęta
w literaturze dotyczącej teorii decyzji (np. DeGroot, 1981), przywraca pojęciu ryzyka
jednoznaczność. Możemy zatem zaproponować „ulepszoną definicję próbną”:
"
R =  Pn K n
( D p ):
(3a)
n
(gdzie sumowanie przebiega „po poszkodowanych”, a formalnie: po przestrzeni zdarzeń
elementarnych). W naszym przykładzie:
E
Rw  Po · 0 + P1Ko + P2 · 2 Ko + P3 · 3 Ko =0,6 Ko
W praktyce obliczenie (tak zdefiniowanego) ryzyka można dalej uprościć (np. Gerber 1979,
str. 12):
____________________________________________________________________________
322
____________________________________________________________________________
E
Rw  nw  K w
gdzie:
(3b)
nw = m · pE, jest średnią liczbą poszkodowanych w warunkach w, natomiast K w jest
średnią szkodą jednostkową (tzn. dotyczącą jednej osoby).
Równanie (3b) zapisać można w postaci:
E
Rw  m  (pE  K w )
(3c)
które wyraża ryzyko jako sumę m identycznych ryzyk jednostkowych.
Zatem, gdy w sytuacji zagrożenia zbiorowego (m osób lub obiektów objętych skutkami
zdarzenia E) sumowane są ryzyka indywidualne, to otrzymuje się wartość średnią strat
(oczekiwanych wskutek zdarzenia E. W teorii decyzji i jej zastosowaniach wielkość ta
nazywana jest ryzykiem (choć wiemy już, z przykładu 2, że „ryzyko” może być zbiorem liczb
a nie liczbą).
Nie zawsze jednak taka definicja ryzyka wystarcza w zastosowaniach: bywa bowiem, że
(np. inwestora) interesuje ryzyko maksymalne lub (np. ubezpieczyciela) interesuje jakiś wysoki
kwantyl rozkładu szkód – i wówczas ryzyko średnie nie jest użyteczne.
Zajmiemy się teraz sytuacją nieco bardziej złożoną, ale i bardziej realistyczną kiedy to
wypadek – w odniesieniu do jednej osoby – określony może być „natężeniem szkody” [na
przykład wyrażoną w dziesiątkach procent (0, 10 %,..., 100 %) utratą zdrowia] i ubezpieczyciel
może szkodę tę wyrazić w jednostkach finansowych (0, K1,..., Ki, ..., Kr) tworząc przestrzeń
K1 = (0, K1,... Kr) kosztów jednostkowych a także (ubezpieczyciel) potrafi przypisać
1
prawdopodobieństwo pi każdemu z r+1 punktów tej przestrzeni, tworząc rozkład p1(K)
prawdopodobieństwa kosztów jednostkowych (tzn. związanych z jedną osobą) określony na tej
(dyskretnej) przestrzeni kosztów K1. Ponieważ osoby nieposzkodowane traktowane są
osobno, definiuje się p1(0) ≡ 0. Zauważmy, że małą literą p oznaczane są prawdopodobieństwa zdarzeń z definicji dotyczących jednej osoby (prawdopodobieństwa zdefiniowane
na przestrzeni kosztów jednostkowych), dużą literą P prawdopodobieństwa zdarzeń, które
mogą dotyczyć wielu osób (prawdopodobieństwa zdefiniowane na ogólnej przestrzeni
zdarzeń/kosztów).
Niech pE oznacza – jak poprzednio – prawdopodobieństwo ulegnięcia jakiemukolwiek
wypadkowi (wskutek zdarzenia E, przez osobę będącą w wyrobisku objętym skutkami)
natomiast ~
p E = 1 – pE prawdopodobieństwo „wyjścia bez szkody”, niezależnie od liczby i losu
innych osób. Równanie (2) określa teraz rozkład prawdopodobieństwa liczby osób w jakikolwiek sposób poszkodowanych (i nieposzkodowanych) czyli rozkład liczby osób, które
odniosły jakąkolwiek spośród (Ko, ..., Kr) szkód gdy w wyrobisku było m osób.
Ponieważ rozkład sumy losowej liczby niezależnych zmiennych losowych jest splotem ich
E
rozkładów (Gerber 1979 str. 11) to rozkład prawdopodobieństwa Pw (K) , wzdłuż osi K,
potencjalnych szkód/strat sumarycznych (K) – powstałych wskutek zdarzenia E w obecności m
osób – określony jest równaniem (np. Zeliaś 1998 str. 96; Gerber 1979 str. 12):
m
E
1
*n
Pw (K)   [p (K)]
n 0
 Pn (m, pE )
(4)
gdzie:
p1(K) – rozkład kosztów jednostkowych,
____________________________________________________________________________
323
____________________________________________________________________________
[p1(K)] *n – n-krotny autosplot rozkładu p1(K); z definicji p*o(k) ≡ 1, 0, 0,...) [p1(K)] *1 ≡
[(0, p1(Ko),..., p1(Ko)],
Pn(m, pE) – prawdopodobieństwo jakiegokolwiek (także zerowego) poszkodowania n osób
spośród m obecnych w wyrobisku objętym skutkami. Pn(m, pE) określone jest
równaniem (2),
PwE (K) – prawdopodobieństwo wystąpienia kosztu K wskutek zdarzenia E, w warunkach W,
W – warunki zdarzenia: liczba m osób w wyrobisku, prawdopodobieństwo pE odniesienia
niezerowej szkody przez osobę w wyrobisku (niezależnie od liczby i losu innych),
rozkład p1(K) kosztów jednostkowych
Ponieważ P(K) jest rozkładem prawdopodobieństwa, ∑P(K) = 1.
