co s up

Transkrypt

co s up

4. Aproksymacja
Wprowadzenie (4.1)
Aproksymacja oznacza przybliżanie funkcji y= f  x za pomocą „prostszej”,
należącej do określonej klasy funkcji y=F  x .
Przyczyny strosowania aproksymacji:
- funkcja aproksymowana y= f  x wyrażona jest za pomocą
skomplikowanej, niepraktycznej zależności analitycznej,
- znany jest tylko skończony zbiór wartości funkcji y= f  x, np. odczytanych w trakcie pomiaru.
Funkcji aproksymującej (przybliżającej) y=F  x  poszukuje się zwykle w
określonej rodzinie funkcji np. wśród wielomianów.
Przybliżanie jednej funkcji przez inną powoduje pojawianie się błędów,
zwanych błędami aproksymacji (przybliżenia).
Wprowadzenie (4.1)
W zależności od sposobu mierzenia błędu aproksymacji rozróżnia się dwa
rodzaje:
- aproksymację jednostajną
- aproksymację średniokwadratową
Aproksymacja jednostajna (4.1.1)
Zakłada się, że funkcje y= f  x oraz y=F  x  są określone i ciągłe w
przedziale [ a ; b] . Błąd aproksymacji jest mierzony za pomocą normy
Czebyszewa
∥ f −F ∥= s up ∥ f ( x)−F ( x)∥.
a⩽ x⩽b
Aproksymacja średniokwadratowa (4.1.2)
Wyróżnia sie dwa przypadki:
- aproksymacja ciągła - funkcja y= f  x jest określona i ciągła w
przedziale [ a ; b]. Błąd aproksymacji wyraża zależność
b
2
∥ f −F ∥=∫ w( x) [ f ( x )−F ( x) ] dx ,
a
gdzie y=w x to nieujemna, rzeczywista funkcja wagowa.
Wprowadzenie (4.1)
Aproksymacja średniokwadratowa (4.1.2)
- aproksymacja dyskretna - funkcja y= f  x jest funkcją dyskretną tzn. Jej
znane wartości można przedstawić za pomocą tabeli.
Tabela 4.1. Znane wartości funkcji dyskretnej
Błąd aproksymacji wyraża zależność
n
2
∥ f − F ∥=∑ w  x i [ f  xi −F  x i ] .
i=0
Funkcję aproksymującą wybiera się najczęściej w postaci wielomianu
uogólnionego
F  x =a 0  0  x a 1  1  xa m  m  x
w którym funkcje  0  x , 1  x ,  , m  x  są wybranymi a priori funkcjami
bazowymi m 1 wymiarowej przestrzeni liniowej. W takim przypadku zadanie
aproksymacji sprowadza się do określenia współczynników a 0 , a1 , , a m .
Wprowadzenie (4.1)
Aproksymacja średniokwadratowa cd. (4.1.2)
W charakterze funkcji bazowych wybiera się najczęściej
- jednomiany 1, x , x 2 , , x m (baza jednomianów), gdyż zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa, dla każdej funkcji y= f  x określonej i ciągłej na
domkniętym i ograniczonym odcinku [ a ; b] istnieje taki wielomian
2
m
W m=a 0+a1 x+a 2 x +… , a m x , który przybliża jednostajnie funkcję
y= f  x na odcinku [ a ; b] .
