zadania zestaw 2

Mechanika MT, ćwiczenia, Michał Rams, IF UJ, 2016/17
2
5
Kinematyka
2.1
ruch w jednym wymiarze
Położenie cząstki w funkcji czasu t dane jest funkcją x = A sin(2πt/τ ), gdzie τ = 3 s, A = 0.2 m.
Czas jest w sekundach. Wylicz:
a) prędkość dla t = 2,
b) przyspieszenie dla t = 0,
c) średnią prędkość pomiędzy t = 0 i t = 2.
2.2
ruch w 3 wymiarach
Cząstka porusza się w trzech wymiarach. Jej pozycja þr dana jest równaniem
þr = (1 − 2t)x̂ + 4tŷ − (1 + 3t − 2t2 )ẑ
a)
b)
c)
d)
2.3
Jaki jest wektor prędkości þv = þ̇r w chwili t = 0?
Jaka jest prędkość v = |þv | dla t = 0, a jaka dla t = 1?
Jaka jest średnia prędkość od t = 0 do t = 1?
Jakie jest przyspieszenie dla t = 1?
ostatnia droga komara
Komar jest na linii pomiędzy zbliżającymi się dłońmi. Początkowo odległość między dłońmi wynosi D, a komar jest w odległości s od lewej dłoni. Lewa dłoń porusza się w prawo z szybkością vL .
Prawa dłoń porusza się w lewo z szybkością vP . Komar leci w kierunku lewej dłoni z szybkością
vK , unika zderzenia zawracając tuż przed nią i leci w kierunku prawej dłoni uderzając w nią i
ginąc tragicznie.
a) Przedstaw na wykresie położenia wszystkich obiektów w funkcji czasu.
b) Zapisz równania opisujące położenia dłoni i komara w funkcji czasu.
c) Ile czasu minęło od początku do chwili śmierci komara?
2.4
całkowanie równań ruchu
Ciało o masie m = 1 kg rzucono pionowo do góry na wysokości x0 = 1 m nad powierzchnią
Ziemi z szybkością początkową równą v0 = 10 m/s. Całkując równanie Newtona F = ma znajdź
zależność prędkości ciała od czasu v(t), a następnie zależność położenia ciała od czasu x(t).
2.5
ruch jednostajnie przyspieszony
Tesla Model S (w najtańszej wersji oferowanej w 2016 roku z silnikiem 285 kW) może ze stałym
przyspieszeniem rozpędzić się do prędkości 100 km/h w czasie 5.8 s (dane ze strony https://
en.wikipedia.org/wiki/Tesla_Model_S ). Podczas maksymalnego hamowania przyspieszenie
wynosi −0.6g. W jakim najkrótszym czasie ten samochód może przejechać Grota-Roweckiego
startując ze świateł na Norymberskiej do zatrzymania na czerwonym przy Gronostajowej (550
metrów)? Jaki mandat się należy?
Wskazówka: zrób wykres prędkości od czasu. Na tej podstawie wylicz pokonaną drogę.
Mechanika MT, ćwiczenia, Michał Rams, IF UJ, 2016/17
2.6
6
rzut ukośny
Ciało rzucono z prędkością v0 pod kątem α do poziomu. Znajdź:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
prędkość þv w funkcji czasu,
zależność położenia od czasu x(t) oraz y(t),
równanie toru ruchu – zależność y(x),
czas trwania ruchu,
zasięg rzutu,
maksymalną wysokość na jaką wzniesie się ciało.
Pod jakim kątem należy rzucić ciało, aby zasięg rzutu był maksymalny? Opory powietrza należy
zaniedbać. Przyspieszenie ziemskie wynosi g.
2.7
układ równań liniowych
Cząstka porusza się ze stałym przyspieszeniem. Wiadomo, że cząstka przechodzi przez trzy punkty
określone wektorami: þr1 , þr2 i þr3 odpowiednio w chwilach czasu t1 , t2 i t3 . Zapisz układ 3 równań
wektorowych łączących podane wyżej wielkości. Wylicz z tych równań wektor przyspieszenia.
2.8
ruch po okręgu
Ruch cząstki opisują równania
x(t) = R cos ωt,
y(t) = R sin ωt,
gdzie R i ω są stałymi. Znajdź
a)
b)
c)
d)
e)
2.9
równanie toru ruchu,
wektor przyspieszenia þa,
składową styczną vt i składową normalną vn prędkości, w stosunku do toru ruchu,
składową styczną at i składową normalną an przyspieszenia.
Sprawdź, że
ẍ + ω 2 x = 0,
ÿ + ω 2 y = 0.
ruch opisywany w układzie biegunowym
W układzie biegunowym wektor położenia þr = r r̂. Wersor r̂ zmienia się w zależności od punktu
þr i jest wzdłuż tego wektora. Wersor θ̂ jest prostopadły do r̂ jak na rysunku. Zapisz równania
wyrażające r̂ oraz θ̂ jako kombinacje liniową x̂ i ŷ ze współczynnikami typu sin θ oraz cos θ,
podobnie jak w zadaniu 1.7 o obracaniu układu współrzędnych.
Jeżeli þr = þr(t) opisuje jakiś ruch i się zmienia w czasie to od czasu zależą również wersory r̂
oraz θ̂. Pokaż, że
˙
θ̂ = −θ̇ r̂.
r̂˙ = θ̇ θ̂
oraz
Następnie pokaż, że
þv ≡ þ̇r = ṙ r̂ + r θ̇ θ̂,
þa ≡ þ̈r = (r̈ − r θ̇2 )r̂ + (r θ̈ + 2 ṙ θ̇)θ̂.
Jaką formę przybierają te równania w opisie ruchu z poprzedniego zadania 2.8?
Mechanika MT, ćwiczenia, Michał Rams, IF UJ, 2016/17
2.10
7
wektorowe dodawanie położeń, prędkości
Opona o promieniu R toczy się po drodze bez dziur. Jej środek porusza się z prędkością V . Mały
kamyk wbity w bieżnik dotyka drogi w momencie t = 0. Zapisz położenie, prędkość i przyspieszenie
kamyka w zależności od czasu.
2.11
sferyczny układ współrzędnych
Zapisz związki pomiędzy współrzędnymi w układzie kartezjańskim (x, y, z) wektora þr, a współrzędnymi tego wektora w sferycznym układzie współrzędnych (r, θ, φ) przedstawionym na rysunku
poniżej. Jaka jest objętość dV małego elementu o wymiarach określonych przez (r, θ, φ) oraz dr,
dθ, dφ?
2.12
ile musimy czekać
Po jakim czasie kolejny odcinek Game of Thrones nadany z satelity HotBird dociera do Krakowa?
Satelita geostacjonarny HotBird znajduje się cały czas na wysokości h = 35786 km nad stałym
punktem na równiku Ziemi. Pozycja satelity to 13.00 E. Pozycja Krakowa to 50.06 N, 19.94 E.
Promień Ziemi wynosi R = 6378 km.