E
E
Pełna analiza ryzyka oznacza pełną analizę rozkładu Pw (K). W praktyce Pw (K ) musi
być obliczany komputerowo i wszystkie – być może z wyjątkiem obliczania wartości średniej
– jego analizy muszą być robione numerycznie. Tylko w zagadnieniach ubezpieczalnictwa
gdzie populacje „przedmiotów ryzyka” (czyli ubezpieczonych klientów) liczone są w tysiącach, rozkłady przyjmują prostą postać asymptotyczną, co umożliwia obliczenia analityczne.
Liczebność L przestrzeni kosztów w warunkach W wynika z właściwości splotu, z liczebności
(r+1) przestrzeni kosztów jednostkowych i z liczby m osób w wyrobisku:
L = 1 + mr
(5)
Zbadamy teraz ilustrujący te rozważania przykład 3.
Przykład 3: W wyrobisku są m = 3 osoby a każda z nich może (jak „wiemy” ze statystyk)
ulec wypadkowi wskutek zdarzenia E z prawdopodobieństwem pE = 0,3 [i „wyjść zupełnie bez
szkody” z prawdopodobieństwem ~
p E = 1 – pE = 0,7] niezależnie od liczby i losu innych.
Osoba poszkodowana może być poszkodowana na kwotę Ko = 3000 Euro z prawdopodobieństwem p1(Ko) = 0,6, na kwotę 2 Ko z p1(Ko) = 0,3 i na kwotę 3 Ko z p1(3 Ko) = 0,1 przy
czym [∑p1(K) = 1], niezależnie od losu innych. Obliczyć rozkład kosztów oraz ich wartość
oczekiwaną (czyli ryzyko) wskutek potencjalnego zdarzenia E.
Rozwiązanie. Zauważmy najpierw, że wartości p1(K) tworzą, na dyskretnej podstawie
(0, Ko, 2 Ko, 3 Ko) rozkład prawdopodobieństwa szkody jednostkowej [0, p1(Ko), p1(2 Ko),
p1(3 Ko)] – gdyż zdefiniowano, że p1(o) ≡ 0 – oraz, że:
1
1
1
K  Ko  p (Ko )  2 Ko  p (2 Ko )  3 Ko  p (3 Ko )  1,5 Ko
Zgodnie z równaniami (4), (2) i (5):
pr(K) = [p1(K)] *0 · Po + [p1(K)] *1 P1 + [p1(k)] *2 P2 + [p1(K)] *3 P3,
E
Pn = Pw (n) 
3
   0,3n  0,73  n ,
n
K=0,... L
n  0, 1, 2, 3
Po = 0,343, P1 = 0,441, P2 = 0,189, P3 = 0,027 i zgodnie z równaniem (3a, b, c)
m
m  m  pE   n  Pn  0,9
n 0
____________________________________________________________________________
324
____________________________________________________________________________
Zestawmy teraz w tabeli wartości autosplotów [p1(K)] *n oraz wartości prawdopodobieństwa
Pr(K) dla K = 0,..., L i dla n = 0, 1, 2, 3
K
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
p*0(K)
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
p*1(K)
0
0,6
0,3
0,1
0
0
0
0
0
0
p*2(K)
0
0
0,36
0,36 0,21
0,06
0,01
0
0
0
p*3(K)
0
0
0
0,216 0,324 0,270
0,135 0,065 0,009 0,001
Pr(K) 0,343; 0,2646; 0,2003;
0,116; 0,0484; 0,0186; 0,0055; 0,0012; 0,0002; 0,0
Otrzymany wynik łatwo się sprawdza, gdyż ∑Pr(K) ≡ 1. Ryzyko, czyli wartość oczekiwaną
(lub: średnią) kosztów związanych ze zdarzeniem E liczymy z równania:
R = ∑K · Pr(K) = 1,35
Jeśli celem analizy byłoby tylko obliczenie ryzyka R (w teorii decyzji często porównuje się
„jakość” lub „użyteczność” kilku decyzji; wówczas wystarczy porównać związane z nimi
oczekiwane ryzyko) to wynik R  m  K  0,9  1,5  1,35 otrzymuje się bez obliczania
całego rozkładu Pr(K) kosztów; lecz znając pełny rozkład Pr(K) rozwiązywać można ciekawe i
ważne w praktyce problemy sytuacji ekstremalnych – na przykład badać jakie jest
prawdopodobieństwo, że łączna (dotycząca m osób w wyrobisku) szkoda przekroczy kwotę
20000 Euro (lub dowolną kwotę Kx) lub badać jaka kwota szkód nie zostanie przekroczona
z prawdopodobieństwem α % (kwantyl α %); ta ostatnia wielkość znana jest w literaturze jako
„Value-at-Risk” (VaR) czyli „wartość zagrożona (na poziomie α%)” i rezerwy finansowe – np.
banku na wypadek „złych długów” tworzone są proporcjonalnie do tej wielkości (np. jako 8 %
VaR (0.01). Czytelnik zauważy, że zagadnienie ryzyka wiąże się w tym miejscu ze
statystyczną teorią przedziałów ufności dla zmiennej losowej (którą tu są koszty) i z teorią
testowania hipotez.
Można teraz wyobrazić sobie, że rozkład p1(K) szkody jednoosobowej określony jest – nie
na podstawie dyskretnej (3000 Euro, 6000 Euro, 9000 Euro) czy choćby (0, K1, ..., Kr) lecz –
na podstawie ciągłej (0, Kmax) tak, że p1(K) jest ciągłym rozkładem gęstości prawdopodobieństwa, zdefiniowanym na ciągłej podstawie 0 < K < Kmax, przy czym określenie formy
matematycznej p1(K) i wartości Kmax jest zadaniem ubezpieczyciela (lub zarządu kopalni) a nie
geofizyka.
Dalej więc przyjmuje się, że postać rozkładu p1(K) jest znana.
