cz. 1
Transkrypt
cz. 1
dr Arkadiusz Orzechowski Szkoáa Gáówna Handlowa Analiza efektywności obliczeniowej opcji na przykładzie modelu F. Blacka i M. Scholesa Wprowadzenie Jednym z najwiĊkszych osiągniĊü w dziedzinie finansów jest model wyceny opcji autorstwa F. Blacka i M. Scholesa (1973, s. 637–654). Opracowane podejĞcie opiera siĊ na zaáoĪeniu stanowiącym, iĪ ceny aktywów, na które opiewają opcje, podlegają geometrycznemu ruchowi Browna, w którym zmiennoĞü notowaĔ walorów bazowych jest staáa. Uproszczenie to nie pozwala jednak modelowaü rzeczywistego zachowania rynków finansowych. Jak zauwaĪa bowiem m.in. R. Cont (2007, s. 289–309), empiryczne dane dotyczące zmian cen akcji i ich indeksów wskazują na istnienie nadmiaru zmiennoĞci stóp zwrotu (Fama, French 1993, s. 3–56), wystĊpowanie grubych ogonów w ich rozkáadach i dodatniej kurtozy (Jondeau, Rockinger 2003, s. 559–581), braku liniowej autokorelacji rentowoĞci papierów wartoĞciowych (Mandelbrot 1963, 394–419), skáonnoĞci dochodowoĞci walorów i ich portfeli do ukáadania siĊ w klastry (Lux, Marchesi 2000, s. 675–702) oraz korelacji wolumenu obrotu ze zmiennoĞcią rentownoĞci (Fleming, Kirby 2011, s. 1714–1726). Zjawiska te przyczyniáy siĊ do powstania alternatywnych sposobów opisu ĞcieĪek cenowych aktywów i ich koszyków oraz opracowania nowych podejĞü do okreĞlania wartoĞci kontraktów bazujących na prawach pochodnych. Skonstruowane w tym celu modele moĪna podzieliü na te, w których: • dopuszczona jest moĪliwoĞü wystĊpowania skoków kursowych, tj. modele S. Kou’a (2002), VG (Madan, Carr, Chang 1998, s. 79–105), NIG (Barndorff-Nielsen 1998, s. 41–68), CGMY (Carr et al. 2002, s. 305–332); • funkcjonuje zaáoĪenie o braku staáoĞci zmian wariancji kursów aktywów bazowych w czasie, tj. modele J. Hulla i A. White’a (1987, s. 281–300), E. Steina i J. Steina (1991, s. 727–752), S. Hestona (1993, s. 327–343), C. Balla i A. Romy (1994, s. 589–607) itd.; • „parametry” nie są staáe, np. SABR (Hagan et al. 2002, s. 84–108). 138 dr Arkadiusz Orzechowski NarzĊdziem, czĊsto wykorzystywanym w procesie okreĞlania wartoĞci opcji, zarówno w modelach Levy’ego (modele F. Blacka i M. Scholesa, S. Kou’a, VG, NIG, CGMY), jak i typu affine (modele stochastycznej zmiennoĞci), jest transformata Fouriera. Ze wzglĊdu na to, Īe moĪe ona zostaü uwzglĊdniona w przeksztaáceniach matematycznych na róĪne sposoby, istotnym wydaje siĊ wybór takiego podejĞcia, które jest najbardziej efektywne. Celem niniejszego artykuáu jest przegląd istniejących sposobów wykorzystania transformaty Fouriera w procesie okreĞlania wartoĞci opcji waniliowych typu europejskiego oraz zaproponowanie autorskiej koncepcji, która moĪe stanowiü alternatywĊ w stosunku do wczeĞniej opracowanych podejĞü. Wszystkie obliczenia wykonywane są przy zaáoĪeniu, Īe uproszczenia w funkcjonowaniu rynków finansowych sformuáowane przez F. Blacka i M. Scholesa (1973) są prawdziwe. Warto zauwaĪyü, Īe opracowana metodologia moĪe byü wykorzystana w modelach Levy’ego oraz, po pewnych modyfikacjach, podlegaü implementacji do modeli typu affine. W ramach podejmowanej problematyki przedmiotem szczególnego zainteresowania czyni siĊ wybór takiego podejĞcia bazującego na transformacie Fouriera, które jest najbardziej efektywne pod wzglĊdem szybkoĞci generowania wartoĞci teoretycznych opcji oraz precyzji obliczeniowej. Czynnikami ryzyka branymi pod uwagĊ są cena i zmiennoĞü notowaĔ instrumentu bazowego oraz czas pozostający do wygaĞniĊcia opcji. 