- funkcje trygonometryczne 1, cos x , sin x , cos 2x ,sin 2x , , cos mx ,sin mx
(baza trygonometryczna), gdyż zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa, dla
każdej funkcji y= f  x określonej i ciągłej na R oraz okresowej o okresie
2  istnieje taki wielomian trygonometryczny
a0 m
S m ( x )= +∑ ( ak cos kx+b k sin kx) ,
2 k=1
który przybliża jednostajnie funkcję y= f  x.
Aproksymacja średniokwadratowa dyskretna (4.2)
Zakłada się, że znane wartości funkcji aproksymowanej y= f  x zostały
zestawione w tabeli 4.1. Funkcja y= f  x będzie aproksymowana wielomianem uogólnionym F ( x)=a 0 φ0 ( x)+a 1 φ 1 ( x)+…+a m φ m ( x). Błąd
aproksymacji jest obliczany z wzoru
n
2
∥ f − F ∥=∑ w  x i [ f  xi −F  x i ] .
i=0
Zadaniem aproksymacji średniokwadratowej dyskretnej jest wyznaczenie takich
współczynników a 0 , a1 , a 2 ,… , a m wielomianu F ( x) ,
przy których błąd aproksymacji ∥ f − F ∥ jest najmniejszy. Zagadnienie to
można rozwiązać stosując metodę najmniejszych kwadratów. W tym celu
odległość ∥ f − F ∥ rozpatruje się jako funkcję m 1 zmiennych niezależnych
a 0 , a1 , a 2 ,… , a m :
2
n
m
[
]
D m (a 0 , a1 ,... , a m)=∥ f −F ∥=∑ w( xi ) yi −∑ a k φ k ( x i) .
i=0
k=0
Korzystając z warunku koniecznego istnienia minimum funkcji wielu zmiennych
[
]
n
m
∂ D m (a 0 , a1 ,... , a m)
=∑ 2⋅w ( x i ) y i−∑ a k φ k ( xi ) φ j ( x i)=0
∂aj
i=0
k =0
dla j=0,1 , ... , m .
Aproksymacja średniokwadratowa dyskretna cd. (4.2)
Po uporządkowaniu składników względem a k , k=0,1 ,  , m otrzymuje się
Oznaczając przez (iloczyn skalarny)
sprowadza się zagadnienie znalezienia optymalnych współczynników
a k , k=0,1 ,  , m do rozwiązania układu równań liniowych:
noszącego nazwę układu normalnego (układu równań normalnych).
Aproksymacja średniokw. dyskretna za pomocą wielomianów (4.3)
Jeśli w charakterze funkcji bazowych przyjmie się ciąg jednomianów
2,
m
1, x , x  , x ,funkcja aproksymująca przybierze postać wielomianu
F  x =a 0a 1 xa 2 x 2 a m x m
a układ normalny będzie równy
s 0 a0 +
s 1 a 1+...+s m a m=t 0 ,
s 1 a 0+ s 2 a1 +...+s m+1 a m =t 1 ,
............................................... ,
s m a 0+s m+1 a1 +...+s 2m a m =t m ,
gdzie:
n
s k =∑ x ki dla k =0,1 , ... ,
i=0
n
t k =∑ yi x i dla k =0,1 , ....
k
i =0
Można wykazać, że jeżeli argumenty x 0, x 1, x2, … , x n są różne i m n ,
wyznacznik układu normalnego jest różny od zera — układ ma jednoznaczne
rozwiązanie. Rozwiązując powyższy układ wyznacza się współczynniki
