Wykład 8 Wzory na rozwiązywanie równań stopnia 2, 3, 4 w

Wykład 8
Wzory na rozwiązywanie równań stopnia 2, 3, 4 w ciele C
Wszystkie rozważane tu równania mają współczynniki zespolone.
Jeśli rozważamy równanie az 2 + bz + c = 0 to znamy algorytm rozwiązywania tego równania.
Rozważmy teraz równanie stopnia 3: az 3 + bz 2 + cz + d = 0. Pokażemy
jak rozwiązywać takie równania.
Przypadek 1. Niech b = 0, a więc mamy równanie az 3 + cz + d = 0. Po
pierwsze jeśli a 6= 0 to możemy nasze równanie podzielić obustronnie przez
a. I przyjmując, że s = ac , t = ad , otrzymujemy równanie:
z 3 + sz + t = 0
Przedstawmy rozwiązanie tego równania w postaci z = α + β wtedy otrzymujemy:
(α + β)3 + s(α + β) + t = 0
stąd:
α3 + 3α2 β + 3αβ 2 + β 3 + s(α + β) + t = 0
i dalej:
α3 + β 3 + 3αβ(α + β) + s(α + β) + t = 0
a więc:
α3 + β 3 + t + (α + β)(3αβ + s) = 0
To równanie jest spełnione między innymi w przypadku gdy:
α3 + β 3 = −t
3αβ = −s
Podzielmy drugie równanie przez 3 i podnieśmy do trzeciej potęgi:
α3 + β 3 = −t
s3
α3 β 3 = − 27
Wstawmy u za α3 i v za β 3 wtedy otrzymujemy:
u + v = −t
s3
uv = − 27
Obliczmy u z drugiego równania i wstawmy do pierwszego:
s3
+ v = −t
−
27v
1
Pomnóżmy obie strony przez v:
−
s3
+ v 2 = −tv
27
przenieśmy na jedną stronę:
v 2 + tv −
s3
=0
27
Otrzymaliśmy zależność kwadratową na v, a takie równania umiemy rozwiązywać. To nam pozwoli wyznaczyć v, oraz u. Z więc również α i β. Co da
nam rozwiązanie wyjściowego równania.
Przykład Rozwiązać opisaną powyżej metodą równanie x3 + 3x − 4 = 0.
b
Przypadek 2. Jeśli b 6= 0 to dokonujemy podstawienia: z = y − 3a
. I otrzymujemy równanie:
a1 z 3 + c1 z + d1 = 0
b
. A więc otrzymugdzie a1 = a, c1 = 3as2 −2bs+c, d1 = s2 −cs+d−as3 , s = 3a
jemy równanie z przypadku pierwszego. Jeśli potrafimy rozwiązać równanie
a1 z 3 + c1 z + d1 = 0 to potrafimy również rozwiązać równanie wyjściowe.
Przykład Rozwiązać równanie x3 − 2x2 − x + 2 = 0.
Rozważmy teraz równanie stopnia 4: az 4 + bz 3 + cz 2 + dz + e = 0. Podobnie
jak poprzednio rozpatrzymy dwa przypadki:
Przypadek 1. Załóżmy, że b = 0. Wtedy mamy równanie: az 4 +cz 2 +dz+e =
0. Podzielmy nasze równanie obustronnie przez a i wstawmy: s = ac , t = ad , r =
e
. Wtedy równanie przybiera postać:
a
z 4 + sz 2 + tz + r = 0
Spróbujmy rozłożyć wielomian na iloczyn dwóch wielomianów stopnia 2:
z 4 + sz 2 + tz + r = (z 2 + αz + β)(z 2 + γz + δ)
Obliczmy:
(z 2 + αz + β)(z 2 + γz + δ) = z 4 + (α + γ)z 3 + (β + δ + αγ)z 2 + (αδ + βγ)z + βδ
Po porównaniu z równaniem wyjściowym otrzymujemy układ równań:

α+γ =0




β + δ + αγ = s

αδ + βγ = t



βδ = r
2
Teraz korzystając z pierwszego równania możemy wszędzie pozbyć się zmiennej γ.

2

 β+δ−α =s
αδ − βα = t


βδ = r
Przekształcając dwa pierwsze równania otrzymujemy:
(
β + δ = s + α2
δ − β = αt
A następnie dodając i odejmując stronami te dwa ostatnie równania otrzymujemy:
(
2δ = s + α2 + αt
2β = s + α2 − αt
Wymnóżmy teraz te równania przez siebie:
4βδ = (s + α2 −
t
t
)(s + α2 + )
α
α
wiemy też że βδ = r, a więc otrzymujemy równanie:
t
t
t2
2
2
4r = (s + α − )(s + α + ) = s + 2sα42 − 2
α
α
α
2
Wymnóżmy to równanie przez α2 :
4rα2 = s2 + 2sα6 − t2
Wstawmy za α2 zmienną u wtedy otrzymamy:
4ru = s2 + 2su3 − t2
Otrzymaliśmy równania stopnia 3 na zmienną u to pozwala nam wyznaczyć
u (stosujemy poprzedni algorytm). A jeśli mamy u to znamy również α, a
więc również β i δ.
Przypadek 2. Jeśli w równaniu az 4 + bz 3 + cz 2 + dz + e = 0 mamy b 6= 0
to podobnie jak w przypadku równań stopnia 3 możemy się pozbyć współb
czynnika przy trzyciej potędze dokonując podstawienia z = y − 4a
. I dalej
rozwiązujemy równanie jak w przypadku poprzednim.
3