Wprowadzenie ciągłego rozkładu gęstości prawdopodobieństwa szkody jednoosobowej
powoduje minimalną tylko modyfikację równania (4): ponieważ p1(K) jest teraz gęstością
prawdopodobieństwa – a nie prawdopodobieństwem – gęstością są też autosploty [p1(K)] *n i
E
ich ważone sumy, zatem wynikowa wielkość prw (K ) - zauważ małą literę „p” – jest też
gęstością prawdopodobieństwa szkody:
E
m
1
*n
prw (K)   [p (K)]
n 0
 Pn (m, pE )
(6)
E
[porównaj np. Zeliaś, 1998, r. 5.129]. Gęstość prw (K) jest – co najmniej w teorii –
określona na ciągłej podstawie (na ciągłej przestrzeni) K. W praktyce tylko w nielicznych
przypadkach [gdy p1(K) jest prostym, znanym rozkładem, np. uciętym normalnym lub
wykładniczym) obliczenia analityczne, operujące „wzorami” funkcji są możliwe – w naszych
zastosowaniach wygodnie jest przyjmować p1(K) zawsze w postaci tabelarycznej i znając
____________________________________________________________________________
325
____________________________________________________________________________
wartość m (liczbę osób zagrożonych) wszystkie obliczenia wartości prwE (K) wykonywać za
pomocą prostego algorytmu:
Algorytm obliczania wartości pr (K), K = 0,..., L; L = 1 + mr znając wartości m,
pE, r oraz [p1(1),..., p1(r)]
1.
2.
3.
Zgodnie z (2), oblicz P(n) dla n = 0,..., m
h(1,0) = 0; h(1, j) = p1(j) dla j = 1,..., r; h(1,j) = 0 dla j = r+1,..., L
dla i=2,..., m
dla j=0,..., L : h(i,j) = 0
L1 = i∙r
dla j=i,..., L1
L2 = min (r, j)
dla k=1,..., L2: h(i,j) = h(i,j) + h(1,k) ∙ h(i-1, j-k)
end
end
4.
dla K=1,..., L
pr(K) = 0
dla n=1,..., m : pr(K) = pr(K) + P(n) ∙ h(n, K)
end
5.
pr(o) = P(o)
Ostatni już krok w rozwijaniu metody polega na dopuszczeniu by pE, prawdopodobieństwo
odniesienia jakiejkolwiek szkody przez osobę w wyrobisku objętym skutkami, uzależnione
było od natężenia (w naszym przypadku: od energii E) tego zjawiska.
Na podstawie „twierdzenia o prawdopodobieństwach złożonych” (Feller, 1966 str. 105)
prawdopodobieństwo odniesienia niezerowej szkody (K > 0) przez poszkodowanego w zdarzeniu o energii Eo równe jest iloczynowi (prawdopodobieństwa odniesienia tej szkody pod
warunkiem wystąpienia Eo) oraz (prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia o energii Eo):
pE = P(K > 0|E = Eo) · P(Eo)
(7)
Prawdopodobieństwo P(Eo) może zależeć od czasu [tzn. P(Eo) = Pt(Eo)] i jak powiedziano
we wprowadzeniu, dysponujemy metodą i programem prognozy Pt+1(E), o czym w rozdz. 3.
Zagadnienie określenia rozkładu P(K > 0|E = Eo) należy do ubezpieczyciela a nie do
geofizyka, lecz poświęcimy mu parę zdań by nie pozostawić wrażenia ukrytych trudności.
Wiadomo z praktyki, że dla słabych wstrząsów – na przykład gdy E < 1 · 103 J –
prawdopodobieństwo odniesienia szkody jest bardzo małe. Dla silnych wstrząsów – na
przykład gdy E > 1 · 106 J - jest ono bardzo duże. Zatem najbardziej zgrubne przybliżenie
rozkładu prawdopodobieństwa P(K > 0|E = Eo) przedstawia rysunek 2.1.
____________________________________________________________________________
326
____________________________________________________________________________
P
1
1
2
3
4
5
6
7
8
log E
Rys. 1.2. Zgrubna aproksymacja rozkładu P(K > 0|E = Eo)
Fig. 1.2. Approximate distribution of P(K > 0|E = Eo).
(przy czym winno być oczywiste, że punkty załamania wybrano arbitralnie i mogą one być
zmieniane zależnie od potrzeb). Zbliżone, choć może nieco lepsze dla małych i dużych energii,
wyniki otrzymać można stosując „krzywą sigmoidalną”:
P(K > 0|E = Eo) = {1 + exp[-γ(logE – log E1)]}
(8)
gdzie:
E1 i γ – są parametrami dystrybuanty: E1 określa położenie środka symetrii krzywej (P = 1/2)
natomiast γ umożliwia regulację nachylenia krzywej w otoczeniu środka symetrii [dP/dE = γ/4
gdy E = E1] umożliwiając łatwe dopasowanie krzywej do obserwacji.
Rzeczywista prognoza ryzyka i rozkładu potencjalnych strat, liczona w chwili t dla
okresu (t, t+T) – gdzie T jest np. godziną – zaczyna się więc od określenia wartości Eo
i Pt(Eo), o czym w następnym rozdziale, następnie znając Eo określić należy P(K > 0|E = Eo)
– np. z (8) i pE – np. z (7) – a potem, znając m, liczbę osób w wyrobisku i p1(K), rozkład
szkód jednoosobowych oblicza się, zależnie od potrzeb,
r
-
1
albo tylko R  m  pE   K i p (Ki ) gdzie r jest liczebnością (dyskretnej lub dyskretyzoi 1
wanej) przestrzeni szkód jednoosobowych {p1(K1),..., p1(Kr)},
-
albo pełny rozkład prawdopodobieństwa potencjalnych szkód, np. korzystając
z podanego algorytmu. Ten schemat postępowania nie jest ograniczony do akcji
ratowniczej.