a 0, a 1, a 2,  , a m .
Aproksymacja średniokw. dyskretna za pomocą wielomianów cd. (4.3)
Przykład: W poniższej tabeli zostały odnotowane wyniki przeprowadzonego
doświadczenia
Przeprowadzający doświadczenie stwierdził, że badana funkcja jest zbliżona do
funkcji kwadratowej oraz wartość f (2,5) jest obarczona zbyt dużym błędem.
Wyznaczyć wartość funkcji y= f  x dla x=2,5.
Rozwiązanie: Ponieważ wartość funkcji f (2,5)=1,55 jest obarczona błędem
grubym, nie będzie uwzględniana w obliczeniach. Zostaną one oparte na
następującej funkcji tabelarycznej:
Zgodnie z uwagą poczynioną przez przeprowadzającego eksperyment funkcja
2
będzie przybliżana parabolą F 2  x =a 0a1 xa 2 x . Współczynniki a 0 , a1 , a 2
zostaną wyznaczone poprzez rozwiązanie układu równań liniowych
s0 a 0+s1 a 1+s 2 a2 =t 0 ,
s1 a 0+s 2 a1+s 3 a 2=t 1 ,
s 2 a0 +s 3 a 1+s4 a 2=t 2 .
W tabeli poniżej zestawiono obliczenia prowadzące do wyznaczenia
współczynników si i t i , i=0,1, 2 .
Tabela 4.3. Proces obliczania współczynników si i t i .
Rozwiązując uklad równań
[
7,000
11,500
28,750
11,500
28,750
82,375
28,750
82,375
253,188
][ ] [ ]
a0
11,920
a1 = 30,810
96,235
a2
Otrzymuje się: a 0=1,124 , a 1=−1,495 , a 2=0,739.
Wielomian aproksymacyjny F 2  x  ma postać
2
F 2 ( x )=1,124−1,495 x+0,739 x .
Rozwiązanie zadania otrzyma się podstawiając x=2,5
2
F 2 ( 2,5)=1,124−1,495⋅2,5+0,739⋅2,5 =2,0.
Aproksymacja średniokw. dyskretna wielomianami ortogonalnymi (4.4)
Układ wielomianów φ0 ( x) , φ1 ( x ) ,… , φm ( x ) nazywany jest układem
ortogonalnym z funkcją wagową y=w x na zbiorze X ={ x 0, x 1,  , x n }
wtedy i tylko wtedy gdy
n
 j , k =∑ w  x i  j  x i k  x i 
i =0
{
=0
0
dla
dla
}
j≠k ,
j =k .
Układ ortogonalny wielomianów jest układem funkcji liniowo niezależnych.
Można zatem układ taki potraktować jako bazę pewnej podprzestrzeni
funkcyjnej i aproksymować funkcję y= f  x za pomoca liniowej kombinacji
wielomianów tej bazy. W przypadku, gdy funkcje bazowe tworzą układ
ortogonalny, tzn.  j , k =0 dla j , k =0,1, , m ; j ≠k układ równań
normalnych przyjmuje postać
(φ0 , φ0 )a 0
=(φ0 , f ) ,
( φ1 , φ1) a1
=(φ1 , f ) ,
…………………………………………………… ,
(φm , φm) a m=(φm , f ).
Aproksymacja średniokw. dyskretna wielomianami ortogonalnymi cd. (4.4)
Rozwiązanie powyższego układu równań określają wzory
n
∑ w  x i  j  x i  f  x i 
 j , f  i =0
a j=
=
 j ,  j 
dla j=0, 1, , m.
n
∑ w  x i  2j  x i 
i =0
Błąd aproksymacji można wyznaczyć korzystając z zależności
∑

