Kondensatory (pomoc do kartkówki) – Wydział Transportu PW Dla

Kondensatory (pomoc do kartkówki) – Wydział Transportu PW
Dla Państwa wygody przygotowałem 2 zadania dotyczące kondensatorów. Niestety nie jestem w
stanie przewidzieć, co Pani dr Gronowska przygotuje Państwu na kartkówkę. Podejrzewam jednak,
że będą to podstawowe rzeczy.. i takie też Państwu przygotowałem. Mam nadzieję, że te krótkie
przykłady jakoś Państwu pomogą zrozumieć zagadnienie.
-Kondensator – urządzenie złożone z dwóch przewodników zwanych okładkami kondensatora. Na
jednej z okładek umieszczamy ładunek +Q, na drugiej przeciwnym znaku -Q.
Pojemność kondensatora płaskiego:
S
d


gdzie 0 - przenikalność elektryczna próżni, r - przenikalność elektryczna
ośrodka(dielektryka), który znajduje się między okładkami kondesatora o powierzchni S. d –
odległość między okładkami.
C= 0 r
Kilka kondesatorów możemy połączyć:
1) SZEREGOWO:
wówczas pojemność zastępcza (pojemność układu połączonych kondesatorów) wyraża się
1 1
1
=  ... . Każdy z kondensatorów wchodzących w skład takiego
wzorem:
C C1 C 2
układu ładuje się wtedy tym samym ładunkiem elektrycznym Q, tzn.:
C 1 V 1=C 2 V 2=....=Q , gdzie V 1, V 2... - to napięcia pomiędzy okładkami
poszczególnych kondensatorów, natomiast C 1, C 2... to pojemności pojedynczych
kondensatorów.
2) RÓWNOLEGLE:
wówczas pojemność zastępcza (pojemność układu połączonych kondesatorów) wyraża się
wzorem: C=C 1C 2... . Każdy z kondensatorów w ten sposób podłączonych jest
naładowany do tej samej różnicy potencjałów(napięć) V, tzn.:
Q1 Q2
= =....=V , gdzie Q 1, Q 2... - to ładunki zgromadzone na poszczególnych
C1 C2
kondensatorach, natomiast C 1, C 2... to pojemności pojedynczych kondensatorów.
W kondensatorze płaskim pole elektryczne pomiędzy okładkami kondensatora jest jednorodne
(takie samo w dowolnym punkcie pomiędzy okładkami) i wyraża się wzorem:
V
E=
d
Przykład 1.
Dwa płaskie kondensatory powietrzne połączono równolegle i naładowano ładunkiem Q.
Powierzchnie okładek wynoszą odpowiednio S 1 i S 2 , a odległość między okładkami d 1 i d 2 .
1) oblicz ładunki Q1 iQ 2 na każdym z kondenastorów
2) natężenie pola elektrycznego E 1 i E 2 między okładkami każdego z kondensatorów
rozwiązanie:
Układ 2 kondensatorów o pojemościach C 1 i C 2 połączono równolegle, zatem nowy układ ma
S1
S2 Q
pojeność zastępczą C=C 1C 2=0 r 0 r =
(*)
d1
d2 V
Ponieważ przy połączeniu równoległym każdy z kondesatorów składowych jest ładowany do tego
samego napięcia V zatem można wykorzystać ten fakt i napisać wyrażenia na pojemności
kondensatora 1 i 2 i wyznaczając z nich wartość V:
C 1=0 r
S 1 Q1
Q1
= V =
d
d1 V
0  r S 1 1
S 2 Q2
Q2
= V =
d
d2 V
 0 r S 2 2
Otrzymane wyrażenia podstawiamy do równania (*) i otrzymujemy :
S
S Q
S
0 r 1 0 r 2 = =Q 0  r 1 a z tego otrzymujemy wyrażenie na ładunek zgromadzony
d1
d2 V
Q1 d 1
na kondensatorze nr 1.
d2S1
Q1=Q
S 1 d 2S 2 d 1
C 2=0  r
W podobny sposób otrzymać można wyrażenie na ładunek zgromadzony na kondensatorze nr 2.