Zatem:
A1. Z końcem każdej jednostki czasu oblicz (rozdz. 3) oczekiwaną w nadchodzącej jednostce
czasu energię Eo określoną na dyskretnej logarytmicznej osi energii:
[np.: (... 0,25 · 104 ÷ 0,75 · 104 J,
0,75 · 104 ÷ 0,25 · 105 J,
0,25 · 105 ÷ 0,75 · 105 J,...)],
oraz prawdopodobieństwo Pt(Eo) wystąpienia energii zawartej w tym właśnie przedziale.
A2. „Znając” wartości Eo i P(Eo), za pomocą (7) i (8) oblicz prawdopodobieństwo pE
poszkodowania osoby w wyrobisku objętym skutkami zdarzenia E (pamiętając, że pE nie
zależy od liczby i losu innych osób).
____________________________________________________________________________
327
____________________________________________________________________________
E
A3. „Znając” pE, m, p1(K), za pomocą równań (2) i (6) oblicz prw (K). Umożliwia to pełną
analizę ryzyka.
A4. Jeżeli potrzebna jest tylko wartość oczekiwana strat – czyli ryzyko R – pełny rozkład
E
prw (K) nie musi być liczony: „znając” pE, m, p1(K) oblicz K z rozkładu p1(K) i
R = m K.
By zamknąć dyskusję o definicji ryzyka, dodać należy następujące komentarze:
1.
W zagadnieniach podejmowania decyzji, ryzyko ma jednoznaczną definicję: w znanej
(przetłumaczonej m.in. na język polski) i popularnej monografii DeGroot (1981, str. 106)
pisze „Dla dowolnej decyzji d (...) oczekiwana strata, ς(P,d) nazywana ryzykiem,
określona jest wzorem
ς(P, d) =
 L (ω,d) dP(ω)
G
- {L(ω, d) jest to strata jako funkcja decyzji (d) i wyników (ω), oczekiwana strata to tyle
co wartość średnia potencjalnych strat, G to przestrzeń parametrów (przyp. J.K.)} – i dalej,
na str. 118 (DeGroot, 1981, str. 118), wzmacnia to, pisząc explicite – „termin ryzyko
oznacza oczekiwaną stratę”. Definicja ta jest związana z klasyczną teorią decyzji
i wystarcza dla ustalenia rankingu decyzji/sytuacji na podstawie kryterium oczekiwanych
strat. Gdy strata ma prosty wymiar finansowy i nie musimy zajmować się matematycznymi detalami powyższe równanie przyjmuje prostszą postać:
R   K  Pr(K)dK  ΣK  Pr(K)
(9)
(oznaczenia jak w przykładzie 3).
2.
W niektórych zagadnieniach, gdzie nie koncentrujemy się tylko na szkodach lecz
przedmiotem zainteresowania są, mniejsze lub większe zyski/korzyści, ryzyko bywa
definiowane jako niepewność zysku/korzyści – mierzona wariancją (lub odchyleniem
standardowym) – np. Zeliaś (1998 str. 18) – szczególnie w przypadku normalnego
rozkładu zysków (z portfela inwestycji). W licznych zagadnieniach (np. zarządzania
przedsiębiorstwem, bankowości, ubezpieczeń) gdzie możliwa fizycznie lecz niewskazana
(z oczywistych powodów) jest strata finansowa, zarząd zmuszony bywa do tworzenia
rezerw finansowych zależnych od wartości „zagrożonych dóbr”. W tej sytuacji konieczna
jest ilościowa ocena wartości zagrożonych dóbr, często też zwana analizą ryzyka (lecz
„ryzyko” ma tu inne znaczenie) przy czym rozpatruje się – nie „zagrożenie” czy „ryzyko”
średnie, lecz – najgorszy lub „niemal najgorszy” rozwój sytuacji na przykład dopuszczając
straty, które zdarzyć się mogą raz na sto (jednostek czasu) czyli z prawdopodobieństwem
(np.) 1 %. Taka (pełna) analiza ryzyka wymaga określenia całego rozkładu prawdopodobieństwa potencjalnych strat (np. stosując podany poprzednio algorytm) Pr(K),
K=0,..., L. W zagadnieniach tego typu obecnie powszechnie stosowane jest pojęcie
wartości zagrożonej (ang.: Value-at-Risk, w skrócie: VaR); patrz np. Jorion (2001), Dowd
(1998). VaRα jest to – umownie przyjęty, tak jak np. w przypadku przedziałów ufności lub
testów – odległy kwantyl (np. 1 % czyli α = 0.01) rozkładu możliwych strat. Jest to więc
strata, która nie będzie przekroczona z prawdopodobieństwem 1 – α.
____________________________________________________________________________
328
____________________________________________________________________________
3.
Można więc powiedzieć, że ryzykiem nazywamy tą – być może niepełną jak np. wartość
średnia – charakterystykę rozkładu (zysków i) strat, która jest ważna lub użyteczna
w danej aplikacji. Czasem może to być średnia wartość strat, czasem strata „maksymalna
w zadanym przedziale ufności” lub jeszcze inna. Gerber (1979, str. 48) – nawiązując do
aktuarystyki – pisze: „Traditionally, the distribution of aggregate claims of a portfolio has
been a central topic of risk theory”. Zawsze jednak należy ściśle, ilościowo i w sposób
konstruktywny (tzn. umożliwiający obliczenie) definiować ryzyko będące przedmiotem dyskusji, gdyż bez tego dyskusja traci sens.
3. Prognoza zagrożenia sejsmicznego
Zagadnienie prognozy energii sejsmicznej emitowanej przez górotwór i związanego z tym
zagrożenia sejsmicznego opisane i analizowane było szczegółowo w publikacjach autora
i współpracowników (Kornowski 2002a,b, 2003, Surma i Kornowski 2002; Kornowski
i Kurzeja 2002) zatem w tym rozdziale nie będziemy wnikali w szczegóły problemu: w p. 3.1
sformułowane będą potrzebne pojęcia i zasady prognozy, w p. 3.2 pokazany i objaśniony
będzie przykład (realnej prognozy w ść. 37/501 kopalni Wesoła). Inne przykłady znaleźć
można w wyżej wspomnianych publikacjach.