∑
2

n
n
D
min
m
m
=∥ f − F ∥=∑ w  xi  f  x i −
2
i=0
k=0
i=0
w  x i  k  xi  f  xi 
n
.
2
w

x

∑
i
k  xi 
i =0
min
min
min
Jak można zauważyć: D 0 D 1 D 2  , co oznacza, że odchylenie
średniokwadratowe maleje monotonicznie wraz ze wzrostem stopnia
wielomianu aproksymującego.
Układ wielomianów ortogonalnych p 0 , p1 , p2 ,… , p m można otrzymać np.
ortogonalizując ciąg jednomianów x 0 , x 1 , x 2 , … , xm za pomocą metody
Grama-Schmidta:
i
i−1
p i=x −∑
i
0
p 0=x =1,
k=0
( x , pk )
( p k , pk )
pk ,
i =1,… , m.
Można pokazać, że wielomiany ortogonalne spełniają prostą zależność
rekurencyjną tzw. regułę trójczłonową, która po uproszczeniach przyjmuje
postać:
p−1 ( x)=0, p 0 ( x)=1, p k 1  x= x− k1  p k  x− k p k−1  x , k =0, 1, ,
gdzie  0 dowolne oraz
n
∑ p 2k  x i 
 k=
i =0
n
∑
i=0
∑ x i p 2k  x i 
k =1, 2, ,
p2k −1  x i
n
k 1 = i =0n
∑
i=0
k =0,1, , .
p 2k  x i 
Wielomiany p 0 , p1 , p2 ,… , p m tworzą na zbiorze X ={x 0 , x 1 , x 2 ,… , x n}
układ ortogonalny z funkcją wagową y=w( x)≡1 .
Funkcję y= f ( x) można teraz przybliżać za pomoca wielomianu
F ( x )=a 0 p0 ( x )+a 1 p1 ( x)+…+a m p m ( x).
Aproksymacja średniokw. dyskretna wielomianami ortonormalnymi (4.5)
Układ wielomianów φ0 ( x) , φ1 ( x ) ,… , φm ( x ) nazywany jest układem
ortonormalnym z funkcją wagową y=w( x)≡1 na zbiorze X ={ x 0, x 1,  , x n }
wtedy i tylko wtedy gdy
n
n
i=0
i=0
(φ j , φk )=∑ w( x i) φ j ( xi ) φk ( x i)=∑ φ j ( xi )φk ( xi )
{
=0
=1
dla
dla
j≠ k ,
j =k .
Układ równań normalnych redukuje się rówczas do zestawu równań pozwalających na bezpośrednie wyznaczenie wektora parametrów a 0 , a1 , a 2 , , a m .
n
=(φ0 , f )=∑ φ0( xi ) f ( x i) ,
a0
i=0
n
a1
=( φ1 , f )=∑ φ1 ( x i) f ( xi ) ,
i=0
…………………………………………………………… ,
n
a m =(φm , f )=∑ φm ( x i ) f ( xi ).
i=0
Aproksymacja średniokw. dyskretna wielom. ortonormalnymi cd. (4.5)
Aproksymacja za pomocą wielomianów Grama (4.5.1):
Zakłada się, że węzły funkcji aproksymowanej, oznaczone przez u 0, u1, … , u n ,
są punktami podziału odcinka [−1 ; 1] na n równych części tj.:
2i
−1 ,
n
i=0, 1,… , n.
y i= f (u i) ,
i=0, 1,… , n.
u i=
W punktach tych funkcja aproksymowana f ( x) przyjmuje wartości:
Wielomiany Grama są określone zależnościami rekurencyjnymi:
G−1 u =0,
G k u= k⋅u⋅Gk −1 u− k G k −2 u
n
αk=
k
√
1
,
√(n+1)
dla k =1, 2,  , n−1,
G0 (u )=α0=
2
4k −1
2
2
(n+1) −k
k
 1 jest dowolne,  k =
 k −1
dla
dla
k =1, 2,… , n−1,
k =1, 2, , n−1.
Aproksymacja za pomocą wielomianów Grama cd. (4.5.1):
Wielomiany Grama G k (u)=0, k =0, 1,… , n−1, tworzą układ ortonormalny
na zbiorze:
2
4
{
X ={u 0, u 1, … , u n}= −1, −1, −1,… , 1
n
n
}
z funkcją wagową y=w( x)≡1 . Funkcję y= f ( x) na odcinku [−1 ; 1]
można przybliżać stosując wielomian:
Q m(u)=a 0 G 0 (u)+a1 G1 (u)+,… ,+a m G m (u )
