5. Procesy stochastyczne, stacjonarność, integracja - E-SGH

Ekonometria
Wykład 5. Procesy stochastyczne,
stacjonarność, integracja
Dr Michał Gradzewicz
Katedra Ekonomii I
KAE
Plan wykładu
Ekonometria szeregów czasowych
• Procesy stochastyczne
– Stacjonarność i biały szum
– Niestacjonarność:
• Trendostacjonarność
• Przyrostostacjonarność (błądzenie losowe)
•
•
•
Integracja i jej stopień
Testowanie stopnia integracji (testy pierwiastka jednostkowego)
Przykłady procesów stacjonarnych – procesy autoregresyjne AR
– Funkcja ACF
– Impulse-Response Function (IRF)
– Persystencja i Half-life
Procesy stochastyczne i stacjonarność
•
•
•
•
•
Ekonometria szeregów czasowych
Definicja: Proces stochastyczny
to zbiór zmiennych losowych
uporządkowany zgodnie z indeksem czasowym = 1,2, … ,
Szereg czasowy
to realizacja procesu stochastycznego
w konkretnej
próbie
Stacjonarność jest jedną z własności procesu stochastycznego (nie jest to własność
wszystkich procesów stochastycznych)
Definicja: proces (słabo) stacjonarny spełnia następujące warunki:
1.
2.
3.
=
(niezależna od )
=
< ∞ (niezależna od )
,
=
(zależna wyłącznie od odległości w czasie , a nie od momentu
pomiaru )
Dodatkowo
– Jeśli proces stochastyczny spełnia warunki słabej stacjonarności, oraz dodatkowo
= 0 dla ≠ 0 (czyli
,
= 0), to nazywamy go białym szumem (white
noise), przykładem jest dobrze zachowujący się składnik losowy w modelu
ekonometrycznym
Przykład procesu stacjonarnego i niestacjonarnego
Proces stacjonarny
Proces niestacjonarny
Procesy niestacjonarne - trendostacjonarność
•
•
•
•
•
Istnieją różne formy niestacjonarności
Większość makroekonomicznych szeregów czasowych jest niestacjonarnych (mają
różnego rodzaju trendy)
Ważne klasy procesów niestacjonarnych – błądzenie losowe (o którym za chwilę)i
trendostacjonarność
Szereg trendostacjonarny to losowe wahania wokół trendu deterministycznego
=
!
"
Jak doprowadzić ten proces stochastyczny do stacjonarności – odjąć trend
deterministyczny
# #! ="
Procesy niestacjonarne – błądzenie losowe
•
Błądzenie losowe (random walk) – por. wykres z wcześniejszego slajdu (szereg
niestacjonarny)
= $% "
Gdzie " jest białym szumem o średniej " = 0 oraz wariancji
" =
=
•
•
•
" =
$
"
$%
" =
$&
"
$
"
" = ' "(
$%
= ∑()% "( = ∑()% /"( - = ∑()% 0 = 0
=
#
=
= ∑()% "( = ∑()%
*
()%
Jest to zatem szereg o doskonałej pamięci
Własności (załóżmy, że * = ∑*()$, "( = 0-:
–
–
•
$%
"(
= ∑()%
=
Zatem błądzenie losowe ma zerową wartość oczekiwaną, ale wariancję, która
rośnie w czasie – jest procesem niestacjonarnym
Kroczące wariancje:
– procesu białego szumu (WN)
– Procesu błądzenia losowego (RW)
Integracja i przyrostostacjonarność
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Jeśli proces generujący nasze dane jest typu błądzenia losowego, to również łatwo możemy
przekształcić go do procesu stacjonarnego
= $% "
Δ = # $% = "
Taki szereg nazywamy szeregiem zintegrowanym stopnia 1, czyli ∼ 2/1Inn nazwa – szereg 2 1 jest przyrostostacjonarny (jego przyrosty są stacjonarne)
Trend, któremu podlegają tego typu szeregi nazywamy trendem stochastycznym (w
odróżnieniu od trendu deterministycznego, o którym była mowa wcześniej)
W tym zapisie, szereg stacjonarny oznaczamy jako zintegrowany w stopniu 0, czyli ∼ 2/0Większość makroekonomicznych szeregów czasowych jest typu 2/1-, przykładowo: poziom
realny PKB, konsumpcji, inwestycji, poziom cen, podaży pieniądza
Niektóre szeregi czasowe są raczej typu 2/0-, np. inflacja, bezrobocie, stopa procentowa.
Testy statystyczne (o których za chwilę) dla tych zmiennych czasami to wskazują (ale czasami
nie!)
Niektóre szeregi czasowe uzyskują stacjonarność dopiero po dwukrotnym zróżnicowaniu
(policzeniu przyrostów drugiego stopnia) – nazywamy je 2/2Δ
= Δ # Δ $% =
# $% #
= # 2 $%
$% #
$
$
4
Ogólnie: szereg zintegrowany stopnia 3: ∼ 2 3 oznacza, że Δ
∼ 2/0Zintegrowanie w stopniu 2 zdarza się w danych, choć raczej rzadko (jako analogon z fizyki
procesy tego typu mają w miarę stałe przyspieszenie, co nie jest częste w ekonomii). Bywa
nim np. nominalny pieniądz, poziom cen w warunkach hiperinflacji
Funkcja autokorelacji ACF
•
Funkcja autokorelacji ACF (Autocorrelation function): 5 =
wariancją procesu
•
.