3.1. Pojęcia, niezbędne dla zdefiniowania i prognozowania zagrożenia sejsmicznego
Zarząd kopalni a także górnicy, zwykle chcieliby być poinformowani – przed zbliżającym
się silnym wstrząsem – o czasie wystąpienia oraz o miejscu i energii wstrząsu. Taką informację
chętnie nazwano by użyteczną prognozą wstrząsu. Niestety brak dziś racjonalnych metod takiej
prognozy. C. Lomnitz (1994, str. 3) stwierdza krótko: „Earthquake prediction (in the sense of
forecasting the date, location and magnitude) is not feasible today” i diagnoza ta dotyczy także
wstrząsów górniczych. Wielu sejsmologów uważa więc dziś, że prognoza taka –na obecnym
etapie rozwoju nauki – nie jest możliwa i nie należy się nią zajmować – a praktyka górnicza
zdaje się to potwierdzać. Jednakże prognoza jednowymiarowych szeregów czasowych – na
przykład ciągów godzinowych energii zdarzeń sejsmicznych w ścianie, gdzie prognozować
trzeba jeden tylko parametr (energię) – nie napotyka ani nie wywołuje żadnych podstawowych
trudności: wyniki prognozy szeregu czasowego mogą być lepsze lub gorsze, mniej lub bardziej
użyteczne, lecz zawsze są dobrze zdefiniowane i możliwe do jednoznacznego obliczenia.
Należy więc całkowitą energię ET(t) wstrząsów i impulsów sejsmoakustycznych (obserwowanych nad poziomem szumu w rejonie danej ściany) sumować (grupować) w kolejnych, na przykład godzinowych, przedziałach czasu, tworząc szereg czasowy. Praktyka
dowodzi (patrz np. Kornowski 2002a,c), że szeregi czasowe godzinowej logarytmicznej
energii całkowitej, ET(t), wykazują autokorelację wystarczającą do użytecznej prognozy
i nieodległy od normalnego rozkład błędów prognozy – umożliwiając w chwili t (np.
o każdej „pełnej” godzinie) prognozę
wartości średniej i wariancji
rozkładu gęstości prawdopodobieństwa energii całkowitej ET(t+1), która wyemitowana
będzie w obszarze obserwacji w nadchodzącej godzinie.
Zauważmy, że jeśli rozkład prognozowanej logarytmicznej energii może być dobrze aproksymowany rozkładem normalnym, to prognoza wartości średniej i wariancji daje pełną
informację o tej energii, umożliwiając, na przykład, określenie z jakim prawdopodobieństwem
energia ET(t+1) – która będzie wyemitowana w nadchodzącej godzinie – zmieści się w prze____________________________________________________________________________
329
____________________________________________________________________________
dziale, powiedzmy, log Eo ± 1/2 czyli w przedziale o szerokości jednostki logarytmicznej
wokół Eo.
Prognoza umożliwia więc oszacowanie najbardziej prawdopodobnej wartości Eo np. Eo =
1·105 J, oraz P(Eo ± ∆E) prawdopodobieństwa, że energia ta znajdzie się w ustalonym
przedziale (np. 0,75∙105 – 2,5∙105 J) wokół Eo, a takie właśnie informacje są potrzebne – jak
stwierdzono w poprzednim rozdziale, do oceny ryzyka.
Prognoza ta umożliwia ponadto obliczenie prawdopodobieństwa przekroczenia – przez
całkowitą energię w nadchodzącej godzinie – dowolnego z góry ustalonego progu
„bezpieczeństwa” (np. wartości Eg = 1 · 105 J).
Jeżeli więc zaakceptujemy niżej podaną – lub zbliżoną – „próbną klasyfikację”
Zagrożenie: „a” jeśli P(Et+1 > 1∙105 J) < 0,0001
„b” jeśli 0,0001 < P (Et+1 > 1∙105 J) < 0,001
„c” jeśli 0,001 < P(Et+1 > 1∙105 J) < 0,01
„d” jeśli 0,01 < P (Et+1 > 1∙105 J)
to otrzymamy jednoznaczną, logicznie poprawną i w przybliżony sposób obliczalną
w przez nas wybranych przedziałach (np. godzinowych) czasu definicję (uśrednionego
dla obserwowanej ściany) zagrożenia sejsmicznego (to jest tylko przykład!).
Ceną jaką trzeba za to zapłacić jest
a) odejście od prognozy miejsca, czasu i magnitudy i akceptacja prognozy energii całkowitej
(tzn. AE + wstrząsów),
b) konieczność systematycznego dostarczania informacji o energii Et (AE + wstrząsów)
w minionej jednostce czasu (godzinie),
c) konieczność pogodzenia się ze stochastycznym charakterem prognozy (w formie np.
parametrów rozkładu prawdopodobieństwa albo w formie przedziałów ufności).
Prognoza w żadnym wypadku nie może ograniczać się do podania najbardziej prawdopodobnej
wartości ET (t  1) (tzw. „punktowej”), gdyż ta niemal na pewno będzie błędna. Znacznie
rozważniejsza jest prognoza w formie zdania:
Z prawdopodobieństwem (np.) P = 90% energia ET(t+1) spełni nierówności E5% <
ET(t+1) < E95%, a prawdopodobieństwo, że ET(t+1) > Eg wynosi PEg, zatem stan zagrożenia
= z (przy czym symbole E5%, E95%, Eg, PEg zastąpione być musza liczbami a stan „z” jedną
z liter a, b, c, d). W praktyce zdanie to może być, oczywiście, skrócone.