1. Wycena opcji w modelu F. Blacka i M. Scholesa Istnieją dwa podstawowe podejĞcia do wyceny opcji w ramach modelu F. Blacka i M. Scholesa (1973). Pierwsze z nich bazuje na rozwiązaniu równania róĪniczkowego cząstkowego drugiego rzĊdu, które przyjmuje nastĊpującą postaü: (1) gdzie: V(St,t) – wartoĞü opcji zaleĪna od ceny instrumentu podstawowego St i czasu t, ɐ – zmiennoĞü stopy zwrotu z aktywów, na które opiewa kontrakt, r – stopa zwrotu wolną od ryzyka. Ostatecznie, wartoĞci opcji kupna i sprzedaĪy wyznaczane są odpowiednio zgodnie z poniĪszymi formuáami (model okreĞlany dalej jako BS): (2) (3) gdzie: K – cena wykonania opcji, N(.) – dystrybuanta wystandaryzowanego rozkáadu normalnego. Analiza efektywnoĞci obliczeniowej opcji na przykáadzie modelu... 139 Drugie podejĞcie, nazywane martyngaáowym, zakáada, iĪ cena opcji jest wartoĞcią oczekiwaną przyszáych przepáywów pieniĊĪnych zdyskontowanych wzglĊdem pewnej miary martyngaáowej na moment dokonywania analizy. W konsekwencji, wartoĞü kontraktów kupna i sprzedaĪy obliczana jest odpowiednio przy wykorzystaniu nastĊpujących wzorów: (4) (5) 2. Przegląd modeli wyceny opcji opartych na transformacie Fouriera WyróĪniü moĪna szeĞü podstawowych modeli pozwalających wyceniü opcje przy wykorzystaniu transformaty Fouriera. Ze wzglĊdu jednak na to, Īe ich dokáadna analiza zostaáa przeprowadzona wczeĞniej (Orzechowski 2014, s. 157–174), w dalszej czĊĞci artykuáu bĊdące przedmiotem zainteresowania koncepcje są prezentowane jedynie skrótowo. Pierwszym z przedstawianych modeli jest model G. Bakshi i D. Madana (2000, s. 205–238) (okreĞlany dalej jako BS-BM). W ramach tego podejĞcia ceny aktywów bazowych oraz rozliczenia przeksztaácane są do wartoĞci logarytmicznych. W rezultacie formuáa (4) przyjmuje nastĊpującą postaü: (6) gdzie: sT i k – to odpowiednio logarytmy naturalne ceny aktywów podstawowych w momencie rozliczenia i ceny wykonania opcji – oznacza funkcjĊ gĊstoĞci prawdopodobieĔstwa zmiennej sT przy filtracji NastĊpnie, prawa strona równania (6) rozbijana jest na dwie czĊĞci. Dla kaĪdej z nich wyznaczane są transformaty Fouriera, które są kolejno odwracane. W rezultacie podjĊtych dziaáaĔ otrzymywany jest wzór na wartoĞü teoretyczną opcji, tj.: 140 dr Arkadiusz Orzechowski (7) gdzie: ɕ(.) – transformata Fouriera, Ը[.] – czĊĞü rzeczywista funkcji podcaákowej, i – czĊĞü urojona liczby zespolonej. Drugim modelem wyceny opcji jest model P. Carra i D. Madana (1999, s. 61–73) (okreĞlany dalej jako BS-CM). Punktem wyjĞcia rozpatrywanego podejĞcia jest zmiana cen aktywów bazowych i rozliczenia do postaci logarytmicznej, co pozwala otrzymaü formuáĊ (6). NastĊpnie, za funkcjĊ gĊstoĞci prawdopodobieĔstwa zmiennej sT podstawiana jest jej funkcja charakterystyczna, cena opcji zaĞ ulega modyfikacji przy pomocy parametru