II zasada dynamiki Newtona υωρερωω

13. DYNAMIKA RUCHU ZŁOŻONEGO
PUNKTU MATERIALNEGO
II zasada dynamiki Newtona
r
r F
a=
m
Przyspieszenie punktu materialnego
jest proporcjonalne do przyłożonej siły
i ma kierunek tej siły.
m a
F
Obowiązuje w tzw. bezwładnościowym
(galileuszowskim) układzie odniesienia:
- środek związany jest ze środkiem Słońca,
- osie związane są z gwiazdami stałymi.
A υw
z
z’
ρ
y’
aO’
O
aw
ω
υO’
y
O’
x
Oxyz – nieruchomy
(bezwładnościowy)
układ współrzędnych
ε
O’x’y’z’ – ruchomy
układ współrzędnych
x’
przyspieszenie
bezwzględne
przyspieszenie
względne
r r
r r r r r
r r
r
a = aO ' + ω × (ω × ρ ) + ε × ρ + 2ω × υ w + aw
względem osi
względem osi
r
r
układu
ruchomego
układu nieruchomego
a
au
C
przyspieszenie
unoszenia
przyspieszenie
Coriolisa
1
Zadanie 1/13
Gładki klin o kącie nachylenia α porusza się w górę ze stałym
przyspieszeniem a0. Wzdłuż klina może przesuwać się klocek o
masie m. Obliczyć przyspieszenie aw klocka względem klina oraz
nacisk N klina na klocek
m
aw
a0
α
Odp.: a w = (a0 + g )sin α
N = m(a0 + g )cos α
Zadanie 2/13
Poziomo ustawiona gładka rurka AB o długości l obraca się
wokół pionowej osi przechodzącej przez jej koniec ze stałą
prędkością kątową ω0. Wewnątrz rurki znajduje się kulka o
masie m. Po jakim czasie tB i z jaką bezwzględną prędkością υB
kulka wypadnie z rurki, jeśli w chwili początkowej znajdowała
się w odległości c od osi obrotu i była nieruchoma względem
rurki? Obliczyć nacisk R rurki na kulkę
Odp.:
ω0 w chwili wylotu z rurki.
1
t =
ln k
B
ω0
Rx = 0
R y = mg
m
A
c
1

Rz = −mω02 c k − 
k

c
1
υ Bx = ω0  k − 
2
k
υ By = 0
B
l
υ Bz = −ω0l
y
x
k=
l + l 2 − c2
c
2
Zadanie 3/13
Tarcza o promieniu r ustawiona
w płaszczyźnie poziomej obraca
się wokół pionowej osi
przechodzącej przez jej środek
ze stałą prędkością kątową ω0.
W tarczy wyżłobiono prosty
rowek, odległy o r/2 od osi
obrotu, w którym przemieszczać
się może gładka kulka o masie
m. W chwili początkowej kulka
znajdowała się w punkcie A i
była nieruchoma względem
tarczy. Po jakim czasie tB kulka
opuści tarczę? Wyznaczyć
nacisk tarczy na kulkę w funkcji
czasu.
C
B
r
m A
O
ω0
r/2
Odp.: t B =
Rx =
y
x
r/4
1
ω0
ln 2 3 + 11 ≅
− mω 02
1.914
ω0
r
(1 + sinh ω 0t )
2
Ry = 0
R z = mg
Zadanie 4/13
B
m
b
ω
A
D
r
B
m
ω
r
A
Walec o masie m może przesuwać się wewnątrz rurki
CD sztywno związanej z obracającą się płytą
ABCD. Wyznaczyć równanie ruchu walca względem
rurki oraz wyznaczyć reakcję walca na rurkę wiedząc,
że płyta obraca się ze stałą prędkością kątową ω, zaś
współczynnik tarcia walca o rurkę wynosi µ. W chwili
początkowej walec znajdował się w punkcie C.
Zadanie 5/13
Mała kulka o masie m może ślizgać się bez tarcia po
wycinku kołowym o promieniu r. Podać równanie
różniczkowe ruchu względnego kulki wiedząc, że wycinek
kołowy obraca się ze stałą prędkością kątową ω wokół
nieruchomej osi AB. W chwili początkowej kulka
znajdowała się na osi obrotu i miała prędkość względną υw.
3
Zadanie 6/13
Mała kulka o masie m może przesuwać się po okręgu o promieniu r. Podać
równanie różniczkowe ruchu względnego kulki wiedząc, że okrąg obraca się ze
stałą prędkością kątową ω wokół nieruchomej osi AB. W chwili początkowej
kulka znajdowała się na osi obrotu i miała prędkość υw względem okręgu.
Współczynnik tarcia kulki o okrąg wynosi µ.
A
B
ω
m
r
4