Dla otrzymania liczbowych wartości najbardziej prawdopodobnej energii i jej wariancji
w nadchodzącym okresie (t, t+1) należy, w każdej kolejnej jednostce czasu, znając już energię
ET(t):
A) Ułożyć tak zwane równania normalne prognozy liniowej (co sprowadza się do estymacji
autokorelacji);
B) Rozwiązać je (stosując algorytm Levinsona lub równoważny) otrzymując współczynniki
„predyktora liniowego” i jego rząd K oraz wariancję błędu prognozy;
C) Wykonać splot K współczynników predyktora z ostatnimi K obserwacjami energii {ET(t),
ET(t-1),..., ET(t-K+1)} otrzymując najbardziej prawdopodobną wartość ET(t+1).
Dokładniejsze opisy obliczeń znaleźć można w literaturze podanej na początku rozdziału.
3.2. Przykład prognozy energii (całkowitej) w godzinowych przedziałach czasu
Przedstawiony przykład prognozy dotyczy ściany 37 w pokładzie 501 kopalni „Wesoła”
i obejmuje okres od 12.02.2002 do 2.04.2002, czyli 7 tygodni lub 1176 godzin obserwacji
i prognozy. Ściana ta, znana z silnego zagrożenia tąpaniami, obserwowana była w sposób
ciągły i przez długi czas kopalnianą siecią sejsmometrów, które rejestrowały wstrząsy i siecią
____________________________________________________________________________
330
____________________________________________________________________________
czujników sejsmoakustycznych – z których, do naszego przykładu, wybrano jeden, oznaczony
przez Kopalniane Służby Geofizyczne jako czujnik A11. Wstrząsy były lokalizowane
(i liczono ich energie) i w przykładzie uwzględniono te, które pochodziły z rejonu ściany 37.
Energia umowna impulsów sejsmoakustycznych była przekształcana w taki sposób, by
otrzymać energię fizyczna, wyrażaną w dżulach, gdyż obliczenie ET(t), całkowitej energii
emisji w kolejnych godzinach, wymaga by energie zdarzeń sejsmicznych (rejestrowanych
przez sieć sejsmometrów) i sejsmoakustycznych (z sieci ARES) były addytywne. Sposób
przekształcania opisał Kornowski (2002d); zagadnienie to odbiega od naszego tematu i nie
będzie tu dyskutowane.
Godzinowe energie wstrząsów i zdarzeń sejsmoakustycznych z obserwowanej ściany
były dodawane i logarytmowane. Tak otrzymane godzinowe wartości ELT(t) = log(Es +
EAE + 1) – gdzie Es to energie wstrząsów EAE – energie impulsów, 1 dodawano by uniknąć
logarytmowania zera – stanowiły dane wejściowe do algorytmu prognozy. Analizę danych
wejściowych przedstawia rysunek 3.1.
Na rysunku 3.1, w kolejnych „wierszach” pokazano, od góry
- godzinową logarytmiczną energię wstrząsów
- w wierszu drugim, od lewej, mamy
- autokorelację ciągu energii wstrząsów (zauważ, że wartości autokorelacji są bliskie zera),
- rozkład energetyczny godzinowych logarytmicznych energii wstrząsów (zauważ wielką
liczbę zer oraz podwójne – od góry i od dołu – cenzurowanie obserwacji!),
- widmo ciągu energii wstrząsów,
- w wierszu trzecim pokazano logarytmiczne godzinowe energie emisji sejsmoakustycznej,
- w wierszu czwartym, od lewej (jak poprzednio) mamy,
- autokorelację emisji sejsmoakustycznej (skorelowana!),
- rozkład godzinowych energii emisji sejsmoakustycznej,
- widmo,
- w wierszu piątym pokazano logarytm sumy godzinowych energii wstrząsów i impulsów,
ELT(t) = log (Es + EAE +1); energie te najpierw sumowano, potem logarytmowano nie jest
to więc dokładna suma wierszy 1 i 3,
- w wierszu szóstym pokazano autokorelację, rozkład energetyczny i widmo szeregu
czasowego ELT(t).
Analiza danych wejściowych potwierdza wcześniejsze stwierdzenie, iż ciągi wstrząsów nie
są skorelowane zatem nie są (metodami liniowymi) prognozowalne na podstawie własnej
historii, natomiast emisja całkowita ET(t) ma istotną autokorelację, co umożliwia
użyteczną liniową prognozę. Z zagadnieniem autokorelacji emisji całkowitej ET(T) wiążą się
głębsze zagadnienia dotyczące autokorelacji sumy procesów, zasadności podziału na
sejsmologię i sejsmoakustykę oraz postulatu jedności emisji – szczegółowo dyskutowane
w pracy Kornowski (2003) i zbyt odbiegające od naszego tematu by je tu dyskutować.
Wyniki prognozy szeregu czasowego ELT(t) – pokazanego w wierszu 5 od góry na rysunku
3.1– pokazano na rysunku 3.2. Dla łatwiejszego opisu werbalnego przyjmiemy, że i ten
rysunek składa się z „wierszy”.
- W pierwszym (od góry) wierszu pokazano zaobserwowane (czyli rzeczywiste) wartości
ELT(t) (linia ciągła) i wartości prognozowane (linia kropkowana) jako najbardziej
prawdopodobne w nadchodzącej godzinie – dla dwu tygodni (od godziny nr 336 do
godziny nr 672) obserwacji i prognozy.