dla
m⩽n−1.
Przykład: Dokonać aproksymacji danych pomiarowych zamieszczonych w
poniższej tablicy za pomocą wielomianu aproksymacyjnego rzedu m=2
zbudowanego z wielomianów Gramma.
Q 2( u)=a 0 G 0 (u)+a1 G 1 (u)+a2 G 2 (u ).
Stosując wielomian Q 2(u) oszacować wartość funkcji f (x) dla x=2,125.
Rozwiązanie: Do rozwiązania powyższego zadania można użyć wielomianów
Grama, ponieważ węzły są rozmieszczone równomiernie - h=0,25 oraz n=6 .
W pierwszej kolejnosci należy przekształcić przedział zmienności funkcji f ( x)
równy [1,0 ; 2,5] na odcinek [−1 ; 1] , w którym to przedziale wielomiany
Grama G i (u) , i=0, 1,… , są ortogonalne. Przekształcenia proste i odwrotne
wyrażają zależności:
4
7
3
7
u= x− , x= u+ .
3
3
4
4
gdzie: 1,0⩽ x⩽2,5 oraz −1⩽u⩽1 . Wielomian aproksymacyjny
Q 2( u)=a 0 G 0 (u)+a1 G 1 (u)+a2 G 2 (u ).
przyjmuje postać:
Q 2( x)=a 0 G 0
(
)
(
)
(
)
4
7
4
7
4
7
'
'
'
x− +a1 G1 x− +a 2 G 2 x− =a 0 G0 (x )+a 1 G1 (x )+a 2 G 2 (x).
3
3
3
3
3
3
Aby skonstruować wielomiany Grama G0 (u ), G1 (u) , G 2 (u) , konieczne jest
wyznaczenie wartości zmiennych pomocniczych: α 0 , α 1 , α 2 , γ 2 ,
przy czym przyjmuje się, że G −1 (u)=0 oraz γ 1 jest dowolne.
Rozwiązanie cd.:
√
6
4⋅1 2−1
α1 =
=1,500 ,
2
2
1 (6+1) −1
1
1
'
G0 (x )=G0 (u)=α0=
=
=0,378 ,
√(n+1) √(6+1)
√
α2
6
4⋅2 2−1
α 2=
=1,7321 ,
γ 2= =1,1547 .
2 (6+1)2−22
α1
Wielomiany G 1 (u) oraz G 2( u) wyznacza się rekurencyjnie otrzymując
zależności:
(
)
4
7
G1 (u)=α 0 α 1 (u ) → G (x )=α 0α 1 x− =0,7559 x−1,3229 ,
3
3
2
4
7
2
'
G 2(u)=α 0 α 1 α 2 (u) −α 0 γ 2 → G 2 (x)=α 0 α 1 α 2 x− −α 0 γ 2
3
3
'
1
(
)
2
=1,7457 x −6,1101 x+4,9099 .
Współczynniki wagowe a 0 , a1 , a 2 wielomianu aproksymacyjnego Q 2( x) oblicza
się rozwiązując ''zredukowany'' układ równań normalnych:
Rozwiązanie cd.:
6
6
a 0=(G ( x) , f ( x))=∑ G ( x i ) f ( xi )=∑ 0,378⋅ f ( x i )=−0,0038 ,
'
0
i=0
6
'
0
6
i=0
a 1=(G '1 ( x) , f ( x))=∑ G'1 ( x i) f ( x i )=∑ (0,7559 x i−1,3229)⋅ f ( x i )=−0,0493 ,
i=0
i=0
6
a 2=(G'2 ( x ) , f ( x))=∑ G '2 ( xi ) f ( x i)
i=0
6
=∑ (1,7457 xi2−6,1101 xi +4,9099) f ( x i)=−3,4460 .
i=0
Ostatecznie wielomian aproksymacyjny przyjmuje postać:
Q 2( x)=−0,0038⋅0,378−0,0493⋅(0,7559 x−1,3229)+
−3,446⋅(1,7457 x 2−6,1101 x+4,9099).
A po uporządkowaniu:
Q 2( x)=−16,8556+21,0180 x−6,0158 x 2.
Oszacowanie wartość funkcji f (x) dla x=2,125 wynosi Q 2( 2,125)=0,6426.
Rozwiązanie cd.:
Dane pomiarowe f ( xi ) oraz wielomian aproksymacyjny Grama Q 2( x).
Aproksymacja średniokw. dyskretna wielomianami ortogonalnymi (4.6)
Aproksymacja za pomocą wielomianów trygonometrycznych:
Zakładamy, że funkcja aproksymowana y= f (ν ) jest funkcją ciągłą, okresową
o okresie głownym 2 π oraz, że znane są jej wartości w węzłach ν 0, ν 1, … , ν n
