Rozwiązanie Blasiusa dla laminarnej warstwy przyściennej

Warstwa przyścienna
Przepływy
t u rb u l en t n e i i c h
m et ro l o g i a
5 5
7 . R o zwią zanie B l asiu sa d l a
l am inarnej warstwy
przyściennej
7. ROZWIĄZANIE BLASIUSA DLA
LAMINARNEJ WARSTWY PRZYŚCIENNEJ
założenia:
płaska płyta
stałość ciśnienia wzdłuż kierunku przepływu
∂p
=0
∂x
równania Naviera-Stokesa dla warstwy przyściennej
∂U x ∂U y
+
=0
∂x
∂y
∂U x
∂U x
1 ∂p  ∂ 2U x ∂ 2U x 

+U y
=−
+ν 
+
Ux
2 
∂x
∂y
ρ ∂x  ∂x 2
∂y 
Ux
∂U y
∂x
+U y
2
2
1 ∂p  ∂ U y ∂ U y 
=−
+ν
+
∂y
ρ ∂y  ∂x 2
∂y 2 
∂U y
( 7.1a )
( 7.1b )
( 7.1c )
równania Prandtla
∂U x ∂U y
+
=0
∂x
∂y
∂U x
∂U x
∂ 2U x
Ux
+U y
=ν
∂x
∂y
∂y 2
( 7.2 a )
( 7.2b )
Warstwa przyścienna
Przepływy
t u rb u l en t n e i i c h
m et ro l o g i a
5 6
7 . R o zwią zanie B l asiu sa d l a
l am inarnej warstwy
przyściennej
∂p
=0
∂y
( 7.2c )
3 warunki brzegowe:
"bezpoślizgowość" na powierzchni
U x = U y = 0 dla
y =0
(7.3a )
jednorodność na skraju warstwy
U x →U∞
gdy
y→∞
(7.3b)
układ równań (7.2) i (7.3) zwany jest zagadnieniem Blasiusa
(1908)
Wyrażając składowe prędkości poprzez funkcje prądu ψ
Ux =
∂ψ
∂y
oraz U y = −
∂ψ
∂x
(7.4 )
równanie (7.2a) jest spełnione automatycznie
∂U x ∂U y ∂ 2ψ ∂ 2ψ
+
=
−
=0
∂x
∂y
∂x∂y ∂x∂y
a równanie (7.2b) przyjmuje postać
∂ψ ∂ 2ψ ∂ψ ∂ 2ψ
∂ 3ψ
−
=ν 3
∂y ∂x∂y ∂x ∂y 2
∂y
z następującymi warunkami brzegowymi
( 7. 5 )
Warstwa przyścienna
Przepływy
t u rb u l en t n e i i c h
m et ro l o g i a
5 7
7 . R o zwią zanie B l asiu sa d l a
l am inarnej warstwy
przyściennej
∂ψ
=0
∂y
y = 0 ( dowo ln e x ) ⇒ ψ = 0;
∂ψ
→U∞
∂y
y→∞ ⇒
wyniki badań eksperymentalnych:
profile prędkości zmierzone w różnych odległościach x od
krawędzi natarcia przedstawione w układzie współrzędnych
(U x / U ∞ )
oraz
(y /
x)
układają się w jedną krzywą
rozkłady prędkości są do siebie podobne ⇒ warstwa przyścienna
jest samopodobna
⇓
uproszczenie opisu analitycznego zagadnienia Blasiusa:
2 niezależne zmienne x oraz y (w rzeczywistości
zależne) mogą być użyte do zdefiniowania nowej
zmiennej niezależnej η
⇓
równanie różniczkowe cząstkowe (7.5) może być
zastąpione równaniem różniczkowym zwykłym
Warstwa przyścienna
Przepływy
t u rb u l en t n e i i c h
m et ro l o g i a
wprowadzamy
podobieństwa)
5 8
7 . R o zwią zanie B l asiu sa d l a
l am inarnej warstwy
przyściennej
zmienną
bezwymiarową
η=
η
U∞
y
νx
(tzw.
zmienną
( 7.6 )
oraz bezwymiarową funkcję f(η)
ψ = νU ∞ x f ( η )
( 7. 7 )
składowe prędkości w funkcji nowych zmiennych
U x = U∞ ⋅ f '
1  νU 
Uy =  ∞ 
2 x 
1/ 2
(ηf ' − f )
( 7.8 )
( 7. 9 )
’ – oznacza różniczkowanie względem η
równanie (7.5) przyjmuje postać
1
f ⋅ f ''+ f ''' = 0
2
( 7.10 )
z następującymi warunkami brzegowymi:
f = f ' = 0 dla η = 0
( 7.11a )
f ' → 1 gdy η → ∞
( 7.11b )
równanie (7.10) może być rozwiązane jedynie na drodze
numerycznej:
Warstwa przyścienna
Przepływy
t u rb u l en t n e i i c h
m et ro l o g i a
5 9
7 . R o zwią zanie B l asiu sa d l a
l am inarnej warstwy
przyściennej
jeśli wartości funkcji f, f′ oraz f′′ są znane w pewnym
punkcie o bezwymiarowej współrzędnej η to przy
użyciu metody numerycznej można obliczyć nowe ich
wartości dla η+h
Wyniki obliczeń numerycznych
Ux / U∞
η=
wyniki badań eksperymentalnych są w bardzo dobrej zgodności
z rozważaniami teoretycznymi
z krzywej Blasiusa
dla
Ux
= 0.99 ⇒
U∞
y
U∞
=5
νx
Warstwa przyścienna
Przepływy
t u rb u l en t n e i i c h
m et ro l o g i a
6 0
7 . R o zwią zanie B l asiu sa d l a
l am inarnej warstwy
przyściennej
grubość warstwy przyściennej
δ =5
νx
( 7.12 )
U∞
całkując rozkład Blasiusa zgodnie z zależnościami definicyjnymi
(1.6) i (1.7) można określić
miarę liniową straty wydatku (odległość przesunięcia)
δ * = 1.721
νx
U∞
( 7.13 )
miarę liniową straty pędu
θ = 0.664
νx
U∞
( 7.14 )
oraz powiązać je z grubością WP
δ* ≅ δ
1
3
( 7.15 a )
2
δ
15
( 7.15b )
θ≅
parametr kształtu
H = 2.59
bardzo dobra zgodność z eksperymentem
(7.15c)
Warstwa przyścienna
Przepływy
t u rb u l en t n e i i c h
m et ro l o g i a
6 1
7 . R o zwią zanie B l asiu sa d l a
l am inarnej warstwy
przyściennej
Naprężenia styczne na ściance
U∞
 ∂U x 
= µU ∞
f '' ( 0 )

y
x
∂
ν

 y =0
τ 0 = µ
( 7.16 )
z rozwiązania numerycznego otrzymuje się
f ' ' ( 0 ) = 0.332
Siła oporu tarcia
F = b ∫ τ 0 dx = 0.664bU ∞ U ∞ µρL
L
( 7.17 )
0
współczynnik oporu tarcia
cf =
dla porównania: (2.16) →
F
1
ρU ∞2 (bL )
2
=
1.328
Re
( 7.18 )
cf = 1.46 Re-0.5
rozwiązanie numeryczne pozwala dodatkowo wyznaczyć
składowa prędkości prostopadłą do powierzchni na skraju
warstwy przyściennej
η → ∞ ⇒ U y = 0.8604
U ∞ν
U
= 0.8604 ∞
x
Re
( 7.19 )