- w wierszu drugim (który obejmuje pełne 7 tygodni obserwacji prognozy) pokazano
obserwowane wartości ELT(t) – w środku – w otoczeniu granic 90% przedziału ufności dla
prognozy; należy zauważyć, że wartości rzeczywiste ELT(t) zwykle mieszczą się wewnątrz
tego przedziału (granice przedziału ufności dla prognozy zawsze wyznaczane są zanim
____________________________________________________________________________
331
____________________________________________________________________________
prognozowana wielkość zostanie zaobserwowana!). Jak widzimy, nie ma przeszkód by
obliczyć najbardziej prawdopodobną energię (na nadchodząca godzinę) w przedziale
– powiedzmy o szerokości 1/2 jednostki logarytmicznej – oraz prawdopodobieństwo
z tą energią związane
a te właśnie informacje
potrzebne są do prognozy ryzyka
w wierszu trzecim pokazano błędy prognozy, czyli różnicę między wartością
zaobserwowaną a prognozowaną,
w wierszu czwartym pokazano autokorelacje, rozkład energetyczny i widmo błędów
prognozy; należy zauważyć że:
a) rozkład energetyczny – w znacznym stopniu dzięki transformacji logarytmicznej –
jest w przybliżeniu symetryczny i może być aproksymowany rozkładem
normalnym (choć nie jest ściśle normalny),
b) autokorelacja błędów prognozy nie różni się w istotny sposób od zera, co oznacza
że algorytm prognozy wykorzystał całą (lub niemal całą) dostępną informację.
-
12.02.2002
6 log[E (t )+1][J]
S
i
4
2
0
0.5
0
-0.5
t[h]
168
r(t)
200
200
840
N(logE)
2
4
0
S(T)[dB]1008
1176
-50
logE
0
6
T[h]
48 24
12
6
t[h]
336
504
200
100
0
400
672
840
N(logE)
-50
logE
0
2
4
0
1008
S(T)[dB]
6
1176
T[h]
48 24
12
6
t[h]
168
336
r(t)
t
0
672
A11
t
6 E (t ) [J]
LT i
4
2
0
0.5
0
-0.5
400
r(t)
0
504
100
50
0
t
0
6 log[E (t )+1][J]
AE i
4
2
0
168
0.5
0
-0.5
336
200
400
504
200
100
0
672
840
N(logE)
logE
0
2
4
6
0
S(T)[dB]1008
-50
1176
T[h]
48 24
12
6
Rys. 3.1 Szeregi czasowe godzinowej logarytmicznej energii zdarzeń sejsmicznych i sejsmoakustycznych
{od góry, w wierszach 1, 3, 5: log {Es(ti) + 1]; log [EAE(ti) + 1] z czujnika A11; ELT(ti), i=1,..., 1176}
obserwowane w rejonie ściany 37 kop. „Wesoła” oraz, pod każdym z szeregów czasowych, ich
charakterystyki statystyczne (od lewej): funkcja autokorelacji, histogram rozkładu energii, widmo
Fig. 3.1. Time series of hourly logarithmic energies of seismic and AE events {from the top to the
bottom: log[Es(t) + 1], log [EAE(t) + 1], ELT(t)}, observed at the longwall 37 of the Wesoła Coal
Mine and (below any time series) its statistical characteristics (from the left to the right):
autocorrelation function, energy – frequency histogram, spectrum
____________________________________________________________________________
332
____________________________________________________________________________
12.02.2002
6 logE/h
4
2
0
336
6 logE/h
4
2
0
t[h]
504
672
t[h]
168
336
504
672
840
1008
1176
168
336
504
672
840
1008
1176
logE/h
2
0
-2
t[h]
r(t)
N(logE)
0.5
0
-0.5
0 S(T)[dB]
200
t
0
200
400
100
0
-4
logE
2
0
2
4
-50
T[h]
48 24
12
6
A11
Rys. 3.2 Wyniki prognozy szeregu czasowego E LT (t i ) [pokazanego na rys. 3.1]. Od góry:
prognozowane (kropki) i obserwowane (linia ciągła) wartości całkowitej logarytmicznej energii
godzinowej (dla dwu tygodni obserwacji)
wartości obserwowane (w środku) oraz granice (90%) przedziałów ufności dla prognozy
(7 tygodni)
wartości błędów prognozy
charakterystyki statystyczne błędów prognozy (od lewej): funkcja autokorelacji, histogram
rozkładu błędów, widmo szeregu czasowego błędów.
Fig. 3.2 Prediction results for the input data ELT(t) [shown at Fig. 3.1]. From the top to the bottom:
predicted (dots) and observed (continuous line) values of ELT(t), t=336,..., 672
observed values of ELT(t) between the 90% confidence intervals for prediction
prediction errors
statistical characteristics of prediction errors (from the left to the right): autocorrelation
function, energy-frequency histogram, spectrum.
Jakość prognozy można oceniać rozmaicie, zawsze jednak należy pamiętać, że:
- Metoda statystyczna minimalizuje średni kwadratowy błąd prognozy w dużych zbiorach
obserwowanych i prognozowanych energii. Ocena metody statystycznej na podstawie
pojedynczych lub nielicznych (choćby tak ważnych jak tąpania) przypadków jest zwykłym
błędem
- Prognoza miejsca czasu i energii jest dziś nieosiągalna, za to opisana tu metoda jest
niezbyt trudna (realnie działa w kopalni Wesoła) i zawsze dobrze zdefiniowana.
____________________________________________________________________________
333
____________________________________________________________________________
4.