będących punktami odcinka [0 ; 2 π ] (okres główny f (ν )) określonych
wzorami.
ν i=
2π
i
n+1
dla
i =0, 1,… , n.
Ciąg funkcji 1, cos(ν ), sin(ν ), cos(2ν ), sin(2ν ),… ,cos (2 ν ),sin (2 ν ) ,… ,
zwany układem trygonometrycznym jest układem funkcji ortogonalnych na
zbiorze
2π
4π
2n π
{
V ={ν 0, ν 1, … , ν n }= 0,
,
,… ,
}
n+1 n+1
n+1
z funkcją wagową y=w(ν )≡1 . Funkcję y= f (ν ) można przybliżać stosując
wielomian trygonometryczny rzędu m :
a0 m
S m (ν )= +∑ (ak cos(k ν )+b k sin(k ν )).
2 k=1
Optymalne w sensie aproksymacji średniokwadratowej współczynniki
a k , k =0, 1,… , bk , k =1, 2,… , wyraża się wzorami:
n
n
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2π
2k π
ak =
f
(
ν
)cos(k
ν
)=
f
i
cos
i
∑
∑
i
i
n+1 i=0
n+1 i=0
n+1
n+1
n
n
2
2
2π
2k π
b k=
f (ν i)sin(k ν i )=
f
i sin
i
∑
∑
n+1 i=0
n+1 i=0
n+1
n+1
dla
k =0,1, … ,
dla
k =1, 2,….
Noszą one nazwę współczynników Fouriera. Wielomian trygonometryczny ze
współczynnikami Fouriera nazywa się wielomianem Fouriera.
Dla funkcji y= f (ν ) ciągłej, parzystej i okresowej o okresie 2 π z okresem
głownym [0 ; 2 π ] , współczynniki Fouriera b k =0, dla k =1, 2,… . Wielomian
aproksymacyjny upraszcza siędo postaci:
a0 m
S m (ν )= +∑ a k cos (k ν ).
2 k=1
Dla funkcji y= f (ν ) ciągłej, nieparzystej i okresowej o okresie 2 π z okresem
głownym [0 ; 2 π ] , współczynniki Fouriera a k =0, dla k =0, 1,… . Wielomian
aproksymacyjny upraszcza się do postaci:
m
S m (ν )=∑ bk sin(k ν ).
k=1
Przykład: W tabeli poniżej podano wybrane wartości funkcji y= f (t ) ciągłej
dla −∞<t <∞ , okresowej o okresie 2 z okresem głownym [−1 ; 1] .
Zbudować i wykreślić wielomian aproksymacyjny Fouriera stopnia 5.
Rozwiązanie: Funkcja y= f (t ) jest ciągła i okresowa, węzły są
rozmieszczone ze stałym krokiem h=0.2 ( n=9). Ponieważ okres głowny
funkcji jest równy [−1 ; 1] a wielomiany trygonometryczne są ortogonalne na
odcinku [0 ; 2 π ] , konieczne jest wyznaczenie przekształcenia odcinka [−1 ; 1]
na [0 ; 2 π ] . Przekształcenie takie (wraz z przekształceniem odwrotnym) ma
ν
postać:
ν =π ⋅t +π ,
t = −1,
π
gdzie: −1⩽t ⩽1 oraz 0⩽ν ⩽2 π . Jak mozna zauważyć y= f (t ) jest
funkcją parzystą, stad do jej aproksymacji można wykorzystać uproszczoną
wersję wielomianu:
a0 m
S m (ν )= +∑ a k cos (k ν ).
2 k=1
Wyznaczanie współczynników wielomianu Fouriera:
9
2
a 0=
∑
9+1 i=0
9
2
a 1=
∑
9+1 i =0
9
2
a 2=
∑
9+1 i=0
9
2
a 3=
∑
9+1 i=0
9
2
a 4=
∑
9+1 i=0
9
2
a 5=
∑
9+1 i =0
f
f
f
f
f
f
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
2π
i
9
2π
i
9
2π
i
9
2π
i
9
2π
i
9
2π
i
9
cos ( 0 )=0,2⋅( 0,0+0,4+0,8+1,2+1,6+2,0+…+0,8+0,4 )=2,0000 ,
cos
cos
cos
(
(
(
(
(
cos
cos
)
)
)
)
2π
i =0,2⋅( 0,0+0,3236+0,2472+…+0,3236 )=−0,8378 ,
9
4π
i =0,2⋅(0,0+0,1236−0,6472+…+0,1236 )=0,0000 ,
9
6π
i =0,2⋅( 0,0−0,1236−0,6472+…−0,1236 )=−0,1222 ,