∑CD<
/9 $9A-/9:;< $9A-
Estymatorem jest: 5@ = :EF∑C:
,
A ?
:EF 9: $9
%
odchyleniu standardowym
G
–
–
–
678 9: ,9:;<
=>?
, gdzie
9
jest
mający w przybliżeniu rozkład normalny o
Dla białego szumu powinna być ona nierozróżnialna od 0 (w sensie statystycznym)
Dla błądzenia losowego powinna być ona równa zawsze 1 lub wygasać bardzo, bardzo powoli
Dla stabilnego procesu autoregresyjnego powinna ona wygasać wraz z rosnącym (5 = H )
ACF dla zmiennej WN
ACF dla zmiennej rw
1
+- 1.96/T^0.5
0.1
+- 1.96/T^0.5
0.5
0.05
0
0
-0.05
-0.5
-0.1
-1
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
opóĽnienia
15
20
25
30
opóĽnienia
PACF dla zmiennej WN
PACF dla zmiennej rw
1
+- 1.96/T^0.5
0.1
+- 1.96/T^0.5
0.5
0.05
0
0
-0.05
-0.5
-0.1
-1
0
5
10
15
opóĽnienia
20
25
30
0
5
10
15
opóĽnienia
20
25
30
Testowanie stacjonarności – Test Dickeya-Fullera (DF)
•
•
Test DF jest jednym z grupy testów stopnia integracji, nazywanych też testami pierwiastka
jednostkowego (unit root test)
Opiera się on na testowaniu współczynnika w procesie AR(1): =
"
$%
–
–
Jeśli
< 1 to proces jest stacjonarny, jeśli = 1 to proces jest niestacjonarny
Ale jeśli I* jest prawdziwa, to estymator @ jest obciążony, a statystyka dla testu istotności nie ma
rozkładu t-Studenta
•
Przekształcając równanie autoregresyjne:
# $% =
$% #
$%
Δ =
# 1 $% "
Otrzymujemy poprawną reprezentację testową:
Δ = J $% " , gdzie J =
• Zestaw hipotez testu DF:
–
–
•
I* : J = 0, czyli
I% : J < 0, czyli
= 1, a zatem
< 1, a zatem
"
#1
∼ 2/1- jest niestacjonarny
∼ 2 0 jest stacjonarny
Ponieważ przy założeniu prawdziwości I* zmienna objaśniająca jest niestacjonarna, zatem
statystyka t nie ma rozkładu t-Studenta, ale
JM
L=
∼ L/ NPO
Czyli ma rozkład Dickeya-Fullera, którego wartości krytyczne zostały wyznaczone metodami
symulacyjnymi
• Jeśli L < L ∗ / - to odrzucamy I* i konkludujemy, że badany proces jest stacjonarny
∼ 2/0-
Test Dickeya-Fullera – kolejne etapy
•
•
•
Jeśli odrzuciliśmy I* kończymy procedurę testową, przyjmując, że szereg czasowy
generowany jest przez proces stacjonarny
Jeśli nie ma podstaw do odrzucenia I* kontynuujemy procedurę testową, wyznaczając
stopień integracji szeregu czasowego (wiedząc, że na pewno jest on niestacjonarny):
2 etap:
–
∼ 2 2 RSTΔ
Δ
∼ 2 1 = JΔ
–
I* : J = 0
–
Wyznaczamy ponownie statystykę L =
–
–
•
Budujemy analogiczne równanie regresji dla 2-gich przyrostów:
$%
"
.I% : J < 0[
V
O
WPX
∼ 2 1 RSTΔ
∼2 0 ]
i przyrównujemy do wartości krytycznej
Jeśli odrzucamy I* to kończymy procedurę testową, przyjmując, że ∼ 2/1Jeśli nie ma podstaw do odrzucenia I* , to przechodzimy do ostatecznej fazy testu
3 etap
–
–
–
–
–
Budujemy analogiczne równanie regresji dla 3-cich przyrostów:
Δ&
= JΔ
Wyznaczamy ponownie statystykę L =
V
O
WPX
$%
"
i przyrównujemy do wartości krytycznej
Jeśli odrzucamy I* to kończymy procedurę testową, przyjmując, że ∼ 2/2Jeśli nie ma podstaw do odrzucenia I* , to najprawdopodobniej test DF ma za słabą moc by choć raz
odrzucić I* i należy zastosować alternatywne testy pierwiastka jednostkowego
Większość szeregów czasowych spotykanych w danych ekonomicznych jest albo 2/0- albo 2 1 ,
procesy zintegrowane w stopniu wyższym są bardzo rzadko spotykane
Rozszerzenia testu DF
•
ADF – Augmented Dickey-Fuller test
– Wartości krytyczne testu DF symulowane są przy założeniu sferycznego składnika
losowego (szczególnie – przy braku autokorelacji)
– Aby „wyczyścić” składnik losowy równania testowewgo z autokorelacji często dodaje się
opóźnienia zmiennej objasnianej (np. opóźnienia Δ w pierwszej fazie testu)
– Równanie testowe ma postać:
Δ = J $% Y% Δ $% Y Δ $
⋯ Y Δ $
"
– A sam test nosi nazwę rozszerzonego testu Dickeya-Fullera (ADF) – statystyka testowa
jest identyczna jak w DF, podobnie jak wartości krytyczne testu
•
Trendostacjonarność vs. przyrostostacjonarność
– Jeśli uzupełnimy równanie testowe dodatkowo o trend, to w zasadzie testujemy
charkter trendu – stochastyczny czy deterministyczny
Δ
=
!