a. Ostatecznie, dla otrzymanej wielkoĞci, obliczane są transformata Fouriera oraz odwrotna transformata Fouriera. PodjĊte dziaáania pozwalają wygenerowaü formuáĊ okreĞlającą wartoĞü modelową opcji kupna, tj.: (8) Otrzymany wynik jest modyfikowany przez P. Carra i D. Madana dla opcji o krótkich terminach pozostających do wygaĞniĊcia. Ostatecznie, wzór na wycenĊ instrumentów finansowych bazujących na prawach pochodnych przybiera postaü: (9) gdzie: . Trzecim modelem opartym na transformacie Fouriera jest model M. Attariego (2004) (metoda okreĞlana dalej jako BS-A). Wyprowadzenie rozpatrywanego podejĞcia rozpoczyna siĊ od uogólnienia procesu odpowiedzialnego za ksztaátowanie cen instrumentu bazowego do nastĊpującej postaci: (10) gdzie: x(t,T) – losowy „szok cenowy” aktywów bazowych, który moĪe byü utoĪsamiany zarówno ze skokiem kursowym, jak i dowolnym procesem o charakterze losowym. Analiza efektywnoĞci obliczeniowej opcji na przykáadzie modelu... 141 Zakáadając, Īe x(t,T) ma rozkáad normalny, áatwo moĪna przetransformowaü wzór (6) do nastĊpującej postaci: (11) gdzie: . , umoĪliwia DostrzeĪenie tego, Īe potraktowanie p1 i p2 jak funkcji gĊstoĞci prawdopodobieĔstwa. Wyznaczenie dla tych wielkoĞci transformat Fouriera oraz odwrotnych transformat Fouriera pozwala na wyprowadzenie formuáy okreĞlającej wartoĞü opcji, tj.: (12) Czwartym modelem wyceny wykorzystującym transformatĊ Fouriera jest model D. Batesa (2006, s. 909–956) (okreĞlany dalej jako BS-B). Jego konstrukcja oparta jest na niewielkiej modyfikacji koncepcji M. Attariego (2004). Podobnie jak poprzednio, formuáa (6) ulega przeksztaáceniu, z tą jednak róĪnicą, Īe w tym przypadku wygenerowany wzór przyjmuje nastĊpującą postaü: (13) NastĊpnie, wzór (13) jest modyfikowany poprzez zamianĊ cen aktywów bazowych i wykonania na logarytmiczne wartoĞci rozpatrywanych wartoĞci. Ostatecznie, obliczane są kolejno transformata Fouriera dla funkcji gĊstoĞci prawdopodooraz odwrotna transformata Fouriera. Pozwala to wyznaczyü bieĔstwa wartoĞü opcji zgodną z poniĪszym wzorem: (14) Piątym modelem opartym na transformacie Fouriera jest model A. Lewisa (2001) (metoda okreĞlana dalej jako BS-Le). W ramach zaproponowanego podejĞcia wartoĞü kontraktów bazujących na prawach pochodnych okreĞlana jest poprzez wielokrotne przeksztaácenie wzoru (6). Na początku, w ramach podejmowanych czynnoĞci, dokonywane jest podstawienie: sT = lnST oraz wyznaczana jest transformata Fouriera zmodyfikowanej funkcji wypáaty analizowanych instrumentów finansowych. Ostatecznie, odwoáanie siĊ do definicji uogólnionej transformaty 142 dr Arkadiusz Orzechowski Fouriera pozwala okreĞliü wartoĞü europejskiej opcji kupna w modelu F. Blacka i M. Scholesa w nastĊpujący sposób: (15) Szóstym modelem wyceny opcji, w którym wykorzystywana jest transformata Fouriera, jest model A. Liptona (2002) (metoda okreĞlana dalej jako BS-Li). Punktem wyjĞcia przeprowadzonej analizy są przeksztaácenia wykonane w ramach poprzedniego podejĞcia. Znając sposób wyznaczania funkcji charakterystycznej przy zaáoĪeniu, Īe , tj.: (16) moĪna áatwo obliczyü cenĊ teoretyczną europejskiej opcji kupna, tj.: (17) 