Podsumowanie i wnioski
Zagadnienie estymacji ryzyka w warunkach akcji ratowniczej jest zagadnieniem złożonym
i może być w różny sposób (w zależności od oczekiwanego sposobu wykorzystania wyników)
definiowane. W pracy tej poruszono tylko niektóre, podstawowe i elementarne aspekty
zagadnienia, starając się – przede wszystkim – jednoznacznie i ilościowo zdefiniować ryzyko,
które ma być liczone oraz wykazać że jest ono obliczalne na bieżąco, w rzeczywistym czasie
akcji (autor jest świadom, że metoda może być stosowana nie tylko w czasie akcji). Wiele
ważnych zagadnień trzeba było pominąć, by praca nie stała się zbyt obszerna. Tym niemniej
przedstawiony materiał pozwala na sformułowanie ważnych wniosków:
a) Ryzyko, w kontekście poruszanych tu zagadnień, jest wielkością dobrze, ilościowo
zdefiniowaną.
b) W odniesieniu do najbliższej jednostki czasu (np. godziny) ryzyko wynikające
z zagrożenia sejsmicznego jest (w przybliżony sposób) prognozowalne.
c) Dysponując aparaturą, która umożliwia ciągłe obserwacje sejsmoakustyczne i sejsmologiczne wraz z prognozą energii i jej prawdopodobieństwa, oraz informacjami
statystycznymi o rozkładzie p1(K) „kosztów jednoosobowych” (wskutek tąpnięcia)
i o prawdopodobieństwie p(K>0|E = Eo), prognozować można w czasie rzeczywistym
– np. co godzinę ryzyko w czasie akcji ratowniczej w warunkach zagrożenia
sejsmicznego.
Praca powstała dzięki finansowemu wsparciu Komitetu Badań Naukowych w ramach grantu
6T120056 2002C/05823.
Literatura
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
Borys G. 1996: Zarządzanie ryzykiem kredytowym w banku. PWN, Warszawa.
DeGroot M. 1981: Optymalne decyzje statystyczne. PWN, Warszawa.
Dowd K. 1998: Beyond Value at Risk., Wiley, New York.
Dubiński J., Konopko W. 2000: Tąpania – ocena, prognoza, zwalczanie. GIG, Katowice.
Feller W. 1966: Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. PWN, Warszawa.
Gerber H. 1979: An Introduction to Mathematical Risk Theory, Huebner Found, Philadelphia.
Jorion Ph. 2001: Value at Risk. McGraw-Hill, New York.
Kajdasz Z., Kornowski J., Nowak W., 2002: Wspomaganie akcji zawałowych. Ratownictwo
Górnicze, 1.
Kornowski J. 2002a: Przykłady sejsmoakustycznej prognozy energii emitowanej z eksploatowanego
pokładu węgla. Warsztaty, 2002, IGSMiE PAN, Kraków.
Kornowski J. 2002b: Zastosowanie sejsmoakustyki do ciągłej analizy ryzyka w czasie akcji
ratowniczej w warunkach zagrożenia sejsmicznego. XXV Zimowa Szkoła Mechaniki Górotworu,
Wyd. Katedra Geomech., Bud. i Geotech. AGH.
Kornowski J. 2002c: Podstawy sejsmoakustycznej oceny i prognozy zagrożenia sejsmicznego
w górnictwie. GIG, Katowice.
Kornowski J. 2002d: Sposób obliczania energii fizycznej na podstawie „energii umownej”
w sejsmoakustyce. Tąpania ’02, GIG Katowice.
Kornowski J. 2003: Linear prediction of hourly aggregated AE and tremors energy emitted from
a longwall and its performance in practice. Archiwum Górnictwa, w druku.
Kornowski J., Kurzeja J. 2002: Metoda prognozowania zagrożenia sejsmicznego w kopalniach
węgla kamiennego. Przegląd Górniczy, Nr 12.
Lomnitz C. 1994: Fundamentals of Earthquake Prediction, J. Wiley, New York.
Niczyporuk Z. (red.) 2000: Podstawy zarządzania bezpieczeństwem w czasie akcji ratowniczej.
GIG, Katowice.
____________________________________________________________________________
334
____________________________________________________________________________
[17] Ronka-Chmielowiec W. 1997: Ryzyko w ubezpieczeniach – metody oceny. Wyd. Ak. Ekonom.,
Wrocław.
[18] Sobala J., Rosmus P. 1997: System zarządzania bezpieczeństwem pracy w zakładach górniczych.
GIG, Katowice.
[19] Surma A., Kornowski J. 2002: Liniowa prognoza zagrożenia sejsmicznego – na podstawie
obserwacji w rejonie ściany 37 w pokładzie 501 kopalni „Wesoła”. WUG – Bezpieczeństwo pracy
i ochrona środowiska w górnictwie, nr 12/2002.
[20] von Neumann J., Morgenstern O. 1944/47: Theory of Games and Economic Behaviour., Princeton
Univ. Press.
[21] Wald A. 1950: Statistical Decision Functions. J. Wiley, New York.
[22] Zeliaś A. (red.) 1988: Statystyczne metody oceny ryzyka w działalności gospodarczej. Wyd. Ak.
Ekonom., Wrocław.
Sequential analysis of risk during a rescue action in seismically hazardous
conditions – an introduction
The purpose of this paper is to formulate elementary definitions and algorithms allowing to
estimate the (monetary) risk and to analyse the potential (future) losses generated by realization
of seismic hazard (e.g. in case of rockburst). Prediction of risk and prediction of loss
distribution is possible, provided suitable information (statistical – from the past and predictive
– „from the future”) is known. At the time being, there is – actually working at the Wesoła coal
mine – predictive computer program allowing prediction of seismic energies and their
probabilities sequentially at regular time interwals, making use of seismic and seismoacoustic
observations from the observed, seismically hazardous, longwall. The same method (plus
statistical information) incorporated into seismoacoustic system used by rescue team during
a rescue operation (following a rockburst) can be used to predict the risk and analyse potential
losses.
Przekazano: 10 marca 2003 r.
____________________________________________________________________________
335

Jerzy Kornowski - Warsztaty Górnicze

Transkrypt

Podobne dokumenty

Test chi-kwadrat zgodności rozkładów.

Współczesna Prognoza Pogody – fizyka, matematyka, informatyka

ARKUSZ IDENTYFIKACJI, OCENY ORAZ OKREŚLANIA METODY

załącznik nr 4 do załącznika - Urząd Miasta Bielsk Podlaski

Rozkłady prawdopodobieństwa