J
$%
'Y Δ
$
"
– Jeśli odrzucimy I* w tym teście, a parametr przy trendzie jest istotny, to w przypadku
tej specyfikcji oznacza to, że szereg jest trendostacjonarny
– Jeśli przyjmujemy I* , to oznacza to przyrostostacjonarność
Przykład procesu stacjonarnego – proces autoregresyjny AR(1)
•
Proces AR(1)
=
H
• Dla H < 1 jest to proces stacjonarny
• Można go przedstawić jako:
=
H
H $
" $%
" =
H
• Czyli:
,
= ' H[
[)*
•
•
Wtedy:
,
' H[ "
[)*
\
\"
$[
$[
"
$%
H
=
H
$&
"
$
"
1#H
' H[ "
[)*
$[
= H[
Możemy zdefiniować funkcję odpowiedzi na impuls (Impulse-Response Function)
_9
:Da
•
$%
,
2]L ^ = _` : , czasami jej elementy nazywane są mnożnikami modelu
•
H"
Dla stacjonarnego procesu AR(1), dla którego H ∈ /0; 1- funkcja IRF maleje
wykładniczo (dla H ∈ /#1; 0- maleje ona oscylacyjnie)
Takie procesy czasami określane są procesami o którkiej (malejącej) pamięci –
wpływ przeszłych zaburzeń na bieżące wartości maleje wraz z rosnącą
odległością w czasie
Procesy d]/e- wyższego rzędu
•
•
•
Proces d]/e-ma postać:
=
H%
H $
⋯ Hf $f "
Procesy takie sa stacjonarne, jeśli ∑[ H[ < 1
Mają one bardziej skomplikowaną strukturę powiązań czasowych, przykładowo
proces:
=
1.4 $% # 0.6 $
"
generuje funkcję IRF, która ma „garba” (hump-shaped IRF) – tak często wyglądają
wyniki symulacji odpowiedzi na impuls w przypadku danych makroekonomicznych
$%
Funkcje ACF i PACF dla modeli autoregresyjnych
•
•
Funkcje autokorelacji dla stabilnych modeli autoregresyjnych ma charakter malejący, a
funkcja PACF (Partial Autocorrelation Function) przyjmuje niezerowe wartości wtedy, kiedy
dane opóźnienie jest istotne statystycznie, czyli wyznacza rząd e dla procesu d]/ePoniżej empiryczne ACF i PACF dla szeregów czasowych procesów = 0.75 $% " (lewa
część) oraz dla = 1.4 $% # 0.6 $
"
ACF dla zmiennej ar1
ACF dla zmiennej ar2
1
1
+- 1,96/T^0,5
+- 1,96/T^0,5
0,5
0,5
0
0
-0,5
-0,5
-1
-1
0
5
10
15
20
25
0
5
10
opóźnienia
15
20
25
opóĽnienia
PACF dla zmiennej ar1
PACF dla zmiennej ar2
1
1
+- 1,96/T^0,5
+- 1,96/T^0,5
0,5
0,5
0
0
-0,5
-0,5
-1
-1
0
5
10
15
opóźnienia
20
25
0
5
10
15
opóĽnienia
20
25
Half-life
•
•
•
•
•
Często stosowaną w praktyce miarą „trwałości” (persistence) jest tzw. „half-life”,
czasami nazywany czasem połówkowym, czyli czasem potrzebnym na to, aby
jednostkowy szok wytracił połowę swojego impetu
Jak wyznaczyć go dla procesu AR(1)?
Załóżmy, że =
" , i zaczynamy $% = 0. Rozważmy co się dzieje z w
$%
kolejnych okresach, jeśli wystąpi jednostkowy szok w okresie 1 "* = 1, a w
kolejnych okresach nie ma dalszych zaburzeń " = 0 dla ≥ 1. Zatem:
⋅ 0 1 = 1, % = ⋅ 1 0 = , = ⋅
0 = ,…, =
* =
Zatem half-life Im jest rozwiązaniem
1
ln = ln
2
⋅ ln = ln 0.5
ln 0.5
=
ln
Przykładowo, dla = 0.8,
Im = 3,1
=
%
1
0.9
0.8
IRF (alpha=0.8)
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20