9
8π
i =0,2⋅( 0,0−0,3236+0,2472+…−0,3236 )=0,0000 ,
9
10 π
i =0,2⋅( 0,0−0,4000+0,8000+…−0,4000 )=−0,0800 ,
9
)
Trygonometryczny wielomian aproksymacyjny ma postać:
S 5 (t)=1,0000−0,8378 cos( π ⋅t+π )−0,1222 cos(3 (π ⋅t+π ))−0,0800cos (5( π ⋅t+π )).
Funkcja aproksymowana f (t) oraz aproksymacyjny wielomian
Fouriera S 5 (t).
Aproksymacja wielomianem Fouriera 5 rzędu F 5 (t) jedenastu węzłow f (t)
— aproksymacja przechodzi w interpolację.
Aproksymacja średniokwadratowa ciągła (4.7)
Zakłada się, że funkcja aproksymowana y= f  x jest określona i ciągła w
przedziale [ a ; b]. Funkcja ta zostaje poddana aproksymacji za pomocą
wielomianu uogólnionego
Zagadnienie aproksymacji średniokwadratowej ciągłej polega na znalezieniu
takich współczynników c 0 , c 1 , , c m, dla których odległość sensie metryki
średniokwadratowej
jest najmniejsza.
Zagadnienie to rozwiązuje sie stosując metodę najmniejszych kwadratów.
Minimalizowana funkcja celu m1 zmiennych niezależnych c 0 , c 1 , , c m
ma postać:
Korzystając z warunku koniecznego istnienia minimum funkcji wielu
zmiennych otrzymuje się
Po przekształceniach wyrażenia polegających między innymi na zamianie
kolejności sumowania i całkowania oraz uporządkowaniu zależności
względem otrzymuje się
Oznaczając przez
(iloczyny skalarne) powyższe wyrażenie można zapisać w postaci układu
normalnego równań liniowych
Rozwiązując ten układ równań znajdujemy optymalne współczynniki
c 0 , c 1 , , c m (przyjęte ogólne założenia odnośnie bazowych funkcji
aproksymujących nie dają gwarancji istnienia rozwiązania).
Aproksymacja za pomocą wielomianów (4.7.1)
Jeśli w charakterze funkcji bazowych wykorzysta się ciąg jednomianów
1, x , x 2 ,… , x m , funkcja aproksymująca przybierze postać wielomianu
2
m
F ( x )=a 0+a1 x+a 2 x ,… , a m x ,
Układ równań normalnych przyjmie postać:
s 0 a0 +
s 1 a 1+...+s m a m=t 0 ,
s 1 a 0+ s 2 a1 +...+s m+1 a m =t 1 ,
.................................................
s m a 0+s m+1 a1 +...+s 2m a m =t m ,
gdzie:
Rozwiązując powyższy układ równań wyznaczamy współczynniki
a 0 , a1 , , a m .
Przykład: Znaleźć wielomian drugiego stopnia nalepiej przybliżający, w
sensie metryki średniokwadratowej funkcję f  x= x w przedziale [0 ; 2].
Przykład: Znaleźć wielomian drugiego stopnia nalepiej przybliżający, w
sensie metryki średniokwadratowej funkcję f  x= x w przedziale [0 ; 2].
Rozwiązanie: Poszukiwane są współczynniki a 0 , a1 , a 2 m=2 wielomianu
F 2 x =a 0a 1 xa2 x 2 .
Dla ich znalezienia konieczne jest rozwiązanie następującego układu równań:
s 0 a 0+s 1 a1+s 2 a 2=t 0 ,
s 1 a 0+s 2 a1 +s 3 a 2=t 1 ,
s 2 a 0+s 3 a1+s 4 a 2=t 2 ,
gdzie:
Rozwiązanie (cd):
Ostatecznie układ równań przyjmuje postać 
Jego rozwiązaniem są współczynniki
a 0=
6
24
2