3. Nowy model wyceny opcji oparty na transformacie Fouriera Nowe podejĞcie (oznaczone dalej jako BS-Au), pozwalające wyceniü opcje przy wykorzystaniu transformaty Fouriera, skáada siĊ z kilku etapów. Na początku dokonana jest nastĊpująca zamiana zmiennych: sT = lnST oraz k = lnK, która umoĪliwia wyraĪenie wartoĞci opcji kupna zgodnie ze wzorem (6). NastĊpnie, prawa strona równania (6) rozbijana jest na dwie czĊĞci, tj.: (18) Dla pierwszej z nich wyznaczana jest transformata Fouriera tak jak w modelu G. Bakshiego i D. Madana (2000, s. 205–238), tj.: (19) Warto zauwaĪyü, Īe moĪe byü traktowana zarówno jako , jak i wartoĞü oczefunkcja charakterystyczna przy , tj. kiwana zmiennej ST. Pozwala to przeksztaáciü wzór (19) do poniĪszej postaci: Analiza efektywnoĞci obliczeniowej opcji na przykáadzie modelu... 143 (20) Dla drugiej czĊĞci równania (18) wyznaczana jest transformata Fouriera w nastĊpujący sposób: (21) Odwrócenie transformat Fouriera oraz wstawienie ich do wzoru (18) pozwala ostatecznie otrzymaü wzór na cenĊ opcji kupna, tj.: (22) Po uproszczeniu formuáa (22) moĪe byü zapisana jako: (23) 4. Szybkość obliczeniowa ZnajomoĞü formuá analitycznych na wycenĊ opcji pozwala dokonaü pomiaru szybkoĞci generowania wartoĞci teoretycznych kontraktów w ramach kaĪdego z uwzglĊdnionych podejĞü. Czas, który jest potrzebny do okreĞlenia cen modelowych instrumentów finansowych bazujących na prawach pochodnych, jest wyznaczany przy zaáoĪeniu, Īe stosowne kody napisane są w pakiecie Mathematica 7.0 uruchamianym na komputerze z procesorem Intel i5-4210U CPU @ 2,40 GHz z pamiĊcią RAM równą 6 GB. Przy obliczeniach przyjĊto zaáoĪenie, Īe cena wykonania opcji wynosi 60, zmiennoĞü dochodowoĞci aktywa bazowego oraz stopa zwrotu wolna od ryzyka ksztaátują siĊ na poziomie 5%, a okres pozostający do wygaĞniĊcia zmienia siĊ z t/T = 0,01 do t/T = 0,05, a nastĊpnie do t/T = 0,09. Wyniki otrzymane dla kontraktów in-the-money (ITM), at-the-money (ATM) oraz out-of-the-money (OTM) w róĪnych okresach do wygaĞniĊcia prezentowane są w tabeli 1. Z informacji zawartych w tabeli wynika, Īe wycenĊ teoretyczną opcji europejskich moĪna otrzymaü najszybciej, stosując metodĊ BS. Nie powinno byü to zaskoczeniem, gdyĪ jest to jedyne podejĞcie, spoĞród uwzglĊdnionych, które ma charakter analityczny. Najwolniej wycenĊ kontraktów bazujących na prawach pochodnych moĪna wygenerowaü, wykorzystując podejĞcia BS-CM i BS-A. Pozostaáe sposoby wyznaczania wartoĞci opcji naleĪy traktowaü jako równorzĊdne pod wzglĊdem szybkoĞci obliczeniowej. 144 dr Arkadiusz Orzechowski Tabela 1 Porównanie szybkoĞci obliczeniowej wyceny europejskich opcji kupna metodami bazującymi na transformacie Fouriera Czas do wygaĞniĊcia dla róĪnych kategorii opcji (w sekundach) OTM (S0 = 55) ATM (S0 = 60) ITM (S0 = 65) t/T=0,01 t/T=0,05 t/T=0,09 t/T=0,01 t/T=0,05 t/T=0,09 t/T=0,01 t/T=0,05 t/T=0,09 BS 2,0×10-15 1,6×10-15 2,8×10-15 1,5×10-15 1,4×10-15 2,3×10-15 1,7×10-15 3,33×10-16 6,28×10-16 BS-BM 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 BS-CM 0,05 0,03 0,03 0,05 0,03 0,05 0,05 0,03 0,05 BS-A 0,05 0,05 0,03 0,05 0,05 0,03 0,05 0,05 0,03 BS-B 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 BS-Le 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 BS-Li 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 BS-Au 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 ħródáo: opracowanie wáasne. 