Aby policzyć natężenie pola elektrycznego w kondensatorze nr 1 korzystamy z zależności:
V
E 1=
d1
podstawiając policzone wcześniej wyrażenia:
V=
Q1
d
 0 r S 1 1
oraz
Q1=Q
d2S1
S 1 d 2S 2 d 1
Otrzymujemy zatem wyrażenie:
d2
Q
0 r S 1 d 2 S 2 d 1
W podobny sposób otrzymujemy natężenie pola elektrycznego w kondesatorze nr 2 podstawiając
dane odnoszące się do tego kondensatora.
E 1=
Przykład 2.
Płaski kondensator składa się z dwóch płyt o powierzchni S i odległości d. Jaką pracę należy
wykonać, aby zwiększyć odległość między okładkami o x jeśli:
a) kondensator jest naładowany do napięcia Vo i odłączony od baterii
b) kondensator jest stale podłączony do baterii utrzymującej napięcie Vo
Rozwiązanie punktu a):
Na naładowanie kondensatora do jakiegoś napięcia V potrzebujemy wykonać pracę równą:
1
W= CV2
2
Wiadomo jednak, że pojemość kondesatora wyraża się przez powierzchnię okładek oraz odległość
między okładkami, zatem można napisać powyższe wyrażenie na pracę:
 S
W= 0 V2 .
2 d
Praca wykonana na rozsunięcie okładek jest różnicą pracy potrzebnej na naładowanie kondensatora
o odległości d między okładkami i pracy potrzebnej na naładowanie kondensatora o odległości d+x
między okładkami, tzn:
W =
0 S
 S
V 21− 0 V 02
2 d x
2 d
Wraz z rozsuwaniem okładek ładunek zgromadzony na nich się nie zmienia(kondensator odcięty od
zasilania). Zmienia się natomiast napięcie.
Korzystamy więc z równości ładunków przed i po rozsunięciu okładek kondensatora:
( Q = C/V)
0
S
S
V =
V
d 0
d x 1
z tego otrzymujemy :
V 1=
d x
V0
d
i podstawiamy do wyrażenia na  W :
W =
2
0
1 d x  1 0
x
S V 20 
− = S V 02 2
2
dx d2
d
2
d
Rozwiązanie punktu b)
Gdy kondensator podłączony jest do baterii to wówczas zmiana odległości między okładkami nie
wywoła zmiany napięcia Vo. Żeby napięcie się nie zmieniło na okładkach kondensatora musi
nastąpić zmiana ładunku elektrycznego. Dlatego praca wykonana przy przesunięciu okładek musi
być równa zmianie energii zgromadzonej w kondensatorach, a także zmiana energii źródła(baterii)
Praca:
C 1 V 20 C 0 V 02
V2
−
− Q V 0= 0 C 1−C 0 − Q V 0 (ii)
2
2
2
gdzie pierwsze dwa skaładniki odpowiadają za zmianę energii kondensatora przy zmianie
odległości między okładkami, a ostatni składnik jest związany z przesunięciem ładunku do lub ze
źródła.
W =
 Q=Q 1−Q 0=0
S
S
1
1
−x
V 0−0
V 0 =V 0  0 S 
− =0 S V 0 
 (iii)
d
d x
d x d
d  d x 
(jeśli rozsuwamy okładki to x>0 – pojemność kondensatora się zmniejsza i ładunek odpływa, tzn.
delta Q < 0, a energia źródła wzrasta, stąd minus przy wyrażeniu na energię źródła).
Różnica (C1 – C0) którą mamy w równaniu (ii) jest równa: 0 S 
1
1
−x
− =0 S 
 (iv)
d x d
d  d x 
Podstawiając wyrażenia (iii) i (iv) do (ii) otrzymujemy:
C 1 V 20 C 0 V 02
V 20
V 20
−x
−x
x
W =
−
− Q V 0=  S 
−V 0 V 0 0 S 
=
0 S
2
2
2
d  xd 
d  xd 
2
d  xd 
Powodzenia!