2
,
a
=
2
,
a
=−
.


1
2
35
35
7
Wielomian aproksymacyjny wyraża zalezność:
6
24
2
2
2 x−  x 2 .


35
35
7
Tablica wartości funkcji f  x = x oraz wielomianu aproksymującego F 2  x 
F 2 x =
Rozwiązanie (cd): Wykresy funkcji f  x oraz wielom. aproksymującego F 2 x 
Aproksymacja za pomocą wielomianów ortogonalnych (4.7.2)
Układ wielomianów  0  x , 1  x  , , k  x , nazywany jest układem
ortogonalnym z funkcja wagową y=w x na odcinku [ a ; b] wtedy i tylko
wtedy, gdy iloczyny skalarne g jk = j  x ,  k  x  spełniają warunki:
Układ ortogonalny jest układem funkcji liniowo niezależnych. Układ
 0  x , 1  x  , , k  x , można zatem potraktować jako bazę pewnej
przestrzeni funkcyjnej i aproksymować funkcję f  x za pomocą liniowej
kombinacji funkcji bazy.
W przypadku, gdy funkcje  0  x , 1  x ,  , k  x ,  tworzą bazę
ortogonalną
, wówczas układ równań
normalnych
upraszcza sie
do postaci
Aproksymacja za pomocą wielomianów ortogonalnych (4.7.2)
Ponieważ na mocy definicji ortogonalności g jj 0 dla j =0, 1, , m ,
powyższy układ równań ma jednoznaczne rozwiązanie określone
zależnościami:
Odchylenie średniokwadratowe funkcji aproksymowanej f  x od
aproksymującej F  x  wyraża się wzorem:
Z zależności wynika, że ze wzrostem stopnia wielomianu aproksymującego
maleje monotonicznie odchylenie średniokwadratowe tj.:
min
min
I min
I
I
0
1
2 .
Aproksymacja za pomocą wzorów empirycznych (4.8)
Czasami do aproksymacji używa się jednej funkcji analitycznej (lub kilku
różnych funkcji). Jej postać dobiera się na podstawie apriorycznej wiedzy o
przebiegu przybliżanej zależności lub w oparciu o ocenę wzrokową rozrzutu jej
wartości umieszczonych w prostokątym układzie współrzędnych. Do często
stosowanych funkcji należą:
Charakteryzują się one
małą liczbą parametrów i
oraz często łatwą interpretacją
fizyczną.
Dobór postaci analitycznej funkcji aproksymującej w oparciu o ocenę
wzrokową rozrzutu jej wartości umieszczonych w prostokątym układzie
współrzędnych (4.4.1)
y
y
0
y=ax+b
x
0
x
x
a
y =ba lub y=b x (dla a>1)
2
lub y =a 0+a 1 x+a 2 x (dla a 2>0)
y
y
0
x
y=a0+a1 x+a2 x
2
0
y=b+a log x lub
a
y=b x (0<a<1) lub
ax
y=
x+b
x
y
y
0
y=
k
−ax
1+b e
x
0
x
2
y=a0+a1 x+a2 x +a3 x
3
y
0
y
−a
y=b x
lub
1
y=
lub
ax+b
x
y=
ax+b
x
x
0
⏞
⏞
y=b x
y =b a
⏞
y =b
y =a +a x+a x ⏞
x
2
0
1
2
−a
Przykład: W trakcie badań pewnego zjawiaka fizycznego zebrano następujacy
zestaw danych:
Zebrane pomiary wykeślono w prostokątnym układzie współrzędnych.
y= f  x
W wyniku oceny wzrokowej rozrzutu ich wartości zdecydowano, że najlepszym
przybliżeniem danych będzie funkcja: F  x =e− x  x (kształt funkcji gęstości rozkładu normalnego (prawdopod.)). Należy wyznaczyć parametry  ,  i .
2
Rozwiązanie: Wybrana funkcja jest nieliniowa (rownież względem
wspólczynników  ,  i  ) stąd, rozwiązanie takiego zadania
aproksymacyjnego jest trude. Zastosowanie do powyższej zależności
przekształcenia w postaci obustronnego logarytmowania, sprowadza
zagadnienie do aproksymacji za pomocą jednomianów
G  x =ln  F  x=− x 2− x− .
Stosując podstawienia a 2=− , a1=− , a 0=− , otrzymuje się postać
wielomianu drugiego stapnia najlepiej przybliżającego (w sensie najmniejszych
kwadratów) funkcję g  x =ln  f  x.
G ( x )=a 2 x 2+a 1 x+a 0 .
Tabela funkcji g  x  ma postać:
Rozwiązanie (CD): Współczynniki a 2, a 1 i a 0 wyznaczy się rozwiązując układ
równań normalnych
n
s0 a 0+s1 a 1+s 2 a2 =t 0 ,
s1 a 0+s 2 a1+s 3 a 2=t 1 ,
s 2 a0 +s 3 a 1+s4 a 2=t 2 .
gdzie : s k =∑ x i dla k =0,1 , ... ,
i=0
k
n
t k =∑ yi x ki dla k =0,1 , ....
i =0
Rozwiązanie (CD): Powyższy układ równań przyjmuje postać
7,000 a 0+12,250 a 1+23,188 a2
12,250 a 0+23,188 a1+46,703 a 2
23,188 a 0+46,703 a1 +98,574 a 2
Rozwiązaniem układu są wartości:
=
=
=
−0,010 ,
−0,083 ,
−2,236 .
a 2=−6,015 , a1 =21,016 , a 0=−16.854.
Poszukiwane parametry funkcji aproksymującej są równe:
=6,015 , =−21,016 , =16,854 .
2
−(6,015 x −21,016 x+16,854)
F ( x )=e

co s up

Transkrypt

Podobne dokumenty

aproksymacja

METODY NUMERYCZNE

Ćwiczenia z Algebry liniowej z geometrią. I rok matematyki z fizyką

Sieci neuronowe i ich ciekawe zastosowania

Temat: Aproksymacja krzywej metodą najmniejszych kwadratów