5. Analiza błędu obliczeniowego W celu ostatecznego wyboru najbardziej efektywnego rozwiązania, spoĞród omawianych, obliczane są róĪnice pomiĊdzy cenami teoretycznymi generowanymi przez model BS i poszczególne podejĞcia wykorzystujące transformatĊ Fouriera. Podobnie jak poprzednio, przedmiotem analizy są opcje, których cena wykonania wynosi 60, odchylenie standardowe dochodowoĞci aktywa bazowego oraz rentownoĞü instrumentów wolnych od ryzyka ksztaátują siĊ na poziomie 5%, a czas pozostający do wygaĞniĊcia zmienia siĊ zt /T = 0,01 do t /T = 0,05, a nastĊpnie do t /T = 0,09. Otrzymane wyniki prezentowane są na wykresach 1–7. Analiza efektywnoĞci obliczeniowej opcji na przykáadzie modelu... Wykres 1 RóĪnice pomiĊdzy teoretycznymi cenami opcji kupna wyznaczonymi metodą BS oraz BS-BM dla opcji OTM, ATM i ITM 5yĪQLFD SRPLĊG]\ ĊG] cenami opcji kupnaa w modelach de ch BS BS BM BS i BS BM S0 55, K 60, r 0,05 dla t 0, 1 4. 10 6 2. 10 6 0 0,2 2. 10 6 0,5 4. 10 6 0,05 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Czas do wykupu t 5yĪQLFD SRPLĊG]\ ĊG] cenami opcji kupnaa w modelach de ch BS BS BM BS i BS BM S0 60, K 60, r 0,05 dla t 0, 1 4. 10 6 2. 10 6 0 0,2 2. 10 6 0,5 4. 10 6 0,05 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Czas do wykupu t 5yĪQLFD SRPLĊG]\ ĊG] cenami opcji kupnaa w modelach de ch BS BS BM BS i BS BM S0 65, K 60, r 0,05 dla t 0, 1 4. 10 6 2. 10 6 0 0,2 2. 10 6 0,5 4. 10 6 0,05 0.0 0.2 0.4 0.6 Czas do wykupu t ħródáo: opracowanie wáasne. 0.8 1.0 145 146 dr Arkadiusz Orzechowski Wykres 2 RóĪnice pomiĊdzy teoretycznymi cenami opcji kupna wyznaczonymi metodą BS oraz BS-CM Į = 1 dla opcji OTM, ATM i ITM 5yĪQLFD SRPLĊG]\ ĊG] cenami opcji kupnaa w modelach de ch BS BS CM BS i BS CM S0 55, K 60, r 0,05 dla t 0, 1 4. 10 6 2. 10 6 0 0,2 2. 10 6 0,5 4. 10 6 0,05 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Czas do wykupu t 5yĪQLFD SRPLĊG]\ ĊG] cenami opcji kupnaa w modelach de ch BS BS CM BS i BS CM S0 60, K 60, r 0,05 dla t 0, 1 4. 10 6 2. 10 6 0 0,2 2. 10 6 0,5 4. 10 6 0,05 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Czas do wykupu t 5yĪQLFD SRPLĊG]\ ĊG] cenami opcji kupnaa w modelach de ch BS BS CM BS i BS CM S0 65, K 60, r 0,05 dla t 0, 1 4. 10 6 2. 10 6 0 0,2 2. 10 6 0,5 4. 10 6 0,05 0.0 0.2 0.4 0.6 Czas do wykupu t ħródáo: opracowanie wáasne. 0.8 1.0 $QDOL]D HIHNW\ZQRĞFL REOLF]HQLRZHM RSFML QD SU]\NáDG]LH PRGHOX 147 Wykres 3 5yĪQLFH SRPLĊG]\ WHRUHW\F]Q\PL FHQDPL RSFML NXSQD Z\]QDF]RQ\PL PHWRGą %6 5yĪQLFHSRPLĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSFMLNXSQD Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD] RUD] %6$ GOD RSFML 270$70 L ,70 OTM, ATM i ITM 5yĪQLFD SRPLĊG]\ 5yĪQLFD SRPLĊG]\ SRPLĊG cenami opcji kupna w modelach modelach BS BS A BS i BS A S0 55, K 60, r 0,05 dla t 0, 1 4. 10 6 2. 10 6 0 0,2 2. 10 6 0,5 4. 10 6 0,05 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSFMLNXSQD Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD] 5yĪQLFD SRPLĊG]\ cenami OTM, ATM i ITM 5yĪQLFHSRPLĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSFMLNXSQD Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD] 5yĪQLFD SRPLĊG SRPLĊG]\ cenami opcji kupna na w modelach modelach ĪQLFD SRPLĊG]\ modelach 6 Czas do wykupu t BS BS A 6 6 6 4. 10 6 2. 10 6 A BS i BS A S0 60, K 60, r 0,05 dla t 0, 1 5yĪQLFD SRPLĊG]\ 6 5yĪQLFD SRPLĊG]\ 6 0,05 6 0 2. 10 6 4. 10 6 0,2 6 0,5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Czas do wykupu t 5yĪQLFD SRPLĊG]\ modelach ħUyGáR SUDFRZDQLHZáDVQH 5yĪQLFD SRPLĊG]\ SRPLĊG cenami opcji kupna w modelach modelach 6 6 BS A 6 BS 10 6 2. 10 6 0 5yĪQLFD SRPLĊG]\ 2. 10 6 4. 6 10 6 6 ħUyGáR RSUDFRZDQLH ZáDVQH Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD] 0,05 modelach 5yĪQLFD SRPLĊG]\ 0,2 0,5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Czas do wykupu t ZáDVQH 0, 1 5yĪQLFHSRPLĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSF 4. B A BS i BS A S0 65, K 60, r 0,05 dla t 6 6 6 ħUyGáR SUDFRZDQLHZáDVQH ĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSF Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD] 5yĪQLFD SRPLĊG]\ cenami 5yĪQLFHSRPLĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSF Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD] ĪQLFD SRPLĊG]\ modelach 5yĪQLFD SRPLĊG]\ modelach 6 5yĪQLFD SRPLĊG]\ B 6 ,05 6 6 6 6 6 B 5yĪQLFD SRPLĊG]\ cenami 6 6 ,05 6 6 6 B 6 modelach 6 B 6 6 6 6 6 6 5yĪQLFD SRPLĊG]\ modelach ħUyGáR SUDFRZDQLHZáDVQH 5yĪQLFD SRPLĊG]\ 5yĪQLFD SRPLĊG]\ 5yĪQLFD SRPLĊG]\ 148 dr Arkadiusz Orzechowski ħUyGáR SUDFRZDQLHZáDVQH 5yĪQLFD SRPLĊG]\ Wykres 4 5yĪQLFH SRPLĊG]\ WHRUHW\F]Q\PL FHQDPL RSFML NXSQD Z\]QDF]RQ\PL PHWRGą %6 5yĪQLFHSRPLĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSF Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD] RUD] %6% GOD RSFML 270$70 L ,70 OTM, ATM i ITM 5yĪQLFD SRPLĊG]\ LĊG cenami opcji kupna na w modelach modelach ZáDVQH ħUyGáR SUDFRZDQLHZáDVQH BS BS B BS i BS B S0 55, K 60, r 0,05 dla t 4. 10 6 2. 10 6 5yĪQLFD SRPLĊG]\ 0, 1 0,05 0 0,2 2. 10 6 0,5 4. 10 6 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Czas do wykupu t ĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSF Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD] 5yĪQLFD SRPLĊG]\ cenami opcji 5yĪQLFHSRPLĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSF Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD] OTM, ATM i ITM ĪQLFD SRPLĊG]\ modelach 5yĪQLFD SRPLĊG]\ SRPLĊG cenami opcji kupna SRP na w modelach modelach 6 5yĪQLFD SRPLĊG]\ BS i BS B S0 60, K 60, r 0,05 5yĪQLFD dla t 0,SRPLĊG]\ 1 BS BS B 6 6 6 4. 10 6 2. 10 6 0 0,05 0 6 0,2 2. 10 6 6 0,5 4. 10 6 6 B 6 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Czas do wykupu t 5yĪQLFD SRPLĊG]\ cenami opcji kupna w modelach ħUyGáR SUDFRZDQLHZáDVQH 5yĪQLFD SRPLĊG]\ LĊG cenami opcji kupna na w modelach modelach BS i BS B S0 65, K 60, r 0,05 dla t 6 BS B 6 6 BS B 6 0, 1 4. 10 6 2. 10 6 0 0,2 2. 10 6 0,5 4. 10 6 ,05 0,05 0.0 0.2 0.4 0.6 Czas do wykupu t ZáDVQH ħUyGáR SUDFRZDQLHZáDVQH ħUyGáR RSUDFRZDQLH ZáDVQH ϵ ϵ 0.8 ϵ 1.0